popovEP1 (950645), страница 26
Текст из файла (страница 26)
При атом множитель р представляет собой диагональную матрицу (1... 101... 1), где для каждой 1-й сепаратной системы ставится 0 па месте 1-го диагонального злемепта. Исследование частотных характеристик И'()ю) показывает (19), что весь диапааон частот 0(ю( можно разбить па три области: 1) 0<в< юг, 2) ю2 ~ ы ~ юг 3) юз ~ а1 ( ~:о. В нижней области частот 0<в < юг наличие перекрестных связея пе оказывает существенного влияния на частотные характеристики сепаратных систем. В средней области частот юз.св(ыз наблюдается существенное влияние всех компонентов матрицы частотных характеристик.
В верхней области частот юз( е~ со проявляются известные высокочастотные асимптоты частотных характеристик следящих систем манипулятора. При этом здесь доминирующее значение получают составляющие, обусловленные ускорениями относительных координат звеньев.
Таким обрааом, основной задачей является определение граничной частоты ви до которой расчет каналов управления манипулятора можно производить без учета их взаимосвязей. Вводится критерий, поаволяющий определить значимость влияния недиа тональных элементов матрицы Х(ув) па формирование диагональных элементов матрицы Х '(ув), в виде б,(в) = 1 — )Лс(у'в) !, где Л1(ув) = ха(ув) хт(ув) ~ причем ха(ув) — диагональные элементы матрицы Х ' (ув), а хк(ув) — диагональные элементы матрицы Х(ув). тех!лу! в,у цс аул !ЛУ! йlр т Рвс. 8.11 Если б,(в) близко к пулю по сравнению с 1, то перекрестные воздействия в системе окааываются несущественными. Введем соотношения между диагональными и недиагональными элементами матрицы Х(ув).
Относительное значение каждого недиагонального элемента будет еи(ув) - хе [ха Цв) хм(ув) ! -'". Для максимального и минимального значений Л, в зависимости от числа и и максимального значения )зм! составлены графтио (рис. 8.И). Опи служат для прибли- женного определения граничной частоты оь Тут применяется графический метод сложения и вычитания логарифмических амплитудно-частотных характеристик сепаратных систем и перекрестных связей. Среди них отыскиваются те, которые имеют наибольшие по модулю значения.
Указанные графические построения для определения граничной частоты аз проиллюстрированы па рис. 8Л2, Ряс. 8Л2 где фигурируют частотные характеристики для 1-й сепаратной системы Дт н1ы) х — «г)ь', (1ы) и ггз(1гз) = РУ'()О)КЦО) ° 11а этом графике показана еже не упоминавшаяся здесь частота аь определяющая в нижнем диапазоне частот О ( а ( газ ту часть О ( а ( вь где возможно упрогценное построение частотной характеристики.
Положение граничной частоты юз характеризует сте- пень влияния перекрестных свяаей. Так, если юз ока- я1ется меньше или близкой одной из частот среза сепаратных систем, то влияние перекрестных связей таково, что по динамическим свойствам сепаратных систем нельзя судить о динамике системы. Необходимо провести полный расчет частотных характеристик с учетом всех элементов матрицы Х(ую). Если 1ке частота ае будет болыпе частоты среза каждой нз сепаратных систем, то при анализе системы в первом приближении можно пренебречь влиянием перекрестных связей.
В первом случае, когда наблюдается сильное влияние перекрестных связей в районе частот среза сепаратных систем, эти связи будут существенно сказываться па устойчивости системы в целом (при устойчивых сепаратных системах), в том числе и в сторону нарушения устойчивости. Поэтому для данного случая разработан специальный метод исследования устойчивости системы [)9). Изложим другой частотный метод анализа устойчивости многомерных систем е). Лналогично тому, как определялась матрица передаточпых функций замкнутой многомерной системы (3.6), можно находить и матрицу передаточных функций разомкнутой многомерной системы: и (г) и (г) ...
и „(е) м (г) и (е) ... м „ (е) и„ (г) и (е) ... и~ (е) И'(з) = е) Пс материалам, предоставленным автору О. Б. Гасларяпом. где элементы юе(г) главной диагонали матрицы И'(в) представляют собой передаточные функции сепаратных каналов системы, а леди агопальпые элементы юе (у Ф 1) — передаточные функции перекрестных связей меже ду каналами.
При этом аналогично обыч- ным одномерным системам Рвс. 8.13 мокспо общую схему многомер- ной системы представить в виде рис. 8ЛЗ, где обозначены векторы входных величин и, ошибки е и выходных величин х, а двойные липни соответствуют прохождению соответствующего комплекса воадействий. Так же как и в одномерном случае, адось можно преобразовать к виду рис. 6.14 любую многомерную систему автоматического управления на основании правил преобразования матричных структурных схем. Матрицы передаточных функций замкнутой многомерной системы связаны с разомкнутой (815) следующими соотношениями: для выходных величин Ф(з) = (Е + И'(е)] -~Ит(з), (8 16) а для ошибок Ф.(з) =!Е+ И'( И-', (8.17) где Š— единичная матрица. В изображепиях по Лапласу векторы выходных величин х и ошибок е определятся матричными уравнениями Х(е) = Ф(е) С (е), Е(е) = Ф,(е) С (е).
Координаты векторов Х(е), 6(з), Е(е) представляют собой преобразованные по Лапласу реальные сигналы выходов, входов и ошибок. Известными в математике методами можно найти собственныс значения д~(е) (1= 1, 2, ..., п) матрицы И'(з). Значения д;(з) тоже будут функциями комплексного переменного. Они получают дробно-рациональный вид, аналогичный обычным передаточньгм функциям одномерных разомкнутых систем. В связи с этим функции д;(е) называются характеристическими передаточными функциям мпогомерпой разомкнутой системы.
Будем полагать, что все эти собственные значения д,(е) различны, что на практике обычно имеет место. Доказано, что характеристическое уравнение замкнутой многомерной системы (см. (8.16) и (8.17)] представляется в виде йо],(Е+ И'(е)] = ~(1+ д;(г)), (8.18) т. е. характеристическое уравпепис замкнутой и-мерной системы распадается на и характеристических уравпепий воображаемых замкнутых одномерных систем 1+д,(г)=0, 1=-1, 2, ..., и, соответствующих собственным аначониям д;(е) матрицы передаточных функций разомкнутой. многомерной систомы И'(е). На данной основе можно представить себе для этого ряда воображаемых замкнутых одномерных систем их обычные передаточные функции, называемые также характеристическими: Е1 (в) Ф1(З) ~ ) (.)! ~~М(З) Г+ (в)э 1 1з 2э Следовательно, комплексная плоскость корней характеристического уравнения замкнутой многомерной системы (8.18) представляет собой наложение и комплексных плоскостей корней характеристических уравнений полученных воображаемых замкнутых систем.
Поэтому для устойчивости замкнутой линейной многомерной системы необходимо и достаточно, чтобы были устойчивы все эти вообравкаемые замкнутые системы. Основным достоинством данного метода является то, что исследование устойчивости сложной замкнутой многомерной системы сводится к определению устойчивости п обычных одномерных систем (818) — строго беа всяких приблия1ений. В принципе здесь мегино применить любой из известных критериев устойчивости, но удобнее всего использовать обычный частотный критерий Найквиста (см.
$4.4). В этом случае делается подстановка з = 1ю, вследствие чего матрица И'(з) переходит в числовую матрицу И'()ю) с комплексными элементами. При фиксированных значениях ю нахождение собственных значений д~(ую) такой матрицы производится уясе известными приемами. В частности, имеются стандартные пакеты программ вычисления на ЗВМ собственных значений комплексных матриц. -1 о Например, для устойчивой многомерной системы третьего Ч1 ага порядка в случае устойчивости м'у разомкнутой цепи годографы характеристических функций Мл-) д (1ю) (1=1, 2, 3) могут иметь Рнс. 8Л4 вид, покааянный примерно на рис.
8 14. Аналогично обычзым критериям Найквиста определяется устойчивость многомерной системы и в случаях нейтральной или неустойчивой разомкнутой цепи. Важно подчеркнуть следующее. Нельзя в общем случае судить об устойчивости многомерной системы в целом по устойчивости сепаратных ее каналов. Обязательно надо прибегать к определению характеристических передаточных функций д~(з). Покажем это на простом примере. Пусть имеется двумерная система, структурная схема которой показана на рис.
ЗЛ5, где 2,5 И И1(8)=а(1,2,+Х)(о,оь+$) Из(з) =з(«,Ь+ц ° а величины г„являются коэффициентами «кестких взаимных связей. Характеристические функции «««(г) и оз (г) такой многомерной системы, вычисленнь«е описанным выше способом с подстановкой г = «а«, имеют вид г «т (рл)+г, И',(~а) 2 /[г И«(рл) + г И' («а«))з ~~/ *' ' " ' — И'Яв)ИЯв)(г««г„— г„г„). При некоторых значениях коэффициентов го годографы для сепаратных систем И'«(«е«) и И'з(«о«) (рис. 8Л6) идут благоприятным обраеом (не схватывая точки -1).
Эдпако годографы характеристических функций уг(/гэ) я дэ()гв) говорят о неустойчивости многомерной системы э целом, так как д~()ю) охватывает точку — 1. При других»ке значениях коэффициентов г„(рис. 8.17) данная многомерная система устойчива. В заключение заметим, что описанный метод исследования устойчивости многомерной системы справедлив в том случае, когда система является управляемой п наблюдаемой; понятия об этом даготся в следующем параграфе.
э 8.4. Понятие управляемости н наблюдаемости систем Рассмотрим линейную систему, динамика которой описывается дифференциальными уравнениями и-го порядка. Тогда состояние системы будет определиться и координатами х1 (г=-1, ..., л). Зги координаты состояния системы, как отмечалось в э 2.3, не обязательно будут совпадать с физическими величинами, в том число и с выходными величинами систем. Поэтому в об- иг сися»ияяия уг щем случае надо ввести отдельные обозначения и для выходных управляе- " й мых величин уь уг, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
