popovEP1 (950645), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Уравнения водяного трубопровода имеют вид дэ дз дз и дэ — — = з — + ЬР (9.16) де дх ' д8 д дх ' где х, и, Ь вЂ” переменпые зпачения расстояния, скорости течения и напора воды вдоль трубопровода; Ь, а, я — коэффициент трения, скорость звука в воде и ускорение силы тяжести. Уравнения газового трубопровода имеют вид (9Л7) где х, и, р — текущие значения (вдоль трубопровода)' расстояния, скорости и давления газа; р, а — плотность газа (в установившемся режиме) и скорость авука в газе. Звепья с распределенными параметрами могут входить в состав аамкнутой системы автоматического регулирования наряду с другими звеньями, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравкеяиями.
Примерами таких систем явлшотся система автоматического регулирования скорости гидротурбипы, система регулирования давления газа, подаваемого потребителю, и др. Общий подход к исследованию и расчету автоматической системы с распределенными параметрами следующий. Определяются граничные условия (например, яа обоих концах длинной линии или трубопровода), которые имеют место в данной системе. Решаются уравнения в частных яроизводпых с учетом этих грапичных условий. В результате для авена с распределепяыми параметрами получается трансцендентная передаточпая функция И~„(з), которая включается в общую систему в сочетании с обыкновеквыми передатошыми фуикциями остальных звеньев. Например, для длинной электрической линии (9Л5) получается (36) яередаточпая функция И~ (з) =- СИ ЯГ+!") (ч+ СБ) Ь где Б — полная длина линии. При отсутствии потерь (г = О, д = 0) передаточная функция длинной линии примет вид И' (з)=е ™ т= гЯ3 т.
е. она сводится к элементу ааяаздывапия (9.4). Для водяпого трубопровода (9Л6) в системе регулирования скорости гидротурбипы (рис. 9Л1) передаточная функция [36) будет се — а р'е (е + Ь) 1Ь |/е (е + Ь). с ее'р (г) а 3 е+ —,У (+Ь) АУ (+Ь). При отсутствии сопротивления (Ь = О) получаем (1 — 2с)е™+(1+2с)е се а (1+с)есе+(1 — с) е се ' 2Х Здесь получается элемент запаздывания более сложного типа.
а Рис. 9.11 Рис. 9.12 Для газового трубопровода (9.17) в системе регулирования давления р (рис. 9.12) передаточная функция принимает вид (25) 1+ Ье ~е 2Ь 1+ Ье "'+с(1 — Ье "е) 2(с+1) — Ь а 2(с — 1) — )с' и ' где )с — показатель степени в адиабатическом уравнении состояния газа, р — скорость газа в установившемся Рэиснмс. В обоих последних примерах величина т является значением времени прохождения звука по трубопроводу туда и обратно.
После получения трансцендентной передаточной функции звена с раси:ределенными параметрами устойчивость системы в целом исследуется так же, как и для систем с запаздыванием (9 9.1), с помощью критерия Михайлова или критерия Найквиста. Для анализа качества процессов управления могут быть применены частотные оценки. ,9 9.3. Системы с переменными параметрами вФ га ао(») „+ а~(») — + ... +а т(») Вх + а (»)х = о()» ~в+ .. ° + Ьм г(») + Ь„(»)~(») (913) Будем полагать, »то задан закон изменения каждого коэффициента а, и Ь, во времени (рнс.
9.13, а). Очевидно, что формы переходной Ь(») и весовой й(») функций в такой системе будут зависеть от того, в какой момент времени 6 (рис. 9.13) подается на систему соответственно единичный скачок или импульс. Поэтому переходная и весовая функция будут здесь параметрическими с параметром 6, т. е. Ь(» — 6, 6), Ь(» — 6, 6). При автоматическом управлении двин»ением часто сам управляемый объект описывается дифферетщиальным уравнением с переменными во времени ноэффиуиентами. Например, в процессе движения самолета уменыпается его масса аа счет выгорания топлива, изменяется скорость полета, плотность атмосферы с изменением высоты полета и т.
п. Эти перемена» ные во времени параметры входят в коэффициенты ураза пений динамики полета самолета. То же самое относится и к подводным аппаратам. Другим примером может служить автоматически управляемая манипуляционная система робота, в которой переменным параметром является момент инерции эа счет изменения конфигурации манипулятора и грузов в процессе движения. Рис. 9ЛЗ Вследствие переменности параметров объекта вся замкнутая система автоматического управления будет описываться дифференциальным уравнением с переменными ко- эффициентами Возможны два варианта рассмотрения зтих функций: 1) нормальный, когда Ф вЂ” переменная, как на рис.
9ЛЗ, О = сопз$; 2) сопряженный, когда Π— переменная, Ф=сопзФ. Последний применяется, например, для вычисления интеграла, определявнцего изменение регулируемой вепичины х (г) = ~ И($ — О, О) 1 (О) йО. о Вообще весовая функция й(й, О) или, как ее еще называют, импульснан переходная функция (реакция на импульсное воздействие) является осповной динамической характеристикой липейной системы с переменными параметрамп [33), Но раз она зависит от двух переменных (~ и О, рис.
9ЛЗ), то графически ее можно представить в трехмерном пространстве (рис. 9.14). Естественно, ~(г,л/ Рзс. 9Л4 Рис. ЗЛ5 что она равпа нулю при 1 =-О, т. е. в момент крипо~кения импульса, а также при г(О, т. е. до момента приложения импульса. Поскольку система имеет переменные параметры, то очертание весовой функции к(1, О) будет меняться с изменением момента приложения импульса О, как показано, папример, на рис. 9Л4.
Нормальная форма весовой функции, когда 1 переменное, а О=сопзВ, изобразится сечением, показанным на рис. 9.15. Сопряженная форма весовой функции (г ==. сопзц а О переменная) получится другим сечением (рис. 9Л4). Аналитическое определение функций Ь и Й в системах с переменными параметрами затруднительно.
Для систем высокого порядка зто возможно только численными приемами. Столь же трудно и определение передаточной функции. Она будет параметрической с параметром 8 и вычисляется согласно определению (1.9) как изображение гю Лапласу весовой функции, а именно: Ф(г, 1) = ~ й(1 — 6, б)е-Я'-юЮ. При этом изображение по Лапласу выходной величины имеет вид Х(г, 1)= Ф(з, Г)Г(з). Передаточные функции системы с переменными параметрами И'(з, ») и Ф(з, г) не выражаются простым отношением многочленов, как в обыкновенных системах, а имеют значительно более сложное выражение.
Для расчета систем с переменными параметрами можно применять коэффициенты ошибок, формулы для которых аналогичны прежним (з 3.4). Существуют специальные методы исследования устойчивости систем с переменными параметрами, имеющие весьма существенное отличие от обычных. Особенность состоит в том, что вследствие переменности коэффициентов трудно говорить об асимптотической устойчивости (т. е.
о свойстве х(Г)- 0 при 1- ). Поведение такой системы рассматривают обычно на копечном интервале времени (го~ г ~ Т). При атом устойчивость системы понимается как ее свойство, проявляющееся в том, что после прекращения действия внешних возмущений координаты состояния системы, начиная с некоторого момента времеви вплоть до конечного» = Т, пе выходят за пределы заранее заданных конечных значений (допустимых по техническим условиям). С этим связан термин «техническая устойчивость». Существует несколько методов определения весовой и передаточной функций, частотных характеристик, а также исследования устойчивости систем с переменными параметрами. Для их изучения можно обратиться к книгам [33) и (20). Если найдена весовая функция, то система с переменными параметрами будет устойчивой на заданном иптервале времени Т, если ее весовая функция (в нормальной форме) является затухающей во времени для всех д, лежащих внутри этого ни~ерзала (33), что можно выразить в виде ~ ~ й (~, О) ~ сй ( оо, 0 (() ( Т.
Если же найдена передаточная функция Ф(Е, б), то Пля устойчивости линейной системьс с переменными параметрами на конечном интервале времени необходимо и достаточно, чтобы эта функция не имела полюсов в правок полуплоскости и на мнимой оси комплексной плоскости з при всех б, лежащих в данном интервале.
Формулировки достаточно простые, но важная особенность состоит здесь в определении весовой и передаточ- Рнс. 9.16 ной функций. Ввиду больших трудностей точного решения задачи исследования и проектирования систем с переменными параметрами применяются приближенные методьс и методы численного решения на вычислительных машинах Наиболее распространенным приближенным методом является метод замороженных коэффициентов. Он применим длн систем со сравнительно медленным во времени изменением параметров по сравнению с протеканием переходных процессов, как это часто имеет место в системах автоматического управлении движущимисн объектами.
Метод замороженных коэффициентов заключается в следующем. Весь рассматриваемый интервал времени работы данной системы разбивается на участки так, чтобы внутри каждого участка параметры изменялись не очень значительно (рис. 9 18). Для проязволыюго участка с начальным значением времени ге=6» (В=О, 1, 2,...) все коэффициенты дифференциального уравнения (9.18) считаются постоянными, равными их значениям в начале участка, т. е. для Й-го участка имеем уравнение еЯъу по(бь) — „„+ ." + ое(бь)х = дэ(бь) — „„+ ... +~т(йь)1И). Внутри каждого участка исследуется соответствующее обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянны- ми коэффициентами (но разнымя для разных участков) согласно разделам теории автоматического управлении, изложенным в предыдущих главах.
Очевидно, что если на объект с переменными параметрами поставить систему управления с постоянными параметрами, то качество процесса управления будет менятьсн с течением времени. Нужно проверить, допустимо ли это. Если нет, то надо изменять и параметры системы (общий коэффициент усилении и постоянные времени корректиругощих устройств). Обычно это измепение производится автоматически в процессе управления движением по заранее заложенной программе по времени нли по величине скорости движения или же по другим признакам изменения состоянии системы.
Чаще всего такая перестройка параметров системы управления делается скачками в одной- двух или нескольких точках всего интервала движения. Решение, полученное в соответствии с методом замороженных коэффициентов, можно уточнять методом последовательных приближений, например, следующим образом. Представим все коэффициенты уравнения (9.18) в вице ар (~) = аР + а; = ар (О) + а1 (1), ~ ~~ О, (9Л9) где 6 — начало рассматриваемого участка времени (рнс. 9.13, а). Запишем уравнение (9Л8) с учетом обозначений (9Л9) раях ра~ ~х р Ых ар — +а, + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
