popovEP1 (950645), страница 28
Текст из файла (страница 28)
е. распадается на дза уравнения В (л) (ле А+вм( о (8.з4) в" (л) = (ле — А + сР( = о. (8.33) Последнее обстоятельство дает возможность независимого модального синтеза как основпой системы с координатами вектора х по уравнению (8.34), так и системы определения погрешности Лх по уравнению (8.35). Тре буется, чтобы погрешность наблюдения Лх(т) быстро затухала во времени. Существуют и другие схемы наблюдателей, каждый из которых обладает своими особенностями.
Для иллюстрации воэможностей и особенности наложенной методики рассмотрим пример расчета следящей системы с наблюдателем, представленной на рис. 8.21. Ряс. 8.21 По этой схеме составим уравнения состояний данной следящей системы с наблюдателем Канкана. Получим х~ = — аих1 — Ь,1)21х1 — Ь11)саха+ Ьийд, по в векторно-матричной форме запишется так х О: — 6„6, О! О Ф 11 21 ср:.— (а +Ь Ь ) СР2: 222 О О Х2 х 2 х2 =амхп х1 = ср|х2 — (аи+)с|Ьи)х1 — (122Ьи+ ср~)х2+ Ьий|, х2 = срэтт+ а21х1 — срэтт, — 62262 О Х вЂ” (ЙЬ +ср) — ср х Х вЂ” + 21 22 уравнение будет Ооответствующее характеристическое иметь внд ь„ь, О Л-~ а — а 21 О. В (Л) — ср:Л+а -(- ь 2 а ь11+ ср - .р: :— а Л+ср 21 21 2 По известным правилам оно может быть приведено к нормальной Форме.
Перейдем от координат наблюдателя х1 и хг к координатам ошибок наблюдения Ьх1 = — х1 — х1 и Лхг=хг — хг. После подстановки х1 = х1 — Лх и хг = хг — Ьхг в уравнепие состояния системы и соответствующих преобразований, получим уравнение системы с наблюдателем ( ы+ Ьыа,) — Ьыа,:, Ьпа, О:: О ь„аг О аа аа О ! — а — ср 11 1 О ! а — ср 21 2 и соответствующее ему характеристическое уравнение, которое после раскрытия определителя вапишетсн в виде П(Л)=((Л+а + Ьп)21)Л+ Ь 'АХ Х ((Л+ ап) (Л+ срг)+ аг1ср1) = О. Последнее уравнение распадается на характеристическое уравнение собственно системы В'(Л)=Л +Л(ап+ Ьп)с|)+амЬпйг=О и уравнение ошибки наблюдателя Р (Л) = Лг+ Л(ап + срг)+ (апсрг+ аг1ср1) = О, которые независимы и могут быть синтееировапы свобоДпым выбоРом паРаметРов ссь 222 и соответственно Р, и Рг (см.
Рис. 8.21). ГЛАВА 9 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДРУГИХ ТИПОВ 9 9Л. Системы с запаздыванием будет описываться уравнением а*, (В Т 2 +х (Г)=йх (à — т) (9Л) — уравнением с заиаздывающим аргументом. Это значит, что реакция звена, например, па единичный скачок (т. е. переходная функция) вместо обычной (рис. 9Л, б) будет иметь вид, изображенный на рис. 9Л, в. Уравнение (9Л) можно разбить на два, введя промежуточную переменную х„а именно: 2 * Т вЂ” +х йх зг 2 и х2(2) = х,(г — т).
(9.2) (9.9) Тогда структурно наше звено с запаздыванием разделится на два (рис. 9Л, г): обыкновенное звено и элемент запаздывания, описываемьй уравнением (9.3) . Будем рассматривать только такие системы, у которых во всех процессах величина запаздывания т остается постоянной, хотя существует теория и для изменяющегося с.
Примерами звеньев с запаздыванием могут служить: акустическая линия связи (т — время прохождения звука В отличие от систем, рассматривавшихся в предыдущих главах, системой с аапаздыванием называется такая система, в которой имеется звено, обладающее тем свойством, что реакция его на выходе отстает по времени на некоторую величину т. Например, апериодическое звено с запаздыванием, вместо обычного э среде); радиолиния связи Земля — Лупа в системе телеуправления, па пример, луноходом; дозировапие вещества с перемещением его на ленточном транспорте (т — время движения между определенными точками); г Рас.
ОЛ измерение толщины проката яа определенном расстоянии от регулируемых валков. Запишем передаточную функцию элемента запаздывания (9.3). По определению, это есть отношение изображений по Лапласу выходной и входной величин при нулевых начальных условиях. Применяя теорему запаздывания операционного исчисления, для уравнения (9.3) получаем передаточную функцию И'.(е)=е ™. (9.4) Тогда, если элемент запаздывания находится в прямой цепи системы (рис. 9.2, а) и не охватывается местной обратной связью, если она имеется (рис. 9.2, б), то общая передаточная Функция разомкнутой цепи полу чает вид И (е) = И,(.) ~-= ~ — "".--, (9.3) Ь (а) где И'е(г) — общая передаточная функция всех остальных звеньев цепи, кроме елемента запаздывании.
Передаточная функция вамяяутой системы равна Ф (в) (') — (') ' . ,'9,6) 1+ ~'(в) й ( ) + КЛ (в);"' В случае, если алемепх аапаедывания входит в прямую цепь, но охватывается местной обратной свяеью б Рис. 9.2 (рис. 9.3, а), общая передаточная функция разомкнутой ~епи будет И' (в) И' (в) И' (в) в в+И" (в) И' (в) е (9.7) а передаточная функция замкнутой системы получит вид ьу,() и,()и,() -" ( + (И' (в) И" (в)+И' (в) И~ (в) И' (в)) в Наконец, если элемент запаздывания находится в цепи обратной свнзи (рис. 9.3, б), то передаточная функция разомкнутой цепи будет И'1 (в) и72 (в) И 3 (в) "= (+*И,(в) И~в(в) в-- (9.9) а передаточная функция замкнутой системы Ф (в)— в (в) з (в) ~+И ()И () ( И ()И ()Ив() Построим частотные характеристики разомкнутой пепи системы с запаздыванием для случая (9.5).
Амплитудно-фазовая частотная характеристика будет И" (1ю) = И'о(рв)е '™, (9АО)' так что амплитудпан н фазовая частотные характеристики принимают вид А (ю) = Ао(ю), вр(ю) = вро(ю) — твв, (9.И) г. е. наличие элемента запаздывания не меняет амплитудной частотной характеристики, но суп(ествеппо влияет на фазовую частотную характеристику, причем <р(а)- — при а— Позтому все векторы А(ю) о' поворачиваются в отрицательную сторону на угол тв (рис.
9А) н кривая И'()ю) принимает спиральную форму, асимптотически приближаясь к Рис. 9А началу координат. Логарифмические частотные характеристики согласно (9А.в) примут вид, показанный на рис. 9.5. В других случаях, т. е. для выражений (9.7) и (9.9), )чертаяия частотных характеристик будут более сложными. Обратимся теперь к исследованию устойчивости аалннутой системы с ваиаадываниел.
Характеристическое уравнение системы с запаздыванием, как видно из (9.6), будет трансцендентным 1 (Л)+К)1'(Л)е 'в=О. (9Л2)' Поэтому алгебраический критерий устойчивости стаяовится здесь слишком сложным (критерии Гурвица и Рауса уже неприменимы). Критерий Михайлова и Найквиста для систем с запаздыванием сохраняют свои прежние обычные формулировки. Меняется лишь форма годографов. Рас.
9.6 Ряс. 9.5 Уравнение кривой Михайлова для случая, показанного яа рис. 9.2, согласно (9.12) принимает вид уу(уа) = Е(уа)+ Кур(ув) (соз та — у вш гв) . Отсюда видно, что после выделения вещественной и мнимой частей УУ(уа)=Х(а, созта, вата)+уу(а, созтв, эштв) каждая из пих будет содержать колебательпые по параметру составляющие, что отразится на очертании кривой (рис. 9.6).
Критерий Михайлова удобно применять для опредеПения ераниу и областей устойчивости систем с запаздыванием. На границе устойчивости кривая Михайлова проседи т через начало координат, причем так, что весь мотальной ход кривой соответствует устойчивости (точ- нее — при помощи малой деформации кривой у начала координат моясно удовлетворить критерию устойчивости). Итак при некотором значении а будет Б(са)=О, т.
е. Х(а, соэ са, зспта)=О, У (а~ соз та, а1п 'са) = О. Этими двумя уравнениями определяются границы устойчивости по одному параметру нли на плоскости двух параметров, или же в пространстве парамет- К е %5 ров, входящих в коэф- е(де .П фициенты уравнений '(9ЛЗ). Внутри очерченной этими границами Рас.
9.7 области в какой-нибудь одной точке надо проверить весь ход кривой Михайлова, чтобы убедиться, что это действительно область устойчивости. Приведем пример. Пусть согласно рис. 9.7 задана передаточная функция разомкнутой цепи системы Ке бг +О' Тогда .0(~,) = ТУР+). + Ке-", П(уа) = — Та'+ (а+ К(соз та — у зш та). Уравнения границы устойчивости Х= — Тас+Ксозта=О, у = а — К зш са = О. Отсюда находим, что на границе устойчивости К=., Т= Бсв са а Ся та При заданном значении с на плоскости параметров К, Т строим сю этим уравнениям (меняя а) границу устойчивости (рис. 9.8). Таким образом получаем ограниченную область устойчивости.
Заметим, что при отсутствии с эта система устойчива лри любых положительпыхКи Т. Проиллюстрируем теперь использование критерия Найквиста. Иэ рис. 9.4 и рис. 9.5 видно, что в случае, показанном на рис. 9.2, частотные характеристики за счет запаздывания т деформируются так, что система приближается к границе устойчивости и даже может стать неустойчивой. Найдем критическое время запаздывания т„ю т. е. такую величину т, которая выводит систему на гранину устойчивости.
Тогда И'(ую) будет проходить через точку Рис. 9,8 Рис. 9.9 — 1 (рис. 9.9). Это значит, что при некотором значении ю =- ю~ согласно (9А1) гюлучается Ас(е~) = 1, <рз(ю1) — т„,ю1 = — тс. Отсюда находим я+ то( г) гвг (9А4) О где ю1 определяется из условия Ао(ю~) = 1. Например, если задано л И' (в) =- —, та+ 1' то условие Ас(ю) = 1 нриннмает вид =1, $~'т'и, +1 зткуда 3/1' — 1 т Гогда по формуле (9А4) находим — а ~/У-1 т ткр = На рис. 910 показана полученная отсюда кривая зависимости относительного критического запаздывания т/Т тт коэффициепта усиления К.
Нак видим, при г) т, система становится неустойчивой, хотя при отсутствии запаздывания эта система устойчива при любом К. В тех случаях, когда элемент запаздывания находится в местной обратной свя- Иеретайчоееете зи, его влияние будет совсем иным В зависимости от уира~ и еэ ч структуры системы оно может оказаться и благоприятным, т. е. может улучжать 4' устойчивость системы по аналогии с инерционной обратной связью (см. $ 6.2).
Можно исследовать также влияние запаздывании па качество процесса управления (как на частотные, так и на корневые оценки качества). й 9.2. Системы с распределенными параметрами До сих пор рассматривались системы с сосредоточенными параметрами. Последние выражались в виде коэффициентов усиления и постоянных времени звеньев. Динамика системы описывалась обыкновенными дифференциальными уравнениями. В том случае, когда в системе появляется звено с распределенными параметрами (длинная электрическая линяя, длинный трубопровод и т. и.), динамика такого звена описывается дифференциальными уравнениями в частных производных. Например, уравнения длинной электрической линни имеют вид ди дю — + ) — +гг'=О, дх д$ где х, и, г — текугцие значения расстояния, напряжения и тока вдоль линии; 1, е, г, д — индуктивкость, емкость, сопротивление и проводимость на единицу длины линии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
