popovEP1 (950645), страница 31
Текст из файла (страница 31)
10.2 можно представить следуннцим образом 1 пТ+еТ, 0(в ~1, п=О, 1, 2, ... В дальнейшем удобно пользоваться относительным временем Ф вЂ” =и+в. Т При етом уравнение разомкнутой цепи импульсной системы (рис. 101, г) можно записать череа решетчатую входную функцию д[п) в виде х [п, е[ = ~ й [и — г, е) д [г), и = 0 1, 2, ...„ где г, как и и, обозначает относительное текущее время, по которому производится суммирование.
Учитывая, что при Т(0 имеем й(Т)= О, значения г) и можно отбросить, и зто уравнение записать в виде х [п, е) = ~ч'., й [п — г, е[ й [г[. (10.3) т О Перейдем к определению передаточных функций системы. В используемом ниже преобразовании Лапласа для импульсньж систем введем безразмерную комплексную переменную Иаображепия входной и выходной величин определяются дискретным преобразованием Лапласа и обозначаются соответственно а*И = Ф(д[п)) = Х д[п[е-'".
п-О Х*(д, е)=йд(х[п, е)). Здесь видна полная аналогия с обычным преобразованием Лапласа, но с суммированием дискретных величин вместо интегрирования непрерывных. Применяется также Я-преобразование, которое эквивалентно приведенному выше, а именно, обозначив г = е', получим Я (д [п)) = ~ г-"д [и[. И' (о,е)= Х*(д, е) ($0.4) Здесь текущее безразмерное время е между импульсами отсутствует в знаменателе, так как входная величина 4п) есть решетчатая функция. Дискретная передаточная функция может быть определепа еще иначе.
Предварительно находится И' (о) = — Ит (в) ~ т а затем применяетсн так называемое й-преобразование: И"е (д, е) = Я (И' (д)р Д И" (о + 2яут) еИ+~ ~'~в. (10.5) Передаточная функция разомкнутой цепи импульсной системы, как отношение изображений выходной и входной величин при нулевых начальных условиях представляется в форме (дискретная передаточная (дрнкция) Для вычислений удобно пользоваться выражением тт ч И'*(д, е) = ~~ ~йезйг(д0 $=-1 еч — е '.1 где т — число полюсов д; передаточной функции И" (д).
Аналогично обычным линейным системам здесь имеется следующее соотношение между передаточной и весовой функциями: И (д, ) =м)(й(п, )) = Я й(п, )е —, (10.0) в-О Ц~, з1 = йр ~(ту*(д, з)). а к(1) = Я' 1(И" (з)) = — ~е — дг, т, Заменим г=(п'+е)Т. Тогда получим ь [и е) е — з[а+е) а 7 р= —.
Т х. По формуле (10.6), пользуясь таблицей дискретного преобразования Лапласа, паходим передаточную функцию импульсного фильтра еч Ие(д, з) = — т е — Р~. ут еч — в Пример 2. Пусть в той же импульсной системе формируются импульсы длительпостыо (Т. Тогда с учетом (10.2) будем иметь: И (з) = И'Ф(з) И н(з) = — (1 — е т ) у 1 аг Отсюда по формуле (10.5), используя таблицы Ы-преоб- Приведем два примера. Пример 1.
В импульсной системе с простейшим импульсным элементом (рис. 10.1, а) задана ь И" (з) = т,,+~. Такое устройство называется импульсным фильтром. Весовая функция системы находится следующим образом: раэования, получаем передаточную функцию (при с =О) И'е (д, О) = Ус е — Э В общем случае передаточная функция раеоэсннутой цепи импульсной системы имеет вид И'*(д, е) = — ' Ло (О, е)' г' (ч) где )т'*(д, з)=со(е)ео" +ос(е)еос' и+... +со-с(е)во+с„(е), )'е(д) = Ьово" + Ь|еос и+... + Ь„|в'+ Ь, причем показатель степени й < т. В соответствии со свойством Ы-преобразования передаточная функция И'е(д, е) будет периодической вдоль мнимой оси плоскости д = а + )с» с периодом 2п.
Здесь 7 ей Поэтому сэ = сэТ вЂ” без- Й размерная частота. Следовательно, Ите(о, е) бу- вн ® дет вполне определена своими е значениями и основной полосе (рис. 10.3): — я<со- и, — ос<и<со. -Ж Заменой Рис. Ю.З е' = г (с0.7) получаем передаточную функцию в форме Я:-преобразования Л,(с, е) И', (г, е) = ь* (с) ' где со о (г, е) = со (е) г~ + сг (е) гм-г + ... + са (е) г -(- с„(е)с Хо(г)=Ьог' +Ьги -с+ ... +Ь дг+Ь ()с~ т).
Преобразование (г0.7) отображает основную полосу, которая эагптриховапа на рис. 10.3 во всю плоскость г, причем отрезок мнимой оси о = усе, — и < со < и отображается в окружность едэни шаго радиуса (рис. 1().4) При этом левая часть полосы отображается внутрь единичного круга. Таким образом характеризуется разомкнутая цепь импульсной системы. Запигпем теперь уравнение замкнутой импульсной си([[) стемы (рис. 16.5). Представим его в виде к[; ) = Х й[п —; ) у[)— о=о — ~~~~ й [и — т„е) я [т], (16.8) т о где й — весовая функция разомкнутой цепи. Рис. Ю4 Рвс. 10.5 Рвс. $0.6 к [и, е) = ~ Йо [и — т, е) [д (т)), т о где й, — весовая функция замкнутой системы й,[п, з)=Ы ЧФо(д, е)). Обратимся теперь к системе с двумя ипульсныли алеиенталси (рис.
10.6). Если периоды чередования импульсов в обоих элементах одинаковы, то система называется синхронной. В противном случае — асинхронной. (1040) Соответственно елавнал передаточная у)уннция ваэсннутой системы примет вид Эо хо(в, о) и" (в, ) )то(в, с) (1О р) С*(д) 1+И'о(д, е) Ьо(д)+Ж'(д,с) ' При этом выходную величину замкнутой системы поясно будет определить согласно выражению Если в синхронной системе совпадают и моменты начала импульсов, то система называется сияфазной. Рассмотрим синхронную систему.
Пусть е~Т вЂ” смещение импульсов второго элемента по отношению к первок показано на рис. Ю.7. му ка Тогда уЯ) = )'„зо (з —,п) д (и], о о г уо (1) ~ зз (1 и ег) хз (и ЕД~ а" о о где з~(1) и зз(1) — функцюа формировапия импульсов типа (10.Ц, но смещенные по оси времени д соответственно на и и на и+ еь Введем здесь, как и раньше, Рис. 10.7 простейшие импульсные элементы в разомкнутой цепи системы и рассмотрим приведенные линейные части (рис.
Ю.8), где представлена разомкнутая цепь импульсной системы. Тогда получим 1с,(г)"= ) й,„'(» — ч) зх(т) ото о о й (г) = ) йо„(1 — т) з (т) Ит. о записать уравнения для разомкнутой цепи хг (и, е) = ~~'„',. й (п — г, а) д [г), с о хо (П е) ~ й (и — г, е — еД„п = О, 1, 2, (Ю.И) о Переходя к относительпому времени 1 = — = п +е„ у= с учетом сдвига е1 во втором импульсном элементе можно ;м ~,.и'1~" жо.о г ою) оф Рис. 1йй Найдем передаточную функцию распни~утай цепи. В изображениях дискретного преобразования Лапласа получаем йг(о, е) И'~~(д, е)6е(д), ~з (Ь е) И 2 Йз е ет) ~1 (% зг)~ а следовательно, Хз (д, е) = И"з(д, е — е) И'г(д, г. )6е.
Э В передаточной функции И', здесь сделана замена е яа еп так как на вход последнего звена (рис. 10.8) поступает решетчатая функция со сдвигом зь Рис. 10.9 Передаточная функция разомкнутой цепи представит:я в форме И'*(д, г) = И'~ (д,"в ) И'з (д, е — е). (10 12) В случае синфазной системы (е~ = О) получим Ие(д, е) = И'~ (д) И', (д, з). (10ЛЗ) Проделаем аналогичные преобразования для синхроншй системы с параллельно соединенными импульсными ~лементами (рис. 10.9). В дискретных изображениях имеем Хг (д, е) = И', (д, з) 6* (д), Хз (д, е) =- И", (д, е — зг) 6* (д, з,), где з~ — сдвиг во втором импульсном элементе по отношению к первому.
Поскольку на рис. 10.9 х = ж~+ хм то Х* (д, з) = И'г (д, е) Се (д) + И'з (д, е — ег) С* (д, зт). Очевидно, что написание единой передаточной функции всей разомкнутой цепи возмонсно в этом случае только для сипфазной системы (е~ = — О). Тогда И'*(д, з) = н,~ч' ) = И'~~(д, е) + И'~~(д, е). (10.14) Для передаточной функции замкнутой системы во всех случаях сохраняется прежняя формула (10.9).
Излонсенные результаты легко распространяются н на системы с несколькими импульсными элементами. з 10.2, Частотные характеристики импульсных систем Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой импульсной системы (рис. 10.10) определяется б Рзс. Ю.10 аналогично обыкновенной линейной системе. На вход по- дается сигнал е (г) = зш М. Оп преобразуется в решетчатую функцию яИ зш и (10.1б) гак как в дискретных точках г = яТ.
Здесь введено обозначение а = аТ вЂ” безразмерная частота. Лввклитрдно-(разовая частотная характеристика определяется в виде И'*(уа, е) = И* (о, е) ~ (10Л6) Отсюда находятся амплитудная частотная характеристика Ав(а, е)=!И'в(уа, е)! и фазовая частотная характеристика <рв (а, е) = агя И"*(уа, е). В соответствии с формулой (Ю.б) получаем Итв (уа, е) ~~", И'(у (а + 2пт)) еУ("+ве")в (10 17) а по формуле (Ю.6) вв И'*(уа, е) = ~~э ~Ув(п, е) е У"".
(10Л8) в в Смысл этого положения следующий. Пусть па вход разомкнутой цепи импульсной системы поступает сигнал йЩ= зуп ай Последнее является дискретным преобразованием Фурье. Рассмотрим свойства частотных характеристик импульсных систем. 1.
Кроме зависимости от а, характеристики зависят от е. Графически это выражается в виде серии кривых И'*(уа) для разпых значений е. Обычно бывает достаточно одной характеристики И'в(уа) при е = О. 2. В соответствии с периодичностью передаточной функции И'е(д, е) (см. рис. 10.3) амплитудно-фазовая частотная характеристика И'*(уа) также будет периодической с периодом 2я. Поэтому она полностью определяется своими значениями в интервале -я ~ а ~~ и.
(ЮЛО) Тогда согласно рис. Ю.10 и (Ф) ~ б(к — пТ) е[п апТ. Пусть теперь 2~ д(г) о[п(в+ гао)г, ао= —, к=О, ~1, ~2, ..., где ао — частота квантования (частота следования им- пульсов). Тогда и (к) ь б (1 — пТ) в(п (аиТ + у е о г — пТ~ х = .,'~~~ 6(к — пТ) е(пвпТе о Ио([со, е) = 7Р(в, е)+ уУо(в, е), то вещественная частотная характеристика Уо(ко, е) будет четной функцией ы, а мнимая частотная характеристика уо(о, е) — нечетной, Это вытекает иа свойства дискретного преобрааованин Фурье (ЮЛ8), согласно ко- торому И'*( — У.) =И ((ы). Поатому вместо (1ОЛО) достаточно рассматривать интервал иамепения беораамерпой частоты О» в» и. 4.
В крайних точках интервала О» а» и согласно (10.18), амплитудно-ф азова я частотная характеристика принимает вещественные значения И'о (10, е) = ~ й [п, е), в о И'о(уп, е) = ~ ( — 1) В [и, е). (Ю.2О) т. е. при частоте в + гво получается тот гке реаультат,. что и при оь Это и приводит к периодичности частотных. характеристик импульсных систем. 3. Если представить И'о(уа, е) в виде 5. При уменьшении периода следования импульсов Т, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
