popovEP1 (950645), страница 34
Текст из файла (страница 34)
3), введем здесь определение статической ошибки, астатизма и коэффициентов ошибок, а танисе ошибок при гармоническом воздействии. Ошибку импульсной системы мы условились обозначать 0 (см. рис. 10.5). Имея в виду, что передаточная функция замкнутой системы для ошибки равна Ф "') 1;ж,*(. (10.41) т (+и' (4 (+гг (И Это и будет статическая ошибка импульсной системы д,ч.
Астатической импульсной системой будет такая, у которой передаточная функция разомкнутой цепи имеет полюс а= 1 (у=0), т. е. установившуюся ошибку д„, при постоянной величине внешнего воздействии д(1) = бе можно вкошслить по фор- муле где И",(з) пе имеет полюсов в точке з=1. Передаточная функция замкнутой системы по ошибке в этом случает будет Фе (з) =(з — 1)Фо,(з), (10.43) где ч Фоо(х) = нвляется функцией, пе имеющей пулей при э= 1. В такой астатической системе при внешнем воздействии вида я(з) = яз+ рг установившаяся ошибка получит выражение 1) га+лг зг (1о 44 ж н, ()+ 1 ~,*(1) ° Это постоянпан величина скоростной ошибки О,„астатнческой системы. Статическая же ошибка отсутствует.
Аналогично получается дважды астатическая импульсная система, если передаточнан функция разомкнутой цепи атой системы имеет двойной ползос в точке э=1 (д= О), Тогда появится постоянная ошибка только по ускорению изменения внешнего воздействия д(Г). Надо иметь в виду, что в импульсных системах могут возникать малые колебания внутри периода повторения сигнала в установившемся режиме. Определим коэй1фициенты ошибок для импульсной системы аналогично тому, как это делалось для пепрерывньтх систем (з 3.4). Разложим в рнд Тейлора передаточную функцию замкнутой импульсной системы для ошибки в окрестности тош1и з = 1: Фо,(з) = «~ — (з — 1)", ь е где сь = „* ~ = ~' т ( — 1) йе[т).
(10.45) л~ф'*(э) ! ь ь ~~=о Здесь й~[ш1 при т=п есть весовая функция системы по ошибке. Так определяются коэффициенты ошибок сз, сь сэ, ... При этом, например, первые три козффици- ента имеют вид с =- Фе*(1) = Х йе!т] м=о оФс (о) ~ с = = — У т)оо [т] ло ]я=у о о 1 =Х ( — оо! 1. ооФ~ (о) ы=о Передаточная фушоцня импульсной системы согласно формулам (10.41) и (10.39) имеет вид отношения мно- гочлепов ~; (о) '('» ()+~~о (о) Поэтому вместо разложения в ряд Фурье те же коэффициенты с, можно получить путем деления многочлена числителя на знаменатель. Этот способ и рекомендуется использовать как более простой для практических расчетов.
Чтобы определить выражение для ошибки с использованием этих коэффициентов, обратимся к формуле (10.3), записав ее в виде дуо [п] = ~~~', у [и — т] йо [т]. (10.46) Подставив их в выражение (10.46), после выкладок по- лучаем 0уо[п] = ~~~э~ о( Л о [и В]~ о=о (10.47) где с, определяются формулой (10.45). Фигурирующую здесь решетчатую функцию д[п — т] вы- разим через ее разности соответствуоощего порядка для разных значений т: л [п — 1] = я [п] — Ад [и — 1], д [п — 2] = и [и] — 2Лд [п — 1] + Лед [и — 2], у [и — 3] = у[п] — Зйй[п — 1]+ 3йоа[п — 2] — Аой[п — 3], Например, если я (и] = ао+ а,п + агпг, (10.48) то соответствующие разности будут Лф (и — 1) = а! — аз + 2агп, Лд (п — 2)= Л(Лд(п — 1)) = Л(а~ — аг+ 2аг(п — 1) ) = 2аг, далее Лц(п — й) =0 при всех Ь Рз 3.
С этими значениями разностей формула (10.47) дает 9„,(п) = пгсоаг+ + п(оса~+ 2агс~)+ соао+ с,(а~ — аг)+ сгаь (10 49) Покажем определение коэффициентов ошибок па при- мере импульсной системы, имеющей передаточную функ- цию разомкнутой цепи И", (з) = +,, (10.50) (з — 1) (1 + з + з')' з если внешнее воздействие имеет виду(1) = 1+ 1+ 2 . Найдем передато шую функцию замкнутой системы для ошибки (з — 1) (з + 2з + 3) (з — 1) (з + 2з + 3) + з + 1 Для деления числителя на знаменатель здесь удобно ввести замену з — 1=ь. После выкладок получаем оз+ 4~о+ со 4з+ 44з+ 14+ 2 ' Деление мпогочлеиов по обычному правилу алгебры дает результат Фм (~) = 3~ — 8,5~о+ 24,25~~+... Отсюда следуют значения коэффициентов ошибок со=О; с~ =3; сг= — 8,5 2(= — 17; сз = 24,25 .
3( = 145,5; .. Впавшее воздействие пам задано в виде (10.48) при значениях ао = 1, а~ = 1, а = —. Тогда по формуле (10.49) с найденными здесь коэффициентами с; опреде- ллем ошибку 0„, 1пу = и . 2аес~ + (а~ — аг) с~+ агсг = Зп — 7. Здесь отсутствует статическая ошибка (сэ=,0), ибо передаточная функция разомкнутой цепи (Ю.50) имеет полюс г = 1 (астатнческая система). В целом ошибка включает постоянную составляющ1по ( — 7) по скорости, пропорциональную времени (Зп) по ускорению измепения внешнего воздействия. Перейдем теперь к оишбнам импульсной системы при гармоническом воздействии. Внешнее свнусоидальное воздействие д(У)=аз1поу преобразуется па входе в решетчатую функцию (10.15), а именно д 1п) = а зш оп. При этом установившаяся ошибка в замкнутой системе будет 0„, = Ав яп(оп+ ~р,), где Аа = а ~ сРе(Уо) ~, ив =- ага Фс(Уо).
(Ю.51) Используем логарифмические частотные характеристики разомкнутой цепи, получаемые с крименепием и~-преобразования (10.26) и (10.29), в виде 1,ше (ов) =- 20 1я ) И' (ув*) (, ср* (оа) = агд ИУ„(уо*), как зто было проиллюстрировано на примерах в $ Ю.З. Учитывая, что аналогично рис. 3.4 обычно на рабо- Э .
Э чей частоте ~ ИУ„(уор) ~ >> 1, получим в соответствии с формулой (10.41 ) следующее выражение: 201я Ае = 20 1я а — 1лп ~ И'„(уо~) ~, сро = — агй И" (уев)- Как было установлено в $ 10.3, в низкочастотной области (в которой и лежит значение ор) приближенно выполняется равенство о — о Т (1052) т. е. имеется совпадение псевдочастоты о* с частотой о передаточной функции приведенной непрерывной части импульсной системы. Позтому для определения ошибки в атой области можно польаоваться непосредственно обьгчной логарифмической частотной характеристикой приведенной непрерывной части, а именно считать, что 201яА~ -201яа — Ьш! И~()а„) 1, ~рв= — агяй (ую„).
Следовательно, в первом приближении установившаяся ошибка импульсной системы при гармоническом воздействии (низкочастотном) может быть вычислена как установившаяся ошибка обычной непрерывной системы, получаемой замыканием отрицательпой обратной связью приведенной непрерывной части этой системы. Обратимся далее к изложению принципов воррекпии импульсных систем. Введение в систему корректирующих устройств бывает, как мы знаем, необходимо, чтобы в результате этого система удовлетворяла заданным требованиям по точности и по качеству процессов управления, в том числе переходных процессов.
Поэтому рассмотрим спачала эти требования. Простейшим требованием является обеспечение заданного запаса устойчивости (т. е. определеппой меры удаления от границы устойчивости). В частотных оценках это, как известно, аапас по амплитуде и запас по фазе, вычислнемые толю таким же образом, как и для непрерывных систем (см. з 5.2), по частотным характеристикам импульсных систем, рассмотренным вьппе в данной главе. Требование заданной точности может вьгражаться различными способами. В частотных подходах анализируется обычно гармоническое воздействие д(Ц= а„з(п со,3.
Из формулы (10.51) следует, что 0:~,! РИ1,)!. Коли задано, что ошибка не должна превьппать определенного допустимого значения 6„„, то частотная характеристика системы должна удовлетворять требованию ! рс(й,)!» — ". Но для рабочей частоты ю„расположенной в пизкочастотной области, 1И'*(ув„) ! .Л1. Тогда в соответствии с (10.41) последнее условие запишется в виде требования к частотной характеристике разомкнутой цепи ! ру*(ую,) !) — ', слов' ($0.53) а в логарифмической форме 1ш~И'„(усср)):~20 1л „Р .
(10.54) доп Связь между псевдочастотой оса и безразмерной частотой со = ооТ определяется формулой (10.27). Учитывая же, что для низкочастотной области справедливо равенство (10.52), условие (10.54) можно записать и как требование к логарифмической частотной характеристике приведенной непрерывной части системы: 1 ш ( И' (уоо ) ~ ) 20 1я — Р йдоп (10.55) Выбор типового гармонического воздействия я(х)= = ар э1н оса, которое следует заложить в проектирование системы, может исходить из заданных требований максимальной рабочей скорости я , и ускорения Р , входного воздействия, так же как и для непрерывных систем, в виде (6.18), т. е. гмнх и р— Гаьах Ехннх Ор=. 3 Енонх Вычислив вн и а по задаппым д„и д, реализуем затем требование (Й53), (10.54) или (10.55).
По аналогии с формулой (6.20) здесь также вводится требование к значению общего коэффициента усиления Гмах рааомкпутой цепи системы К=-'- .— как одно из услойдоп вий достижения заданной точности проектируемой системьь Требования к качеству переходного процесса в импульсных системах аналогично непрерывным выражаются в допустимых зпачепиях перерегулирования о и времени переходного процесса 1„, которое может быть вырагп жено в относительных единицах па = —, где Т вЂ” период т' чередования импульсов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
