popovEP1 (950645), страница 27
Текст из файла (страница 27)
у» Ряс. ЗЛЗ я записать их выраягепия через аь Входные управлягощне величины системы обозначим через иь им ..., и„(рис. 8.18). В качестве системы на рис. 818 мол»от рассматриваться система автоматического управления (тогда иь им ..., и будут игРать роль внешних задающих воздействий уь дм ..., у ) либо слогкный управляемый объект (тогда и„иэ, ..., и будут управляющими воздействиями со стороны регуляторов). Уравнения динамики линейной системы в векторно-матричной форме мояшо представить следующим образом: лх — = Ах+ Вп »г$ 1 (8.20) у = Сх, где обозначены воктор координат состояния системы, векторы управления и наблюдения (измерения) на выходе системы -[ к введены матрицы коэффициентов ы ''' ги эг "' тн В общей теории систем вводятся понятия управляевостя и наблюдаемости.
Здесь мы приведем лишь основкые понятия прикладного плана беэ изложения матемагической теории. Управляемостью системы называется такое ее свойство, что под дойствием некоторого управления п(Ф) в текение конечного отрезка времени ее можно перевести из кюбого начального состояния хе в конечное хн В этом жучае система называется полностью управляемой. Если же этим свойством система обладает не по всем координатам, то она будет неполностью управляемой. Могут быть и полностью нвуправллвмыв системы.
Существует теорема Калмана, приводимая здесь беэ кокаэательства, на основании которой можно судить об управляемости системы. Составим матрицу 6 размером пХпт следующего вида 6 = ~В! АВ! А'В! ... ! А" 'В). (8.2$) Далее требуется определить ране этой матрицы. Напомним, что с этой целью рассматриваются миноры матрицы. Если какой-нибудь из миноров порядка г не равен нулю, а все миноры более высокого порядка равны нулю, то число г и будет являться рангом этой матрицы. Система будет управляемой полностью, если ранг г матрицы 6 ~8.21) равен и.
Если г= Π— система полностью неуправляемая. Если ранг матрицы г( п, то система будет неполностью управляемой. Тогда можно выделить часть системы порядка г, которая будет управляемой, а остальная часть неуправляемой. В том случае, когда исследуется система с одним входным управляющим воздействием и, т. е. когда т= 1, матрица С (согласно (8.2Ц) будет квадратной и Х л.
Для полной управляемости системы в атом случае требу- ется, чтобы определитель матрицы С не равнялся нулю (т. е. чтобы она была невырожденной), так как именно тогда ранг матрицы г = и. Приведем простейшие примеры определения управ- ляемости системы, 1. Система описывается уравнением Их — ' =х„ и (Ь вЂ” = — хг+ и. ~И В этом примере имеем л=1;,'1, в=Я лв=Ц Следовательно, согласно (8,21) 1О 11 а=~в.
:лв), ыа=11,1= — 1~=О, данная система полностью управляема. 2. Система имеет вид Их ~Ь вЂ” = х + хт + и — = О. и 1 т ' а= Здесь имеем л=~,,1, в=~,1, лв=Ц Получаем 1~ а эначит, система не будет управляемой. Ранг этой матрицы г=1, т. е. г(и. 3. Задана система с двумя входаии: Их Йт — = хг — иг + мм — — — х + 2хт + 2и . а ' г т и В отой системе "=1 .1 '=1 ° .1 -=~ 1* Следовательно, 6 (В АВ)=~ Ранг этой матрицы г=2.
Система полностью управляема. Приведем еще один интересный пример, рассматриваемый в книге [71 При двух управляющих воздействиях изображенная система (рис. 8.19„а), как можно показать, является полностью управляемой. Если же ввести Рвс. 8.19 только одно управление и« =и (рис. 8.19, б), то система уже не будет полностью управляемой. В самом деле, уравнения системы (Р+а)х«=хи (Р+Ь) (Р+с)ха=(Р+а)и можно привести к нормальной «)«орме «Ь вЂ”.= — ах + х а« 2« ах — „'= — Ьхз+ (а — с) ха+ и, (8.22) «" з — = — сх +и.
«и 3 Сравнивая это уравнение с общим выражением (8.20), имеем ,4 — 0 — Ь а — с, В= 1 АВ= а — Ь вЂ” с далее получаем а — (а+ Ь) а — с О Ье — (а — с) (Ь вЂ” с) о о с А -[ — Ь-Рс ЯсД = Ь вЂ” (а — с) (Ь+ с) 2 е Отсюда согласно (8.21) матрица С будет ро 1 — (ь+ с) 6 [Д, 4Я: Аахен 1 а — Ь вЂ” е Ь вЂ” (а — с) (Ь вЂ” с) — с е Определитель этой матрицы равен нулю, но существуют миноры второго порядка, не равные нулю. Следовательно, ранг матрицы г= 2, т. е. г( и. Система не полностью управляема. В ней можно выделить управляемую часть, которая имеет второй порядок. Однако если блоки на рис. 8Л9, б поменять местами (рис. 8.20), то система станет полностью управляемой. Рвс. Я.Ю В этом легко убедиться, проделав аналогичные выклад- ки, имея в виду, что теперь уравнения системы в нор- мальной форме примут вид аа — ~ = — Ьхт+ (а — с)хе+ и, дс — '= — ах +и дс е (8.23) асс — = — сх +и ле где, в отличие от (8.22), управление и вошло во все три уравнения.
Перейдем теперь к нонятшо наблюдаамости системы. Непосредственно наблюдаемыми величинами являются выходные величины у (рис. 8Л8), которые можно измерять. Наблюдаемостью системы называется такое ее евой- ство, когда путем наблюдения (измерения) ее выходных величин у(1) на конечном интервале времени можно определить все координаты состояния системы. В атом случае система будет полностью наблюдаемой.
Система будет неполностью наблюдаемой, если через измеренные выходные величины определяются не все координаты состояния системы. Пусть уравнения системы авданы в векторно-матричной форме (8.20). Составим, следуя Калману, матрицу размером пХ пц в виде Н- (С~! АтСт! (Ат)тСт ! ! (Ат)а-!Ст) (824) где А* и С' — транспонированные матрицы. Система будет полностью наблюдаемой, если ранг матрицы Н равен и. Если же ее ранг т( и, то система неполностью наблюдаема.
Наблюдаемая часть системы будет иметь порядок т. В том случае, когда имеется одна измеряемая выходная величина у, матрица С имеет одну строку, а С' соответственно один столбец. При этом матрица Н будет иметь размер и Х и и для полной наблюдаемости системы потребуется, чтобы матрица Н была невырожденной.
Приведем простейшие примеры. 4. Система описывается уравнениями дх Их Здесь имеем '4=[о о~ С вЂ” (1 О), .4'С'=[,1. Отсюда согласно (8.24) матрица Н получает вид Н=[,,~, ранг ее равен двум. Следовательно, данная система пол- ностью наблюдаема. Действительно, если измерена х!, то по первому уравнению системы определяется н хз. 2.
Система задана уравнениями лх Нх — х — «=и л» " й у = л». Теперь изменилась только С=(0 Ц. Следовательпо, А'С =[о1' П= ~т о1' бетН=0. Система не является полностью наблюдаемой. Действительно, здесь иамеряется величина хм т. е. скорость иаменения величины хь Поэтому значение самой величины х~ остается неопределенным. Интересно отметить, что, например, система, показанная на рис. 8.19, б (которая была неполностью управляемой), оказывается (если написать для нее матрицу УЕ) полностью наблюдаемой, когда измеряется только координата хь т. е. когда С=(1 0 О).
И наоборот, в этом случае другая система (рис. 8.20) не полностью паблюдаема, хотя она является полностью управляемой (7). Из приведенного примера видно, что с точки зрения управляемости и наблюдаемости нельзя в передаточных функциях сокращать одинаковью сомножители (здесь например, а+ а) и переставлять сомпожители местами. Понятия управляемости и наблюдаемости имеют важное значение для теории оптимальных систем. Но они полезны и вообще для получения более полного представления о свойствах исследуемой или проектируемой системы. 5 8Л.
Оцеиивапие координат состояния систем Обычно в техиических системах не возникает необходимости в наблюдении и управлении для всех п координат состояния системы, тем более, что часть из них может не соответствовать физически реальным величинам. Однако в случае необходимости можно вводить в систему автоматического управления корректирующий сигнал от какой-либо координаты состояния хе которая не измеряется как физическая. Для этого служит косвенная оценка неизмернемых координат состояния системы путем введения так вазываемого «паблюдателя» по Калману. Метод оценки вектора состояния дает возможность «восстановить» неизме- римые координаты вектора состояния в виде х ~ х и использовать «восстанозленныйэ вектор состояния системы для решении аадачи, например, модальпого синтеза в пространстве состояний (см.
главу 7). Схема оцепивапия координат состояния реализуется в виде дополнительной динамической аналоговой модели — наблюдателя. Пронллюстрируем алгоритм наблюдателя Калмана для непрерывных измерений. Запишем в векторпо-натри шой форме уравнения объекта управлеппя х =Ах+Вп (8.26) и управляющие сигналы и = — ЛХх+ Гя, (8.26) Оценка координат состояния системы наблюдателем формируется следующим образом: х Ах — ВМх + Р (у — Сх) + ВГн, (8.27) где Р— тоже матрица коэффициентов. Рассматривая совместно уравнения (8.25), (8.26) и (8.27), получим х=Ах — ВМх+ ВГя, х =РСх+ (А — ВМ вЂ” РС)х+ ВРя, (8.29) (8.28) что в векторно-матричной форме запишется так РС! А ЛМ РС х ВР Из написанных уравнений видно, что при использовании наблюдателя порядок всей системы увеличивается до 2п, тогда как и — число координат, которые можно использовать для управления системой, сохраняется.
где А, В, ЛХ, Р— матрицы коэффициентов. Измерение выходных координат системы имеется в виде Характеристическое уравнение системы с наблюдателем будет иметь вид 0 (8,30) (Х~ — ~~ М вЂ” Рс !лк — А+ям+ Рс~ где Š— единичная матрица. Для оценки точности работы наблюдателя перейдем в новым координатам в виде Лх=х — х. Вычитая (8.29) из (8.28), получим Лх = Ах — СРх — (А — СР) х = А (х — х) — СР (х — х).
Следовательно, Лх =(А — СР) Ьх. (8.3() Из уравпешш (8.28), заменяя х = х — Ьх, при отсутствии впешнего воздействия б будем иметь х = А х — ВМ [х — Лх) или х =(А — ВМ)х+ВМЬх. (8.32) Уравнения (8.32) и (8.31) в векторно-матричной ((юрме для свободного движения системы запишутся в виде (8.зз) Характеристическое уравнение для атой системы бУдет лк — (А — Вм) , 'Вы В (л) ------------ ---!--------------.~ = О. О ) лй — (А — СР) Опо принимает вид В(Л) = (ЛЕ,— А+ВМ( !ЛŠ— А+ СР) = О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
