popovEP1 (950645), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Покаязем еще другой подход к исследованию многомерных систем, связанный с так называемым методом обратных задач динамики (13]. Для простоты рассмотрим систему с тремя степенями свободы в случае, когда координаты вектора состояния системы совпадают с выходньпян (управляемыми) переменными. Более общие случаи наложены в укаэанной монографии. Пусть уравнение динамики системы имеет вид Решим задачу сиптеаа законов управления и, обеспечивающих замкнутой системе астатизм первого порядка по всем трем координатам х1 = 6ь хз = 62, хз = 6з Следовательно, при поступлении на вход системы постоянных аада1ОЩих ВОЗДЕйетзий ЯН Яз, Яз =СОПЗ1 ДОЛЖНО ВЫ- полняться условие отсутствия статических ошибок Иш(уа — хз(1)) = О, 1=1, 2, 3, (8.5) 1 так как и скорости ха = 61, хз = 62, хз = бз в установившемся состоянии должны равняться нулю.
По данному методу следует ввести в дашшм случае три дополнительные координаты хт, хз, ха следуюацим образом: хг = й1 — хп хз = дз — хз, хз = Ыз — хз (8.6) Итак, уравнение расширенной таким образом системы будет содержать девятимерный вектор ха и получит вид х, =Аха+Вп+Вк, (8.7)' где из=[хи хз, ..., хз]', и=[им из, иа1*, к [д1, уз, аз[; причем 11 о А,= В1= 31 о а1 31 через 01 обозначена нулевая матрица размером 6Х3, через 02 — нулевая матрица ЗХЗ и через Оз — нулевая матрица 6 Х 6.
Начальные условия для расширенной системы (8.7) будут х,(0)=0. Закон управления записывается в форме п(х )=Сх =С~х+Сз[хг, хз, ха)*, о 11 о ~21 о З1 о 11 12 о о 21 '22 о о 31 за о о '12 '13 о ~23 о о ~32 аз о— 13 о а т а 32 о о— 12 13 о о 22 23 о о 22 3Ъз где Сев Сзе с ве свв ев сзв 'Ы " сев С=(С,,:С), С,= 11 '" СЗВ 17 '77 З7 Окончательно можно ого переписать в виде п(О, О) = С, [О„О„О„О„О„Оз)'+ С,) (я — О) Ж. (8.8) Рзс.
8.9 Наконец изложим еще и другой подход к исследовапиго многомерных систем па баае передаточных функций и частотных характеристик. Запишем в операторном виде уравнения динамики многомерной системы автоматического управления. Если для одномерной линейной замкнутой системы уравнение динамики имеет вид а (р) х = Ь (р) я + с (р) ~, р = — „, д (а, Ь, с — операторные мпогочлепы), то для многомерной линейной замкнутой системы получаем ~ ац, (р) хв = Х Ьге (р) ув + ~~'.~ с;, (р) Дс (8.9) й-1 1-1 7=1 (1 = 1, 2, ..., и), Козффициепты закона управления выбираготся, исходя из желаемых динамических качеств синтезируемой системы (13). Для етого необходимо привлечение расчетов па ЭВМ.
Структурная схема системы с законом управления (8.8) изображена на рис. 8.9 для векторного изображения переменных. где х„, у„(а=1, 2, ..., п) — регулируемые величины и задающие воздействия; )„(г = 1, 2, ..., гп) — возмущающие воздействия; а„(р), ов(р), с (р) — операторные мпогочлепы, в которых р — символ дифференцирования. Могкпо записать передаточные функции замкнутой системы в отдельности для каждой регулируемой вели- чипы х; по каждому внешнему воздействию у, или ),, а именно Хе (.), Х,. (,) Фьт(з) = — ' или Фп(е) = —,' .
(8ЛО) 6,:,(е) '" р (е)' Совокупность всех этих передаточных функций монс- но выписать в виде одной передаточной матрицы. Относительно задающих воздействий имеем матрицу т11 (е) %12 (е) ' Чгч (е) тю (3) <Рм (е) ... я>еч (е) ц . (е) ц , (е) ... р„. (е) Ф(з) = (8.И) с+(е Х~ (г) = Ы ' (Ф (е)) = — Ф (е) е'Че. 2а) Покажем теперь, как па основании уравнений системы (8.9) определять передаточную матрицу (8Л1). Запишем систему уравнений (8.9) в матричной форме А (р)х(е) = В(р) йЯ+ С(р)1(Ц, (8.12) Аналогичная матрица из т столбцов запишется и для передаточной матрицы Ф'(е) по возмущающим воздействиям.
Итак, динамика многомерной системы, в отличие от одномерной, определяется либо слояшой системой дифференциальных уравнений (8.9), либо передаточной матрицей Ф(е) вида (8Л1) и аналогичной Ф'(г). Можно составить и весовую матрицу К(г) или переходную матрицу Н(г), т. е. матрицы весовых или переходных функций, найденных для канадой х; по каждому дь. Например, чтобы получить весовую матрицу, нужно для каждой передато шой функции в матрице (8Л1) найти обратное преобразование Лапласа, а именно: где а 1(р) -т (р) ат (р) а,„(р) - * а (р) А(р) = а т(р) () .
(р) Рг (р) )), (р) ь. (р) ь (Р1 1 ст (р) с, (р) ° . с„,х(р) в(р) = б.(р) с (р) с„(р) с(р) = с т(р) а переменные х (Ф) х (г) г (г) сг И г„(г) е(г) = у, (г) у, (г) х(г) = а(т) =- хп (г) У (~) Применение преобразо (8А2) при нулевых началь ~~Я Лапласа к УРавнению ьыьгх условиях дает ~( )("-(.)+с(.)р( ), Ф (г) = А (г) В ( ) 1 где через Л (г)~( $ ]~ обозначена присоединенная, а а и м ( л раическое дополнение злем преДелжть и передаточную мат~уемых величин по возмущающим воздействиям, откуда (г)( (г)+А-'(г)С(г)Е(г). лир емых величин по з Мам матриг(а Ф(г) ДлЯ РегуСледовательно, передат,ч гцим воздеиствиям представ- Приведем пример системы с двумя регулируемыми величинами. Заданы уравнения динамики ап(р)х!+ ам(р)хз = Ь!1(Р)а!+ Ь!2(Р)уз+ оп(р)Ь+ с!2(р)Ь, ам(Р)х!+ а22(Р)хз = Ь2! (Р) к ! + Ь22 (Р) Д2 + С2! (Р) ! ! + с22 (Р) !2, Здесь А(,)= ." '.-, 8(,)=,"',", С(,) А!г = ам, Ам = — авь А22 = ап', Ап =а22, присоединенная матрица 11 12 11 21 22 12 проиаведение матриц а 6 — а 6 определитель матрицы 11 12 ~ А (2) ~ = ~ ~ = а, а, — а„а,, 21 22 В результате получим передаточную матрицу данной системы Ф (г) = А (г) В (2) где Ч„(а) =" .'„ 12 21 11 22 12 21 (передаточная по задающему функция для регулируемой величины х! воздействию а!), Ч12(2) -.' '.
22 12 12 22 11 22 12 21 (передаточная функция для регулируемой величины х! по аадающему воздействию д2) и т. д. Алгебраические дополнения элементов матрицы А будут ,3 8.3. Частотные методы для многомерных систем Далее на базе этих передаточных матриц можно исследовать то~шесть, устойчивость и качество процессов управления, синтезировать корректирующие устройства. Для этого разработаны различные специальные частотные методы с применением структурных преобразований, позволяющих переходить к упрощенным эквивалентным схемам.
В некоторых случаях удается разбить общую систему па ряд более простых (декомпозиция) и судить о поведении системы в целом по совокупности свойств ее частей. г1аще всего многомерную систему представляют как совокупность отдельпых (сепаратных) систем или капалов. Каягдая из сепаратных систем (каналов) имеет одну регулируемую величину и один регулятор, между которыми имеются взаимосвязи, называемые перекрестными связями.
Эти перекрестные связи могут содержаться либо в структуре самого объекта, либо в схемах регуляторов. Например, при управлении движением самолета можно рассматривать сепаратные каналы курса и крена, которые взаимосвязаны (см. рис. 8.5). Перекрестные связи имеются в самом объекте, обусловленные его аэродинамическими свойствами, а также в автопилоте, где они искусственно вводятся, например, для координированного разворота. Наглядным примером многомерного объекта может служить, как отмечалось выше, система управления электродвигателями, взаимосвязанными через механическую систему (рис. 8.6). Манипулятор промышленного робота как управляемый объект имеет несколько степеней подвижности (см.
рис. 8.7 и 8.8). Эту сложную многомерную систему моягно рассматривать как совокупность нескольких сепаратных систем (систем управления отделыгыми приводами относительпо каждой степени подвияшости), между которыми существуют перекрестпые связи, обусловленные уравпениями динамики движения многозвенной механической цепи манипулятора. Наконец, могут вводиться также корректирующие перекрестные свяаи между каналами управления отдельных приводов для улучшения качества процессов управления и, если нужно, для развязки каналов, т. е. ликвидации вааимоэависимости дви- жения приводов по разным степеням подвижности манипулятора.
Рассмотрим многомерную систему, структурная схема которой представлена на рис. 8.10. К такому виду можно привести, например, систему манипулятора промышленного робота, показанную на рис. 8.8. ~а~~) з4Ф Здесь двойными липинми обоапачепы вектор- ь8Ф вы е многомерные сигналы, а И' (з), И'ь(з), И,(з) — матрицы пере- рве. 8.10 даточных функций. Запишем матрицу передаточных функций разомкнутой системы размерностью п Хяк И'(з) = Х-'(г) И' (а), (8 14) где Х (3) = И'ь ' (3) + И . (з) + И'. (з) Р. Система состоит из и сепаратных каналов управления (например, па ркс.
8.8 их три), свяаанных между собой перекрестными связями, содержащимися в объекте управления (в данном примере — в манипуляторе). Передаточная функция 1-й сепаратной разомкнутой системы соответствует 1-му диагональному злементу матрицы (8.14), а остальные злементы матрицы (8.14) характеризуют взаимовлияние каналов управления друг па друга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
