popovEP1 (950645), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Для замкнутой системы получим х =- А.х+ Р(Р„Сх+ Р,Сх+ Нл) = = (А „+ РР„С + РР,С) х + РНл, х = Ах+ Вл, где А = А + РР„С+ РР,С = А + А„+ А., В = РН, т. е. коррекция фильтрацией определяется матрицей А„=РР„С, ааполняющей нулевые места блочной матрицы (7А4)', т. е.
а корректирующее влияние обратных связей несет в себе матрица А,=РР.С, входящая в основную часть блочной матрицы (7А4), т. е. Свободное состояние скорректированной системы описывается векторпо-матричным уравпением х=А(р, т)х, которому соответствует характеристическое уравнение Ю(Л)=1А(р, ч) — тй =О, приводимое к виду Л" + а~Л '+... + а„1Л+ а„= О, где коаффициенты а, есть функции от параметров объекта и параметров корректирующих цепей: а,= а~(р,, ч), г = 4, 2, ..., и. Таким образом, при введении в систему корректирующих фильтров за счет дополнения основных уравнений соб- ственно системы уравнениями цепей коррекции, про- странство состонний корректируемой системы расширя- ется.
Порядок системы увеличивается, однако число сво- бодно лодбираемых параметров И воарастает больше, чем позволяет в ряде случаев осуществить пол- с, ную корр егщию системы. Для иллюстрации составим, например, уравнения состояния интегро-дифс, ференцирующего корректирующего авена (рис. 7.4 и 7.5). В качестве координат состояния целесо- Рис. 7.4 образно выбрать напряжения на конденсаторах, характериаующие накопление количества злектричества. Получим 1. ' 1 пег = — 1сы пса = — 1см с, Е1о, так как "с1 . "з "си ~с1 12 1вм 1и 1ся 1вм 1в1 Л ~ 12 Л то после подстановки и простых преобразований будем ю Рис. 7.5 иметь следующие уравнения состояния: 1 с,л, 1 с,л, 1 с,л, 1 с,л П П= им Выходная величина из = и, — и ь Включение последовательно подобного корректирующего звена расширяет пространство состояний на две координаты, однако число свободных варьируемых параметров Сь См Вс, Вз равно четырем.
Для электрических фильтров, используя, как предлагалось выше, в качестве координат состояния напряжения на емкостях и токи в индуктивных злементах, можно получить общие уравнения в форме пространства состоянии: хз=А„х,+В,им уз = Сзхз+ Рзим где х,— пз-мерный вектор состояния фильтра; и, и у„— скалярные входная и выходная координаты; А, — (и, Х нз)- мерная матрица пространства состояний фильтра; Вь— (из Х 1)-мерная входная матрица; ф— (1Х лсс)-мерная и Є— выходные матрицы корректирующего фильтра. Матрицы уравнений состояния наиболее распространенных корректирующих фильтров см. в книге (451 з 7,2, Прямой корневой метод синтеза систем управления доминантного типа Как уже говорилось в $5.3, о качестве ироцесса управления можно судить ио располохсению корней характеристического уравнепия (т. е.
полюсов передаточной функции замкнутой системы), учитывая также еще и операторный многочлен в правой части дифференциально. го уравнения (т. е. нули передаточной фушщии замкнутой системы). В настоящее время разрабатываются рааличпые корневые методы расчета автоматических систем. Выше (з 6.5)' было дано понятие о методе корневого годографа. Наиболее перспективным из корневых методов сейчас является прямой корневой метод синтеза, называемый модальным методом синтеза системы по заданному качеству процесса управления.
Вводится целевая функция, которая является функциональным выражением поставленной цели при сиптезе системы. Например, зто может быть функциональная зависимость, определяющая длительность переходного процесса, или интегральную квадратичную ошибку, или погрешность по фазе (амплитуде) при гармоническом управляющем сигнале и т. д. Целевой фушщией также может быть функциональная аавксимость, отражающая сложность системы.
Обычно целевую функцию представ- Чу/ и Ч ~бнутреннее чни п у Ч-ерпничнпе реичение К Ряс. 7.6 с внутренним решением '(рис. 7.6, а) и грани.шым решением (рис. 7.6, 6). Однако чаще всего при проектировании системы не прибегают к подобной оптимиаации, а исходят из удовлетворения заданным требованиям, как это было показано вьппе в главе 6. В данном случае положим в основу желаемое распопожение полюсов и нулей передаточной функции снстеиы, как функции цели нри синтезе системы с допустимыми качественными показателями. Пусть задана передаточная функция разомкнутой цепи системы автоматического управления. Запишем ее в виде КИ'(е) =— Кн (8) Х,(е] ' (7.15) ~де К вЂ” общий коэффициент усиления разомкнутой цепи, а многочлены Й(е) и Е(е) имеют единичные коэф))ициенты при младших членах.
Передаточная функция замкнутой системы для уп)авляемой величины по задающему воздействию К(й), как известно, имеет вид Кчч'(а) КФ (г) ф (е) = = , (7.16) лают как ограниченную скалярную действительную непрерывно дифференцируемую функцию г =г(дь ..., д,) искомых параметров дс (1= 1, ...„й) передаточнои функции замкнутой системы или корректирующих цепей.
При этом общую задачу можно мыслить как выбор вектора параметров ц =(дь ..., дД', минимизируюгцего илн максимиэирующего в допустимых пределах значение целевой функции на допустимом множестве Д' (рис. 7.6) Характеристическое уравнение замкнутой системы Ю (Л) = — Х (Ц+ ХйЧ(Л) = О. (7.17) Обозначим корни характеристического уравнения замкнутой системы Ль Лы ..., Л„, полюса передаточной функции разомкнутой системы Рь Рп ..., Р„, нули передаточной функции как замкнутой, так и разомкнутой системы — )г'ь )гп ..., )у, причем и( п. Тогда можем за- писать С(~ — о')(а — Ж) ... (а — Ж,„) (г — Л,) (в — ЛД ... (а — Л„) (7.г8) Задача синтеза состоит в том, чтобы, опираясь на ряд качественных показателей системы, найти соответствующее расположепие величин Ль Лп ..., Л на комплекспой плоскости, а затем найти параметры корректируюгцих цепей, обеспечивающих заданное расположение указанных корней.
При этом исходными качественными показателями могут быть, например, вид переходного процесса (апериодический, колебательный), время затухания, колебательность, частота колебаний, интегральная квадратичная ошибка и т. д. Для класса следящих систем сугцественной дополнительной оценкой качества обычно принимаются ошибки по модулю и фазе при гармопнческом задающем воздействии. Указанные требовапия на одновременное вьгаолнение различных качественных показателей соадаваемой системы приводят к аадаче выделения на комплексной плоскости соответствующих областей допустимого расположения полюсов и нулей передаточпой функции замкнутой системы.
Покажем регяение задачи выделения на комплексной плоскости областей допустимого расположения полюсов Функции (7Л8) на общем примере многокритериального синтеза следящей системы. Амплитудно-фазовая характеристика идеальной следящей системы должна иметь единичный модуль и нулевую фазу во всем спектре рабочих частот п существенное ослабление сигпала па высоких частотах, что необходимо для подавления посторонних сигналов и шумов. Однако реализация подобных характеристик реальной следящей системой практически невозможна. Оправдала себя такая практика проектирования, когда осутцествляется возможное приближение передаточной функции замкнутой следящей системы к так называемой доминантной, т. е.
к колебательюьчу звену с малым коэффициентом демпфирования и большой собственной частотой ю„. Всплеск амплитуды при о? = е?„в случае необходимости может быть скомпенсирован антирезонансным корректирующим звеном на входе замкнутой системы. При сравнительно малых частотах по отно?пению к с?„ погрешности по амплитуде и фазе могут оказаться малыми при надлежащем выборе двух доминирующих, т. е. ближайтаих к мнимой оси слева, комплекспо сопряженных полюсов системы и достаточно далекими остальными полюсами, влияние которых оказывается несущественным. Итак, если согласно (7.18) назначить желаемые значения полюсов желаемой функции Ф*(г), т. е. Л?=Л; (? =1, „и), то получим Соответствующая желаемая Ач?Х замкнутой системы при з =уа будет иметь вид (7.19) для которой возможно построить желаемые логарифмические амплитудную и фазовую характеристики, состоящие из суммы карциальных частотных характеристик.
Для желаемой пары комплексных корней Л?яэ,— = — а? ~ 1с?? парциальная обратная частотная характеристика фд + я? — ?ин) (1с? + ?х? + 1е??) = = 04 1 з + 1~ з (1 е? Та + Р1Г?о?)э з( с? с? ~?? ? г где оэ ~ 2 2 Р? — = ?х4 + о??~ 1 = ° р' . з ?~ р Она соответствует последовательно включенному эквива- лентному колебательному авену 1М 1 + 2ЦТза + Т."а Для желаемого вещественного корпя Х; = — — а; парциальная обратная частотная характеристика ув + а~ = а~ ~1 + у — ~ = саз (1 + увТ;), О,у где а,= 1/Т,. Опа соответствует последовательно включенному эквивалентному апериодическому анену 1Уаг И'ах(в) = Таким обраэом, желаемая ЛФХ замкнутой астатической следящей системы получает вид ,Ф (ув) =, ПИ ан(ув) П И ал(ув) = оа г=г Уг' Пв) х П (1+ 2ЦТуув+ (ув) Та) П (1+ Т1(в) а=в где г — количество кохшлекспых желаемых полюсов, р— количество вещественных желаемых полюсов.
Для астатической системы при в =0 имеем Фа(ув)'= - 1. Поэтому К = 1. ;Пб(П 1 1 1 1 1 Если колебательная составляющая свободного процесса является домипирующей, что соответствует ближайшим к мнимой оси комплексным корням, а остальные корни лежат много левее, то логари4>мические характеристики Гша(в) = 201й~ Ф*(ув) ~ = 201д~ уа'а (ув) ~— г Р— ~ 201д~1+ 2~1Тгув — ваТ';( — ~~ 2010)1+увТ;~, 1=1 зв Х р*(в) = ага(Фа(ув)) =агй(Л'а(ув))— — .Е ага (1+ 2~;Туев — оР Т,') — ~ ага (1+ увТ1) в=х г=г будут иметь примерный вид, представленный на рис. 7.7, где д д (од), Х„(од) и др1(од), дрд(ю) соответствуют вторыми третьим слагаемым. Можно убедиться в том, что ошибка Рис.
7.7 по модулдо и фазе при гармоническом управляющем сигнале с частотой од определяется в основном доминирующими полюсами и фильтром уу*(уод): Ьт (од ) ж 20 1н ) УУ* (Уод„) ) — 20 1н ~ 1 + 2ЦдТдУод„— и~ Тд ~, др (од„) ж агд (УУ* (уод„)) — агд (1 + 2~д Таад„— одидТзд). Многокритериальная функция цели позволяет определить области 9 допустимого расположения доминирующих полюсов передаточной функции замкнутой системы при одновременных ограничениях (45)д Ц на ошибку системы по фазе до аь рд ди ф = (дауду(аь рд, ю) < т), од < в; 2)' на ошибку системы по модулю т аь рдш(уз=(лдд < т(ад, бд, ад)<лдо), в<в,; 3) на длительность переходного процесса ад ~ д'.уз = (д, (а1 )» т,); 4) на колебательность системы ад в(уд=(ад<Яд).
Функция цели достигнута, если „~, -=О = П Ео $-1 Для конкретизации полученных результатов рассмот>им желаемую доминантную аппроксимацию АФХ эамкгутой следящей системы 'Т„'+ 1йЫ Т„ Гапгенс угла ошибки по Фазе ограничивается величи- аой т: в ( — 2Г Т„;+ Тф(1 в Тт)]1 т = 1й~р вйтРГйт„+ 1 — вйткй После подстановки аначений ~~ =-а~/рь Т„= Щ~ будем иметь в ( — 2в +те (Р2 — вй)1 й й й 2и в Тф+Р~ — в О,= 4+ — к>1, С-1 йТф,<0, где а1 ~ О, рй~0, в — тестовая частота. Модуль АФХ системы ЗI1+ в'Тйф ~/1+ 'Т' 3/(1 — в Тй) + в 4~йТк ~Ь| ограничен допустимыми эначениями т1 и тй. Коли учесть й й "'й рй 1 ук = — ~ рй! В результате преобразований получим в выбранных относительных координатах ~1',/в и а1/в уравнение линий равных аначений т, откуда: то получим уравнения зллнпса для ограничения гвз.
(3з ~оз — + 2 — — 4 — -1, р~~ рг ~атз 1, 'зР оР аз, от = — 1= Ь,— 1<0, 1 + зРТЕ~ таз а для ограничения т~. ( ра рз з 2 ч'з = ~с; — + 2 — -.:.1 а з Очевилное ограничение на длительность переходного процесса г <~~ 4 — Э~ — 3 откуда Ограничение на демпфировапие системы ч'» ~<ь з,з~ ° Приведем пример синтеза следящей системы доминантного типа. 1 Пусть заданы: тестовая частота а=10 —, коэффицис' ент демпфирования не болыпе Ц = 0,3, допустимая ошибка: по фазе 0 30', по модулю 1,05 —: 1.,08; время переходного процесса 1 <0,4 с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
