popovEP1 (950645), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Вычтем из (5.1) установившееся значение х„Р(0)' (ато равенство вытекает из того, что значение а 0 соответствует постоянному значению х в установившемся состоянии) . В результате получим х(г) — Р (0) = — " ~ 1 еко1оа. Подставим сюда (5.2) и заменим е'"' соз аФ+ у эш аФ. Отбросив мнимую часть полученного выражения (так как х(г) — вещественно), будем иметь х(г) — Р(О) = $ ('$ — ) — (Р(а) э1паг+ ч(а) совЫ вЂ” Р(0) эгпао) йю. Подынтегральное выражение представляет собой четную Функцию. Поэтому интегрирование в пределах ( — о, ) можно заменить на (О, ) и удвоить результат. Кроме того, заметим, что О 1 ( Р(0) ого ао ( Р(0) о В результате получаем я з и (5.3) Поскольку даны нулевые начальные условия, причем нулевые значения функции распространяются нз 1(0, то можно, подставив в формулу (5.3) вместо 1 величину -г,написать СО 60 0 Р(0) 1 (*Р(~)~$~м~~+ 1 (' Д(~) ~ сйе (54) е е Складывая и вычитан выражения (5.3) и (5.4), приходим к формулам соответственно л(1) Р(0) + 2 ~ О< ) ог,йе е (5.5) Ю 2 ~ Р(и)з1пе1 о йх (1) = ~„° Поэтому, дифференцируя выражение (5.5), находим Ф„(1) = — ~ Р (а) сое в1 да.
2 Р е (5.6) Существует приближенный способ вычислений по этой формуле. Лналогично можно найти и весовую функцию замкнутой системы й,(1) для возмущающего воздействия. Знание весовь1х функций замкнутой системы й„(1) и йг(1) поаволяет согласно формуле (3.8) определять вынужденную часть процесса регулирования при любых внешних воздействиях л(Е) и )(1).
Последняя формула будет использована ниже для частотных сценок качества переходного процесса. Отметим, что существуют приближенные способы построения кривой переходного процесса в замкнутой системе по атой формуле. Приведем здесь также частотный способ определения весовой функции замкнутой систсзиз. Как известно (см.
2 1.1), если переходный процесс л(1) определен при задающем воздействии а(1) $(1), то имеет место соотно- шение Ниже рассматриваются различные формы оценок качества переходного процесса в замкнутой системе. Какие яз них применять на практике — зависит от того, какой материал уже имеется в распоряжении относительно данной системы, а также от того, какими методами предполагается вести дальнейший процесс проектирования системы. 3 5.2.
Частотные оценки качества Простейшей из частотных оценок качества переходного процесса является запас устойчивости. Он определяет колько степень близости замкнутой системы к границе устойчивости по виду частотных характеристик ее разамкаутой цепи. На рис. 5.3, а показано, как находить запас по амплитуде Л Еш и запас по фазе Ьф по логарифмическим частотным характеристикам. Если перенести их на амплигудно-фазовую частотную характеристику, то зто будет соответственно ЬА и Лф (рис. 5.3, б). а Рвс. 5.3 Длительность переходного процесса и перерезулиротание можно приближенно оценить по виду вещественной частотной характеристики замкнутой системы Р(ю).
Поаучение ее рассмотрено вьппе в $2.4. На основании зависимости (5.5) выведены следующие щенки. В переходном процессе получится перерегулирование о') 18 %, если Р(в) имеет «горб» (рис. 5.4, а). При отсутствии «горба» (рис. 5.4, 6) будет о( 18 %. Процесс «Р окажется наверняка монотонным (о О)', если — „е(0 и монотонно убывает по абсолютному значению '(рис.
5.4, е). о Рис. 54 Длительность переходного процесса «, оценивается приблизительно по величине интервала существенных частот в., (рис. 5.4), причем Л 4я — ~гз~ —. вс« в«« Важно отметить, что время г, обратно пропорционально величине влч т. е чем более растянута частотная характеристика, тем короче переходный пронесс. Физически зто связано с тем, что, чем более высокие частоты «пропускает» система, тем она менее инерционна в своих реакциях на внешние воздействия. Это же свойство позволяет связать время «с частотой среза в, (рис.
5.3) характеристики разомкнутой цепи. Длительность переходного процесса Г, тем меньше, чем больше частота среза в,. Зависимость между величинами о, Ф„в, и Р, представлена графиком на рис. 5.5. Кроме того, свойство частотных характеристик таково, что начальная их часть влияет в основном на очертание конца переходного процесса х(г), причем Р(0)= х (рис.
5.4). Основное же влияние на качество переходного процесса оказывает форма средней части частотной характеристики. В связи с этим логарифмическую частотную характе- ристику разомкнутой цепи системы 1«п(в) делят на три области (рис. 5.6), причем область низких частот в основном определяет точность в установившемся реясиме (в частности, астатизм и установившуюся ошибку на рабочей частоте следящей системы).
Область средних частот в основном определяет качество переходного процесса. В частности, частота среза гз как утке говорилось, 4~ ь~ сйс ,ъ шс ьтоь окат оьооьо Рис. 5.5 Рис. 5,5 определяет полосу пропускания сигналов и длительность переходного процесса. Наклон )ш(а) вблизи частоты среза н, характеризует колебательность переходного процесса. Так, наклон — 20 дБ/дек при гс = о, (рис. 5.6), соответствующий свойствам апериодического звена, обеспечивает наименьшую колебательность переходного процесса в замкну- 1 той системе. 4пз~ Следующей частотной г оценкой качества является показатель колебательности — максимальное зпаче- Рис.
5Л пие М,.„, амплитудной частотной характеристики замкнутой системы (рис. 5.7) М ! Ф(нв)!. Эта величина М, монет быть определена по виду частотной характеристики разомкнутой цепи данной си- стемы„В самом деле Отсюда (5.7) плн где (5.8) Следовательно, линии равных значений величины М, нанесенные па плоскости И'(уа), будут окружностями со смещающимся центром С и меняющимся радиусом В, как показано на ряс. 5.8, Ряс.
5.8 Имея такую диаграмму линий М=сопз$, можно по ~аданной амплитудно-фазовой характеристике разомкпугой цепи И~(ув) легко определить показатель колеба~ельпости замкнутой системы М „, и построить всю амптитудную частотную характористику М=!Ф()о) ! замкзутой системы (рис. 5.7). Изобрах1епные на рис. 5.8 характеристики И'(уа) (1 н 2) соответствуют характеристикам 1 я 2 замкнутой системы ! Ф(ув) ! (рис. 5.7). Если„например, желательно иметь М „~1,5, то характеристику 1 (рис. 5.8) нужно скорректировать так, чтобы она не заходила внутрь круга М- 1,5 (рис. 5.9).
Такуго запретную область можно перенести на плоскость логарифмической частотной характеристики следугощим образом. На кривой М 1,5 (рис. 5.9) в каждой Рис. 5.10 Рис. 5.0 точке имеем определенное значение амплитуды Л и фазы <р. Следовательно, зная 7ш(ю) (рис. 5.10), можем для каждого значения Еш=201яЛ отметить там соответствующую точку ~р. Таким образом, образуется кривая М=1,5 на поле логарифмических характеристик, очерчивающая запретную зону, в которую не должна заходить фазовая частотная характеристика ~р(в).
й 5.3. Корпевыс оценки качества Корневыми оценками называются такие, которые основываются па расположении корней характеристического уравнения замкнутой системы, т. е. полюсов перодаточной функции замкнутой системы, а также и нулей втой передаточной функции. Лростейшей корневой оценкой качества является сгвпвиь устойчивости — расстояние ц от мнимой оси до ближайшего корня на плоскости корней Х характеристического уравнения замкнутой системы (рис. 5.И). Если ближайшим является вещественный корень (рис. 5.И, а), то ему соответствует апериодическая составляющая решения для переходного процесса С! е™ (апериодическы степень устойчивости ц).
Время ее затухания г = — )и — ж — (при й = 5%) (5.9) 1 1 3 ц а ч характеризует общую длительность переходного процесса, так как все члены решения, соответствующие остальным корням, затухают быстрее. Рис. 5Л1 Если же близкайшей к мнимой оси оканзется пара комплексных корней (рис. 5Л1, б), то доминирующая составляющая решения для переходного процесса С~е '" з1п(р11+ Сз)' будет колебательной (колебательная степень устойчивости ц), причем оценка длительности переходного процесса 1 остается прежней (5.9)'. Определяется величина степени устойчивости следующим образом. Вводится новая комплексная переменная з Л+ц (рис. 5Л2).
Тогда на плоскости г мнимая ось р' пройдет через ближайшие корни, т. е. составленное относительно з характеристическое уравнение долншо удовлетворять условию нахождения на границе устойчивости. Таким образом, если задано характеристическое уравнение ,0(Л) авЛ" + а1Л '+... + а 1Л+ а„= О, (5ЛО) го подставив Х г — ц, а именно аз(г — ц)" +а!(г — ц) '+...+а„!(г — ц)+а„=О, получим новое уравнение, которое называется смещенным, в виде азг" +А г" '+ +А„!г+А„=О, '(5.И)' где коэффициенты А!, Аь „А„являются функциями ц.
Их можно вычислить следующим образом; тто вытекает из представления выражения (5Л1)' как тезультата разложения функции 0(Х) (5ЛО)' при Х = г — Ч в ряд ! тз ( Гейлора. Затем к уравнению (5Лх) применяется условие границ устойчивости, ! , 'г например, по Гурвицу Р! г.! А„(ц) = О и Ь„! (ц) = О, (5ЛЗ) ! ! ! зткуда и определяется величина ц. Ниже будет дана диаграмма степени гстойчивости для системы третьего Рзс. 5Л2 порядка. Колебателъность переходного процесса определяется ° еличиной где ст и р — вещественная и мнимая части корней характеристического уравнения. Именно зта величина характеризует быстроту затухания колебаний за каждый пе!!иод. В самом деле, паре комплексных корней Х!,г — !ст! ~у(! соответствует составляющая решения переходного процесса С!е-'*з зтп((~2+ Сг).
Период колебаний равен 2я Т Через один период амплитуда Сте-"!! уменьшается до величины Следовательно, чем больше величина р = ~ — ~, назван- З! ная колебательностыо, тем слабее будет затухание колебаний в переходном процессе. Липин а=салль образует центральный угол (рис. 5ЛЗ, а) па комплекспой плоскости. Суммарное требование определенных значений степени устойчивости ц и колебательпости р приводит к области, изображенной па рис.
5ЛЗ, б, внутри которой должны Рис. 5ЛЗ лежать все корни характеристического уравнения замкнутой системы. Далее пеобходимо иметь в виду, что для определения качества переходного процесса при единичном скачке внешнего воздействия существенны пе только корпи характеристического уравнения, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
