popovEP1 (950645), страница 14
Текст из файла (страница 14)
4.24). Поскольку при зтих выкладках все корни Х(з) оставались слева, то формулировка критерия устойчивости остается такой же, как и для случая устойчивой разомкпутой цепи, а именно, не должна охватываться точка ( — 1). В случае т= 2 и т=3 аналогично получаем ту же формулировку критерия — неохват точки ( — 1), как показано на рис. 4.25, а и б.
Для сложных очертаний амплитудно-фазовых характеристик в число отрицательных переходов надо включать и переход пунктирной окружности бесконечно большого радиуса при ю= О. Это имеет место и на рис. 4.25. п ! l Система с неустойчивой разомкнутой цепью. Пусть характеристический многочлен Х,(з) разомкнутой цепи имеет 1 корней с положительной вещественной частью. 'Хогда, применяя формулу (4.2$) к данному случаго, имеем Л аги Ь (~ю) = (и — 2() —.
Введенная вьппе вспомогательная функция И' (з) = 1+ И' (з) = —, при замене з= !ю, согласно критерию Михайлова для устойчивости замкнутой системы, должна иметь следующее изменение аргумента при О < ю < ЬагпИ" (!ю) = ЛагпР(!ю) — Лаги й(уа) = н = и — — (п — 2)) — = 1н.
Я 2 2 Это значит, что для устойчивости замкнутой системы зребуетгл, чтобы амплитудно-фазовая характеристика ра- зомкнутой цепи охватывала точку ( — 1) против часовой стрелки па угол Ы, где 1 — число полюсов с положительной вещественной частью в передаточной функции неустойчивой разомкнутой цепи данной системы. Другими словами, левее точки ( — 1) разность между числом положительных и числом отрицательных переходов амплитудно-фазовой частотной характеристики через ось абсцисс должно равняться ~/2.
Например, если передаточная функция разомкнутой цепи будет уу() о К(Ь 8~+ ... + т) о +'" т. е. имеет 1=1 (один положительный полюс), то для устойчивости замкнутой системы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой цепи должна иметь вид, примерно показанный на рис. 4.26, а или б, а в случае 1=3 — на рис. 4.26, в. 11ри етом начальная точка Рве. 4.Ы характеристики на оси абсцисс левее ( — 1)' считается как половина перехода.
Случай наличия пары гнете мнимых полюсов передаточной функции разомкнутой цепи. Этот случай может :очегаться со случаями расположения всех остальных полюсов слева от мнимой оси или наличия нулевого лозюса, или, наконец, наличия полюсов справа. Во всех вариантах формулировки частотного критерия устойчивости замкнутой системы остаются прежними, причем разрыв характеристики в точке мнимого полюса заполня:тся полуокружностью бесконечного радиуса (рис. 4.27). Это вытекает из замены на плоскости з точки мнимого толюса полуокружностью малого радиуса, и образования :оответствующего контура обхода, аналогично тому как на рис. 4.23 обходилась точна нулевого полюса. Через Т на рис.
4.27 обозначена постоянная времени соответствующего сомножителя (Тззз+ 1), являющегося источником пары чисто мнимых корней в знаменателе передаточной функции И'(а) разомкнутой цепи. Использование логарифмических частотных характеристнк. Обратимся сначала к первым двум случаям: разомкнутая цепь системы устойчива или нейтральна (соответственно, замкнутая система без астатизма и астатическая). Как установлено вылив, амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой цепи но должна охватывать точку ( — 1). Это значит, что должно быть А (1 или Ьш= 201яА (О при ~р = — 180". В свою очередь, это означает, что точка пересечения фазовой характеристики с линией — 180' должна лежать правее частоты среза, т.
е. правее точки пересечения амплитудной характеристики с осью абсцисс. Левее атой последней точки при сложных очертаниях ЛАХ может иметься четное число пересечений фазозой характеристики с линией †1, как показано пунктиром на рис. 4.28, в соответствии с приведенным выше правилом равенства положительных и отрицательных переходов. Первый график на рис. 4.28 соответствует системе без астатизма, а второй — системе с астатизмом первого порядка. Легко видеть, что пунктир на рис. 4.28, а соответствует характеристике на рис.
4.20. При подсчете точек пересечения фазовой характеристики с линией — 180 надо иметь в виду, что если начало фазовой характеристики будет лежать ниже линни — 180 (что соответствует рис. 4.25, б), то в число отрицательных переходов надо включать бесьонечно удаленную влево точку ю = О. Такова формулировка частотного критерия устойчивости применительно к логарифмическим характеристикам в случаях устойчивой и нейтральной разомкнутой цепи.
Осталось сказать, о случае, когда разомкнутая цепь неустойчива, т. е. Л(з) имеет 1 корней с положительной вещественной частью. В этом случае разность между числом положительных и числом отрицательных переходов фазовой характеристики через линию — 180 левее частоты среза в, (где Рас. 4.23 Ьш = О) должно равняться У2. Здесь положительньца считается переход снизу вверх. При этом начало характеристики в бесконечно удаленной точке а=0 на линии †1' считается за половину перехода. Например, для сяучаев, изображенных на рис. 4.26, а, б, это выглядит так, как представлено на рис. 4.29, а, б.
Использование зксперимептальиых характеристик. Особенностью частотного критерия устойчивости, в отличие от предыдущих, является то, что не обязательно надо знать уравнения всех звеньев системы, а можно использовать зкспериментальные данные. Пусть, например, система должна состоять из трех блоков (рис. 4.30), причем для двух блоков имеются, допустим, уравнения или передаточные функции И'~(г) и Иъз(г), а для одного блока (И'з) они неизвестны и очень трудно составить уравнения либо переда- ст гй хс точную функцию, но блок уже имеется в натуре или же для него легко сделать зксперименгальный макет.
с Рис. 4.3$ Рис. 4.30 Тогда для етого отдельно взятого блока (И'з) снимается зкспериментально амплитудно-фазовая частотная характеристика (рис. 4.31) путем подачи на вход величины х1 — — зш юр при разных сс и замера каждый раз амплитуды Аз и фазы <рз на выходе хз = Аз еш (в$+ ~рз) . Полученная зкспериментвльно характеристика перемножается с остальными, которые заданы аналитически, т. е. определяется И Ьс) РУ1 Ь~) РР 2 (~со) И э Ь~) 1 причем для каждого определенного значения частоты ю модули (амплитуды) перемножаются, а аргументы (фазы) складываются А = А ~АзАз, <р = (р~ + (рз+ ~рз.
По виду полученной общей характеристики разомкнутой цепи И'Цю) на основании частотного критерия Найк- виста судят о том, будет ли устойчива проектируемая из зтих блоков замкнутая система, ГЛАВА 5 ОЦЕНКИ КАНЕСТВА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА й 5Л. Требования качества и связь с частотными характеристиками Исследованная выше устойчивость системы обеспечивает затухание переходных процессов с течением времени, т. е. обеспечивает принципиальную возможность прихода системы в некоторое установившееся состояние при любом внешнем возмущении. Однако далее требуетсн, во-первых, чтобы это установившееся состояние было достаточно блиако к заданному и, во-вторых, чтобы затухание переходного процесса было достаточно быстрым, а отклонения (колебания) при этом были бы невелики.
Поэтому после обеспечения устойчивости системы нужно позаботиться о требуемом качестве процесса управления, в понятие которого входят, в частности: 1) точность системы в установившемся состоянии, 2) качество переходного процесса. Вообще говоря, в понятие качества системы может входить и ряд других по- ш казателси, кроме указанных основных. Методы определения Ч „- ~ л точности системы были изучены вьппе в главе 3 ~шпак (статические и скоростные ошибки, точность при гар- ~ * коническом воздействии, коэффициенты ошибок при Рвс.
5.1 произвольном внешнем воздействии). О методах определения кривой переходного процесса было сказано в э 3.1. Но при проектировании системы вначале не нужно знать деталей очертания всей кривой переходного процесса, а можно исходить из некоторых оценочных характеристик качества, таких как (см.
рис. 5.1)' длительность переходного процесса Ф, (быстродействие системы), величина перерегулирования о, количество (или частота) колебаний, иногда плавность процесса (ограничение по скорости и ускорению в переходном процессе). Теоретически переходный процесс в устойчивой линейной системе затухает в бесконечности: х — хг = ~~", С;еь1'-+.О пРи Г-э-оо.
4 1 Практически же длительность переходного процесса ограничивают тем моментом, когда отклонения становятся пренебрежимо малыми, например (рис. 5.1), когда величина Ь =)х — х„! составляет 5 $ от х„, Перерегулирование о=х — х„ определяется также в процентах от величины х„(скажем, 1Π— 30 $). При о= О процесс называется монотон— Таким образом, в начале проектирования системы не играют роли детали очертания крис т ~ г р Р*Р Р ю — — '- — 4 но, чтобы она не выходила за Рис.
5.2 определенные границы, показан- ные, например, на рис. 5.2, Существуют три основные вида приближенных оценок качества переходного процесса: 1) частотные; 2) корневые; 3) интегральные. Прежде чем говорить о частотных оценках, надо установить связь лехсду чостотныли харантеристинали системы и начествол переходного процесса. Будем рассматривать переходный процесс х(г) при единичном скачке задаияцего воздействия д(г) = 1(г). В изобрая~ениях по Лапласу Х(г) = Ф(г)6(г), 6(г) де Ф(г) — главная передаточная Функция замкнутой жете мы, Подставив сюда г=)а, запишем выражение интеграла Фурье (обратное преобразование Фурье): ОО 60 х(о) = — ( Х ()а) е~"'йо = — ) О езда. (5 1) 2л ~ Здесь Ф(уа) является амплитудно-4азовой частотной характеристикой замкнутой системы Ф(1а) = Р(а)+ И(а)', '(5.2) причем Р(а) — вещественная, а Ч(а) — мнимая частотные характеристики замкнутой системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
