popovEP1 (950645), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Величину установившейся ошибки при произвольной форме задающего воздействия (см. у ЗЛ) можно записать в виде его = ~ д(г т) йо(т) ат '= ~ о (С вЂ” т) йо (т) сСт. (3.36) о о Последнее выраисепие следует из того, что при т) о аргумент функции я(~ — т) будет отрицательпым, а сгри отрицателышм значении г — т принимается я(~ — т) = р Поэтому замопа конечного продела г бесконечным пе меняет результата.
Разложим я(с — т) в ряд: 2 й(~ — т) = у(О- тГ'И) + —,д" (с) — ". Подставив это в соотношение (3.26), получим выражение вида это=с,й(С)+~.а'()+ ~'а"(~)+ ° ° ° +уФ" (')+ ** (3.27) где коэффициенты се, си ... определяются из (3.26) следующим образом. Очевидно, с,= ~й,(т)~,, е поэтому согласно формуле (3.25) имеем со (Ф. (аН.-о (3.28) Аналогично иа '(3.26) получаем ФФ с, = ) ( — т) й, (т) дс е и согласно (3.25) находим с~ — — [ — 1 ит. д.
Общий член разложения (3.27)' согласно (3.26) будет иметь коэффициент (3.29) с» = ~ ( — т)е йе (с) уи е или на основании (3.25) [а'е, 1 (3.30) Итак, установившаяся ошибка при произвольном задающем воздействии д($) определяется формулой (3.27) с коэффициентами (3,28) — (3.30). Последние называются коаЯЯициентгши отиибон. На практике ограничиваются небольшим конечным числом членов й Вычисление коэффициентов ошибок непосредственно по формулам (3.28) — (3.30) неудобно.
Поэтому практически применяется другой способ, который вытекает иэ сле- дующего рассуждения. Разложим передаточную функцию Ф,(г1 в ряд Фе(э) = (Фе(эИа э+ +[ — "~ .+-'["~:+...+-'['— ;~ +... Как видно, в этом разложении фигурируют выражения для коэффициентов ошибок (3.28) — (3.39). Следо- вательно, Ф,(г) =се+ сгэ+ — 'ээ+ ... + — э'+ ... (3.31) Но Ф.(г) является отношением мпогочленов, т. е. Х (э) Фэ(з) ~+ и (.) ь(*)+Кл (эу (3 32) Очевидно, что произведя простое деление многочлена числителя (3.32) на многочлеп знаменателя по известному алгебраическому правилу, мы и получим выражение гэс. ЗЛ типа (3.31), а аначит, и значения всех коэффициентов опги бок После этого, подставив (3.31) в формулу Е(з) = Ф.
(э) С (э) и переходя к оригиналам, получим ет,=с,я($)+с,д'(г)+ — 'д"(8)+ ...+ —,ап>я+ ..., что совпадает с ранее полученным (3.27). Пример. Для системы с астатязмом первого порядка, схема которой дана на рис. 3.5, имеем К ЦРа + 1) (Хэ + ~) Следовательно, Твувв'+ (Гв+ Тв) в'+ с Ср () в+от() в в в в )в Рааделив числитель на знаменатель,получаем /То+То 11 в б'в(з) — з+ ' — — с + К ~ К К) (т,т, т,+т, ~К К К) Отсюда, сравнивая с (3.3т), находим коэффициенты ошибок с, Т,+Тв с =О с-=— о в т=яв о К в1 с тт Т+т в во 2 т в+ Кв (3.34) Поскольку коэффициент усиления К находится в знаменателе, а постоянные времени Т в числителе, моясио сделать вывод о том, что все ошибки уменьшаются с увеличением К и с уменьшением постоянных времени, характеризующих инерционность системы.
Иэ приведенного примера видно, что коэффициент со соответствует статической, а с1 — скоростной ошибкам, которые рассматривались ранее в $3.2. Допустим, задающее воздействие имеет вид ас с во+ о + 2$ тогда б го+ аг, б" а. По формуле (3.27) с найденными коэффициентами получаем е, = — ~ио + а1+а(Тв + Тв)' — — ~.
$Т а1 то=К'( о в. (3.35) Ваяшо отметить, что при произвольном внешнем воздействии в формулах для ошибок общий коэффициент усиления разомкнутой цепи К (добротность) влечет за собак уменьшение всех видов установившихся ошибок замкнутой системы. Это главный фактор повышения точности замкнутой системы автоматического управления. Необходимо заметить, что вычисление установившихся ошибок по указапным формулам имеет практический смысл при достаточно медленном изменении внешнего воздействия. Иначе эта ошибка не будет реальной из-за наличия значительпой переходной составляющей процесса. Отметим так»ке, что выше определялись коэффициенты ошибок по задающему воздействию.
Аналогично это можно сделать и по возмущающим воздействиям, привлекая соответству»ощие передаточные функции. э 3.5. Чувствительность автоматических систем Параметры системы автоматического управления, т. е. коэффициенты усиления и постоянные времени, аавнсят от физических параметров элементов, входящих в систему (сопротивления, емкости, нпдуктивности и т. п.).
Величины этих физических параметров, во-первых, могут иметь разброс вследствие допусков на изготовление (технологический разброс). Во-вторых, в зависимости от условий эксплуатации в процессе работы системы опи по разным причинам могут изменяться со временем (эксплуатационное изменение). Поэтому возникает задача определения влияния разброса и изменения параметров системы па статические и динамические свойства процесса управления, т. е. на точность системы, на временнйе характеристики (показатели качества переходных процессов) и на частотные характеристики. Степень влияния разброса и изменения параметров системы на ее статические и динамические свойства называетея чувствительностью системы.
Чувствительность определяется количественно. Существу»от методы ее анализа и методы достижения малой чувствительности проектируемой системы к разбросу и изменению некоторых ее параметров, когда это требуется. Пусть система описывается уравнениями в нормальной форме (2.2»), т. е. »»е, — = анх» + а»„х, + ... + а»„х + «» ($), (3.36) »-1,2,...,н, где х~ — координаты состояния системы. Изменяющиеся со временем параметры системы в процессе ее эксплуатации и от разброса при изготовлении обозначим череа Я, (7-1, 2, ..., т).
Опи входят в коэффициенты уравнения (3.36), Поэтому уравнения системы (3.36) мояшо представить в следующей общей форме: де1 — „, = ф;(х, „.,х; а,„..., а ), (3.37) 1-1,2,...,п. Рассматривая малые изменения параметров, получим новые уравнения — ' = ~;(хм..., х; а,+ Лад,"..., а + Ла ), (3.38) 1 1,2,...,п. Процесс в системе (3.37) при неизменных параметрах, определяемый ее решением х (1), х (г), ..., х„(г), называется исходным деижением. Процесс в той же системе, по с измененными пара- метрами, определяемый решением уравнений (3.38), т.
е. х| (1), Уз(1), „У„(1), называется еарьироеапным движением. Возникает различие в протекании этих процессов за счет изменения параметров системы Ьхс(Ф)=Ую(Ф) — х~(1), 1=1, 2, ..., и, которое называется дополнительным движением системы. При малых изменениях параметров а; можно записать де~ де» де~ Ьх~(г) — Лат + — Ьа + . „+ — Ла да ~ да е '" да„, 1 1,2,...,п. Обозначим (3.39) Тогда дополнительное движение будет »хх» = и»»Ьсь» + ииЛ»ха+... + и»„Лес„, (3.40) $1,2,...,п.
Величины и„(д), определяемые формулой (3.39), называются»буннуиял»и чувствительности. В данном случае х, являются координатами состояния системы. Вообще же аналогичные характеристики чувствительности вводятся так же и для различных показателей качества системы. Тогда в формуле (3.39) вместо х» будет стоять соответствующий показатель качества, а в формуле (3.40) — вместо»хх» — изменение этого показателя качества. Функции чувствительности для частотных характеристик будут функциями не времени, а частоты ю. Когда я»е показатель качества выражается не функцией, а числом, то ив нааываются уже не функциями, а ноз1дсдиуиентел»и чувствительности.
Последние определяются как при эксплуатационном изменении параметров, так и при их технологическом раабросе. Определение функций чувствительности производится слодующим образом. Продифференцируем исходное уравнение (3.37) по параметрам с»». Получим ('»»х»1 д»т» дх д»т» дх д»»»» дхх д»»»» ди.» д»» дх дад дх дс» ' дх ди д»»д д »» Меняя в левой части порядок дифференцирования и учитывая формулу (3.39), получим выражения ди~ д»т» д»»»» д»»» д»т» — = — иы+ — изд+ . ° . + — 'и;+ — „', (3.41) которые называются уравненияии чувствительности, Непосредственное определение функций чувствительности и„по этим уравнениям затруднительно.
Поэтому применяют косвенные методы, например, с помощью моделей (31) или графов (5). Приведем простейший пример определения уравнений чувствительности для системы (Тр+ 1)х Ку(д). Введем две функции чувствительности дх ,дх ик —, ит дК 'дл' Уравпепие данной системы в нормальной форме имеет вид аг 1 К «и у т — = — — х + — д (1). Отсюда по формуле (3.41) получим «уак 1 ""т 1 1 — = — — ик + — к (1) — = — — ит + (х — г (1)). и= т т ау= т Это и будут уравнения чувствительности такой простейшей системы.
Вычислив отсюда иг и ит, найдем изменение хода процесса управления за счет эксплуатационного изменения параметров К и Т по формуле угх(1)= и (1)ЬК+ ц (1)1«Т. Что нсе касается функций и коэффициентов чувствительности для показателей качества, то их определение проще, поскольку там не будет дифференциальных уравнений.
Рассмотрим функции чувствительности частотных характеристик. Запишем передаточную фупкцисо разомкнутой цепи системы И"(г)= И'(г; сгь ссг, ...,а ), где иь ссг, ..., сс — параметры системы, имеющие технологический разброс или зксплуатационпые изменении. После подстаповки г = ув запишем вьтрансения амплитудной и фазовой частотных характеристик Л(со)= (И'(уа)! =Л(в; ссь ссг,..., сс ), ср(а)= агд И'(усо)= ср(в; иь ссг, ..., а ).
Функции чувствительности здесь будут ил.(в) = , игу(в) = , у = 1, 2, ..., т. (3.42) 1 В результате вместо формул (3.40) здесь получим как функции частоты а формулы для отклонения частотных характеристик за счет разброса и изменепия параметров системы: ~~ и (в) дсс,, йср (со) ~ и„у (а) йх;. (3.43) у=о Б частности, для приведенного выше простеишего примера имеем И'(г) = —. К Найдем функции чувствительности частотяых характеристик по параметру а1 = Т. Поскольку здесь Л (в) = К Мт'е'+~ ' ср (о) = агсФК Тв, то функции чувствительности (3.42) будут д.4 (а) — Ктср дт = (т,р+,)Мз дс~ (О) и итт = — = дт т 3+1' Отклонения частотных характеристик согласно (3.43) получат значения АЛ(ы)= пят(ы)ЛТ, Л~р(в) = и„(а) ЕТ.
Определение функций чувствительности применяется для проектирования системы с наименьшим изменением качественных показателей при отклонении значений параметров системы от расчетных. Аналогично можно находить таньке функции или ковффициенты чувствительности для нулей и подносов передаточной функции прн корневых методах исследования, а также для других показателей качества.
ГЛАВА 4 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ й 4Л. Понятие устойчивости линеаризоваиных систем Устойчивость систем автоматического управления является одним из ваткнейнпих условий ее работоспособности„так как устойчивость включает в себя требование аатухания переходных процессов во времени. Очевидно, что система с расходящимся процессом была бы неработоспособной Все реальные системы в технике и в природе, как правило, являются в большей или меныпей степени нелинейными. Всегда существует много факторов, отклоняющих реальные характеристики от прямолинейных. Однако многие системы мо~кно считать близипчи к линейным и с необходимой для практики точностью проектировать как линейные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
