popovEP1 (950645), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Приведем пример получения общей передаточной функции сложной разомкнутой цепи (рис. 212) с испольаованием структурных преобразований. Первый шаг преобразования показан па рис. 2.13, где, :огласпо правилам 4 и б,имеем (4 е (з) == ез ( ~ И ее (з) = )4 я (з) И з (з) И" (е) и, кроме того, по правилу 2 сделан перепое назад внешнего воздействин 1. Рис. 2.13 Ркс. 2Л4 цепи по каждой из двух входных величин л и 1 от- дельно И'ы (е) И7 (е) й7 (з) 1 + ИР (е) И (е) е И" (е) (1 + И' (е) ее' (е)) И'„(г) — — = У Х (4'г(з) = — = у Р Второй шаг преобрааовапия изобраекен на рис. 2.14, где, согласно правилу 1, получаем ее' (е) И' (е) И" (з) )е (е) )Р (е) и' (е) + ее ( ) е ( )- з ( ) + е (е) И з (е) И я (е) И (е) Й'.
() ее ( ) +И' (е) И яз (з) = ) е я (з) + (4 е (з) = )Р ( ) 11аконец, па основании схемы рис. 2.14 находим окончательно общие передаточные функции всей разомннутой Аналогичпо этому примеру можно производить структурные преобразования, приводя к желаемым простым видам любые сложные структуры самых различнь1х систем. й 2.3. Передаточные функции и уравнения замкнутой системы — — И" (г) Х Я (2.9) в виде отпошепия мпогочлепов с единичными коэффициентами при младших членах, т. е.
И'(з) = (2ЛО) где К вЂ” общий козффициепт усиления разомкпутой цепи. Передаточные функции замкнутой системы записываются отдельпо для каждой комбинации входа и выхода, а значит, и для каждого внешнего воздействия в отдельности. Разделим каналы прохождения сигналов в системе от каждого внепшего воздействия. Возмущающее воздействие 1(~) может быть приложено в любом месте.
Но, используя второе правило структурных преобразований Ц 2.2), всегда можно выделить ту часть схемы, через которую проходят сигналы от )(г) на выход л. Это показано на рис. 2Л6 в виде передаточной функции М(г). Из цепи звеньев любой сложности, покаааппой здесь одним прнмоугольпиком (рис. 2Л5), получается замкнутая система при помощи единичной отрицательной обратной связи.
Эту обратную связь называют славной в отличие от местных обрат- 7О пых связей, которые могут быть, как мы видели, внутри гв н з'и! — в составе разомкнутой цепи звеньев. Пусть имеются (рис. 2Л5) внешние воздействия: д(1) — задающее и Рзс. и15 ЦФ) — возмущающее. В об- гцем случае могут быть введены несколько возмущающих воздействий, приложенных в разных местах системы. Задана передаточная функция разомкнутой цепи Для задающего воздействия у(г) схема прохождения сигналов сохраняется в полном виде И'(г).
На выходе имеем формально х=х(+ха (па самом двлв М(г) входит в общую схему как часть Ит(г) ). Основные соотношения, следовательно, в изображениях по Лапласу будут иметь вид т(и Е= С вЂ” Х, (2.11) яв> Х=И'(г)Е+ЛХ(г)р. (2.12) ут 'С! х В расчетах автоматических систем применяют три основные вида передаточных Рис. 2.16 функций замкнутой системы.
1. Главная передаточная 1дункция замкнутой системы (при 1'(г) = 0): Ф(г) = —. х с Из формулы (2.11) и (2.12) при И= 0 имеем Х= И'(г) (6 — Х), откуда Ф ( ( = —,,- (,( — г( ( (т( (2.13) К)т (з) Последнее вытекает из формулы (2.10). 2. Передаточная функция закмнутой системы длл ошибки (при 1 Я = О): у Фв (г) По формуле (2Л1) яолучавм Е б — Х вЂ” — = 1 — Ф(з), 6 б откуда Б (б) Ф,(г) = +, + .
(2Л4) 3. Передаточная у(увкция замкнутой системы по еозму(цаюи)ему еоздейстзию (при у(г) 0): х Ф1(г) = —. Из формул (2Л1) и (2Л2) при 6 = О имеем Х= И (.) ( — Х)+М(з) р, откуда Ф Фу (з) 1+ и~ (е) ь ( ) + ку (з)з где Л(з) =(.(з)))1(з), причем ьотогочлен Л(з) аависит от места прилол1ения возмущающего воздействия. Заметим, что поскольку при д(() = О имеем Е = — Х, то передаточкая (руккция замккутой системы для ошибки по возму- и щающему еоздейстешо Фм(з) = — будет той жв, что и для регулируемой величины Фе(з) с точностью до знака.
Важпо отметить, что знаменатель всех видов пвредаточпой функции замкнутой системы один и тот жв. Для замкнутой системы в целом (рис. 2Л5) имеем )т' (е) И (е) Х = Ф (з) С + Ф) (з) Г = (+ )г ( ) С + 1+ ~, ) Р или Кй (г) С )) (е) А (8) + К)т (г) Е (з) + К)т (в) Умнол1ая все на общий знаменатель и переходя к оригиналам, получим ди(оу)ерекциальиое ураеиеиие замкнутой системы для регулируемой величины х в виде (Р.(р)+Кж(р)) =К)У(р)у(()+ЩрУ(().
(2.16) Итак, зная передаточные функции звеньев системы, можно чисто алгебраическим путем найти общее дифференциальное уравнение всей замкнутой системы в целом при любой ев сложности. В этом состоит, в частпости, одно иа важных практических преимуществ использования аппарата передаточных функций.
Фигурирующие здесь операторные мпогочлвны Ь(р) и К)т'(р) соотввтствугот знаменателю и числителю первдаточной функции разомкнутой цепи И'(з), а операторный многочлвн гг(р) зависит от места приложения возмущающего воздействия ~(г). Дифференциальное уравнение замкнутой системы (2Л6) записывают также в виде 0 (р) х К)т'(р) у(г)+ В (р) ) Я, (2Л7) гдв Х>(р) =У (р)+ К)У(р)- (2Л8) Характеристическое уравнение замкнутой системы будет П(7.)= 0 или Е(1,)+ К)У(ь)= О. (2.19) Очевидно, что корпи уч (ь' = 1, 2, ..., и) этого характеристического уравнения равны полюсам з, передаточной функции замкнутой системы (2.13).
Как видим, порядок дифференциального уравнения замкнутой системы (2 17), как и разомкнутой цепи (2.7) определяется степенью п многочлепа Ь(р) (так как степень )У(р) пище). Однако коэффициенты обоих уравнений существенно отличны друг от друга за счет прибавления мпогочлепа К)У(р). Поэтому и все динамические свойства процессов в замкнутой системе будут сушественно отличаться от таковых з разомкнутой цепи, состоящей из тех н~е самых звеньев.
В развернутом виде в обычной записи уравнение динамики замкнутой системы (2.17) получает вид Ы"х в~ ~х Их а — + аг — + ..."+ а„г — + а х = ~г (1), в ич и 1 ° ° ° — ,и На основании передаточных функций (2.14) и (215) с изменением знака последней можно выразить ошибку замкнутой системьц точнее ео изображение по Лапласу, в виде (2.20) и записать ди(дференциальное уравнение замкнутой системы для ошибки (г. (р)+ Кй" (р)) е = ь(р) у(~) — В(р) Ф). Здесь левая часть уравнения, а значит, и характеристическое уравнение, остазотся теми нсе, что и для регулируемой величины (2.16).
Правая же часть меняется существенно перед задающим воздействием, а перед возмущающим воздействием меняется только знак. Физически это понятно, ибо все изменения регулируемой величины под влиянием возмущающего воздействия включаются целиком в ошибку. Уравнение замкнутой системы может быть записано и иначе — в виде системы уравнений звеньев типа (1.2), обычно второго и первого порядка (но воэмоисно и более высокого для некоторых звеньев). Однако уравнение второго порядка всегда можно привести к двум уравнениям первого порядка. Например, положив для простоты в (1Л) Ьс=-О и обозначив аж = хэ ас получим ~Ъ а — = Ь хд — а,х — а,х.
ас Представив в аналогичном виде уравнения всех звепь- .в, запишем уравнения динамики замкнутой системы в пормальной форме Коши ас — = аггхг + ажхз + ... + аг„х„, и Ис — — аэгхх + аээхэ + .. + а,„хж (2.2т) ~ о — =агхд+а„эх + ... +а х„, тричем в правых частях не обязательно входят все и пе)емеш1ьгх. Поэтому многие коэффициенты здесь будут акулями. В некоторые уравнения добавятся справа еще 1адающее д(Г) и возмущающее ~(Г) воздействия. Характеристическое уравнение этой системы име~т вид а — Л а з ...
а а а — Л ... а „ = О (2.22) аж авз . о~„— Л ~ли в развернутом виде аэЛ" + а1Л" ' +... + а„1Л + а = О. Заметим, что фигурирующие здесь и переменных 'хи хз„..., х ) называют координатами состояний даииой истемы. Их число равно общему порядку системы и. га ждая совокупность конкретных числовых значений ,сех этих координат характеризует состояние системы в пгределенный момент времени. Как видно из составления 'равнений (2.2$) координаты состояния х, не обязатель- но все соответствуют реальным физическим величинам воздействий между звеньями системы.
Часть из них могут вводиться искусственно. Вто фактически координаты математической модели системы. Система уравнений (2.21) мо1кет быть записана в матричной форме (2.23) а характеристическое уравнение (2.22) соответственно в виде г(еЦА — ЛЕ) = О, (2.24) где х — вектор-столбец всех координат состояния, А— матрица коэффициентов, Š— единичная матрица, т. е. 11 12 " 12 21 22 '" 2В Согласно этим обозначениям краткая запись (2.23)' расшифровывается подробно в виде (2.21), а запись (2.24) — в виде (2.22), что соответствует также другой краткой записи 1)(Л) = О, примененной выше в (2А9).
з 2.4. Частотные харавтеристики замкнутой системы И~(яе) 1 + И" (121) 2 (2.25) причем )(р ( ) КР (112) ~1 = ьо,) представляет собой вырал1ение амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой цепи для дапной силемы, Амплитудно-фазовые частотные характеристики можао представить в виде И'(уге) = А(ю) евое) Ффо) =А2(ю)Р2~ ', В соответствии с главной передаточной функцией замкнутой системы (2АЗ) можем записать формулу амплитудно-фа зоной частотной характеристики вамкнутой системы в виде де А.(в) и ф,(а) — соответственно амплитудная и фаювая частотные характеристики замкнутой системы. Последние можно выразить через А(гс) и ф(в) разомскутой цепи. Согласно формуле (2.25) имеем Асвв А,е(тс $+Асго али, взяв обратные величины слева и справа, получим юное равенство ррс — = — +й Ас А Подставим сюда ев-совд — уе(пф и приравпяем затем отдельно вещественные и мнимые части.
Получим два равенства ссз фа сов ф з(о фс з(» ф — = — +1, А А ' Ав А Сложив сначала квадраты этих выражений, а затем поделив одно из них на другое, получим искомый резуль- тат Ас (гс)— )/А (в)+ 2А(в) ссзф (е)+1 ' 6 А(о)+ сов ф(в)' а =агс'с (2.26) Для разомкнутой цепи, как мы знаем, чаще всего используются логарифмические частотные характеристики ( ).
ф(ы) Будем считать, что на предыдущей начальной стадии расчета системы зти характеристики известны. Они будут исходными для определении по формулам (2.26) характеристик замкнутой системы А,(в) и гр,(гс). Чтобы ке иметь дело на практике с такими формулами, составлены (36) номограммы замыкания (рис. 2. 17). Отложив па осях абсцисс и ординат заданные значения ф(гс) и Его(ы), находим значения А,(в) и ф,(сс) на поле номограммы в точке с этими координатами. Таким образом, по точкам строится вся частотная характеристика аамкпутой системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
