popovEP1 (950645), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Все это является базой для грамотного построения замкнутых автоматических систем и для инженерных расчетов при аналиае существующих и проектировании новых систем автоматического управления. Эти методы широко применяются пе только для систем регулирования и управления как таковых, но и во всех случаях анализа и разработки замкнутых динамических контуров в любых технических системах, в биотехнических и в экономических системах. ГЛАВА ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ З 1.1.
Уравнения звеньев и виды основных характеристик Чтобы составить уравнепия динамики системы автоматического управления или регулирования, система разбивается на звенья (см. рис. В.4 и В.б). Затем рассматривается каждое звено системы в отдельности (рис. С.г). Входная хг к выходная хг величины соответствуют физическим величинам, выражающим воздействие предыдущего звена на данное звено (хг) и воздействие данного авена на юг последующее (хг). Например, в злектродвигателе следящей системы (см.
рис. В.4) роль Ряс. 1.1 величины х1 будет играть напряжепие в цепи возбуждения, хг — угловая скорость вала. Для самолета (см. рис. В.б) хг — угол поворота руля, хг — отклонение оси самолета по курсу. Звено системы может являться техническим устройством любой физической природы, конструкции и назначения. Позтому составление уравпепия динамики каждого конкретного звена системы является предметом рассмотрения соответствующей конкретной области технических наук (электротехники, теплотехники, динамики полета и т. п.), к которой и следует каждый раз обращаться.
Допустим, что в результате составления уравпения динамики какого-нибудь конкретного авена получилось линейное дифференциальное уравпепие второго порядка оо аг Ьг ао гг+ аг — „'+ агхг = Ьо г+ бгхг. (И) В теории автоматического регулирования принято приводить уравнение звена к стандартному виду в символической записи (Т'р' + Т,р + 1) х = й, (т,р + 1) х„(1.2) Ю где р обозначает операци!о дифференцирования (р = ц. Здесь введены постоянные време!!а, которые в данном случае будут о т! ! Т =— и о ив и 1 а Тт= ! и Рис.
!.й Й! определяет крутизну наклона этой характеристики (й!=1ис! с учетом размерностей хо и х!). Условимся з дальнейшем на статических характеристиках писать крутизну Й! (коэффициент усиления), как показано на рис. 1.2, 6, вместо обозначения угла. Линеаризация уравнения звена. В общем случае при составлении уравнения динамики авена системы оно оказывается нелинейным Е(х! х! х2, х2, хо) = О* ,(1.3)' и коэЯГбициент усиления (передаточное число) звена Ь !о! и Очевидны следующие размерности этих постоянных: Грэем.
ж 1 Т (с), Т,'[с'), т (с), к В установившемся состоянии, когда х! =сопэ$ и хо = сопэ1, получаем из (1.2) уравнение хэ = к$х! и соответствующую ему линейную статическую характеристику звена (рис. 1.2), причем коэффициент усиления Обычно при исследовании процесса регулирования уравнение звена можно линеаризовать (для тех случаев, когда етого сделать нельзя, используются методы теории нелинейных систем). Линеаризация уравнения динамики звена (1.3) основана на том, что в процессе регулирования все величины мало отклоняются от их программных значений — иначе система не выполнила бы своей задачи и пе была бы системой регулирования или управления. Допустим, что установившиеся (программные) значения переменных х1 и хо являются постоянными хм хз. о о Тогда поясно записать х =х,'+ Лх,(1), х = Лх,, х =хо+ Лхо(1), х,=Лх„х, = Лх„ где символом Л обозначены отклонения в процессе регулирования.
Из (1.3) мояоно записать уравнение звена в установившемся состоянии Р (х,', О, х',, О, О) = О. (1.4) Разложив левую часть уравнения (1.3) в ряд Тейлора, получим о'+ ф)' о*, ~- ( ',')'о*, ~- ( — ")' л, + + —. Лх, + —.„Лх,+ ... =О„ где нулином сверху обозначена подстаповка(хо, О, 4, О, О).
Вычитая из данного выраясения уравнение (1.4) и отбросив все последующие члены разложения как малыо высшего порядка, придем к линейному уравнению динамики звена в виде (1.1), если опустить значки Л и понимать под х~ и хо отклонения, причем После етого можно перейти к стандартной записи (1.2)..
Применив это преобразование к дифференциальному уравнению звена д х в)х / в(х получим где через В(г) обозначен многочлеп, включающий в себя все члены с величинами начальных условий. Передаточной функцией авена И'(е) называется отношение изображений Лапласа выходной и входной величин, т. е. Х (в) И" (е) = —.' в (1.8) при нулевых начальных условиях.
В данном случае согласно (1.5) имеем Й ('в Б+ 1) г,'Р+ г, (1.7) ьр (.) И'(г) = Е (в) (1.8) где Ж(е) и Ь(е) — миогочлены с коэффициентами 1 в младших членах, причем степень вв'(г), как правило, ниже степени А(в). Дифференциальное уравнение звена. В общем случаев соответствии с (1.8) уравнение звена неявно представить Сравнивая полученное выражение (1.7) с дифференциальным уравнением звена (1.2), видим, что формально передаточную функцию звена можно составлять как отношение операторных многочленов правой и левой частей уравнения звена.
И наоборот, зная передаточную функцию (1.7) авена, легко написать его дифференциальное уравнение, имен в виду, что числитель передаточной функции соответствует правой части уравнения (1.2), а знаменатель передаточной функции (1.7) — левой части уравнения (1.2). В общем случае передаточная функция звена имеет вид в форме А (р) ж, — й,Ж (р) з, [р — „, д1 Характеристическое уравнение звена имеет вид Ь(в)= О, гак что корни Ц характеристического уравнения звена нвляются полюсами его передаточной функции. Весовая функция звена.
Весовой функцией звена А(1) называется оригинал (т. е. обратное преобразование Лапласа) передаточной функции, а именно: »+ь» й(1) = Ы ~(И'(з)) =- —. ~ И'(з) е"Из = » — ь» в = ~~'„', Вез[Иг(з) е ~. зм где и — все полюса передаточной функции И"(з). Иногда вместо Ь(з) применяют обозначение ю(8). В этой фор- 7 муле Вез обозначает вычеты (см. теорию функций комплексного переменного). з, 6 Поскольку при нулевых начальных условиях согласно (1.6) 0 Хз(з) = И'(з) Хг (з), то в случае, если Х1 1, т. е.
/г(й если х1 (з) б (з) — дельта-функция, будет иметь место равенство жз(1) = й(1). р Известно, что б-функция представляет собой единичный мгновенный импульс (рис. 1.5), для которото 1, — О, с1-, причем плохцадь з1с1 =1. Следовательно, физический смысл весовой функции звена есть реакция звена на единичный мтнове нный импульс, поданный на вход звена. Иначе говоря, весовая функция Й (1) представляет собой переходный процесс на выходе звена (рис.
1.5) при подаче на его вход единичного импульса. Поэтому весовую функцию часто называют импульсной лерехоеи ной функцией. Зная весовую функцию звена к(Ф), можно определить его передаточную функцию: И" (в) = 5Г(к (1) ). (1.9) Переходная функция звена. Переходной функцией й(г) называется реакции звена на единичное ступенчатое воздействие (рис. 1.6), т. е. переходный процесс па выходе хз при единичном скачке 1(г) на входе звена хь Следовательно, здесь имеем 0 г Х.(в) =Ы(1(г)) = ~. Хв(г) = И'(е)Х,(г), откуда (г) =Ь(г) = я г(1 ()1.
О р . 1.з Поскольку известно, что (имея в виду обобщенные функции) то можно написать следующее соотношение между весовой и переходной функциями авена: й(8) = —. еа (6 И$ то на выходе будет (в установившемся режиме) хв = А вш (гвг+ ~у), где А — амплитуда (точнее, усиление амплитуды), а ~р— фаза (точнее, сдвиг по фазе). Частотные характеристики звена. Частотными характеристиками называются формулы и графини, характеризующие реакцию авена па синусоидальпое входное воздействие в установившемся режиме, т. е. вынужденные сипусоидальные колебания звена. Если на вход звена подается (рис.
1.7) х1 = зш гв8, Применяется символическая запись сипусоидальных колебаний в виде х =ем'. ! Строго говоря, е'"' = соз агу+ у зш ву, что геометрически язобрагкается вращающимся единичным вектором (рис. 1.8). Проекции последпего па прямоуголыгые оси Рис. 1.8 Ряс.
1.7 дают сов ау и з1пЫ. Позтому для сугкдепия о вынужденных синусоидальных колебаниях звена достаточно формально исследовать реакцию звена на символический сигнал е™. Пусть, например, уравнение авена имеет вид (Тггрг+ Т,р+ г)х = й (т,р+ 1) х . Используем символическую запись: х1 = е'"', рх~ усое' ', хг Ае""'+", Рхг = АУсгет"'+о', 2 . А (у ) г У(е~+Р) Подставив зги величины в уравнение звена, получим (Т~г(ую)г+ Т (уа) + 11Аед" ~" =ус (т,ум+ ()еу", откуда Ае' Уег (тгйв + 1) Т~~(уог) + Т„(усо) +1 Сравнивая зто вырагкение с передаточной функцией данного звена ((.7), видим, что Аег'= [И'(з))„м =)Р(ую).
(хЛО) Отсюда находим .4 = ) И'(ув) ), ср ага И'(ув). (1Л1) В общем виде согласно (1.8) имеем ь ут (ув) %(ув) = — ' ь Ов) Выражение (1ЛО) представляет амплитудно-Яазоеую застотнрю характеристику звена. Иногда ИУ(ув) называют частотной передатошой функцией авена. Выражения же (1Л1) называются соответственно амплитудной частотной характеристикой звена и ф зоеой частотной характеристикой звена.
Графически амплитудно-фазовая частотная характеристика (1ЛО) изображается на комплексной плоскости (рнс. 1.9) в полярных координатах (А, ср), как годограф функции И'(ув). Можно строить амплитудно-фазовую гастотпую характеристику и в прямоугольных координатах (гУ, И) (рис. 1.9), выделив в выражении И'(ув) веществентуго и мнимую части: И'(у )=УУ(в)+Л'( ). При этом сУ(в) называют ее~уестеенной частотной характериттикой, а т (в) — мнимой. Заметим, что угол гр показан па рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
