popovEP1 (950645), страница 4
Текст из файла (страница 4)
1.9 как отрицательный (отло- в о кен по часовой стрелке), поскольгу чаще всего реакция на выходе 1вена имеет отставание по фазе по Рке. 1.9 :равнению с входной величиной. При этом частоту в изменяют от О до (сплошная грввая па рис. 1.9) или же от — до +,, когда добавзяется еще симметричная к ней пунктирная кривая. "нмметрия кривых при в<О и в~О объясняется тем, зто передаточная функция И'(з) согласно (1.8) есть от- ошение мпогочленов (дробно-рациональная функция). .)оэтому И'( — ув) = РР'(ув), УУ( — в) = У(в), $'( — в) — И(в), где чертой сверху обоаначепо комплексно-сопряженное выражение. Графики амплитудной и фазовой частотных характеристик (1Л1) тоже изобран|аются графически (рис. 1ЛО), причем амплитуда являет- М ся четной функцией, т.
е. l~, А ( — в) А (в), а фаза— нечетной функцией, т. е. б |р( — в) = ~(в). Логарифмические частот- ные характеристики. В пракд тических применениях чаще всего амплитудную и фазовую частотные характеристиРкс, 1.Ю ки изображают в логарифми- ческом масштабе. Впоследствии увидим, что такие логарифмические частотные характеристики очень удобны для инженерных расчетов.
При построении логарифмической амплитудной частотной характеристики (ЛАХ) по оси ординат откладывают величину Хш(в)=201яА(в)=201д!И'(ув)3, (1Л2) единицей измерения для которой является децибел. По Г11 оси абсцисс откладывается частота в~ — ~ в логарифми- )с) ческом масштабе (рис. 1.11). Равномерной единицей па оси абсцисс является декада — любой отрезок, на котором значение частоты в увеличивается в десять раз. Точка пересечения ЛАХ с осью абсцисс называется частотой среза в,. Начало координат обычно помеща|от в точке в =1, так как 1я1= 0. Точка же в =0 лежит в — .
Однако в зависимости от интересующего нас диапазона частот можно начало координат брать в другой точке (в = О, 1„' в =10 или др.). Важно иметь в виду, что ось абсцисс (| ш=О) согласно (1Л2) соответствует значению А =1, т. е. прохождению амплитуды сигнала через звено в патуральну|о величину. Верхняя полуплоскость ЛЛХ соответствует значениям А ) 1 (усиление амплитуды), а нижняя полуплоскость — значениям А ( 1 (ослабление амплитуды) . При построении логарифмической фиговой частотной характеристики (ЛФХ) отсчет углов |р идет по оси орди- наг в обычном масштабе в угловых градусах (рис.
1.11). По оси абсцисс откладывается по-прежнему частота ы з логарифмическом масштабе. Рвс. 1.И Между частотньвии характеристиками и весовой функцией существуют соотношения, определяемые из (1.9) подстановкой г =)а, а именно: ОО + И'(уа) =~й(8) е ~"Ъ, Й(1) = — ) И'Цв) е' 5 1.2. Типы позиционных звеньев и их характеристики Типы звеньев систем автоматического управления и )егулировапия различаются по виду их передаточной рупкции (или дифференциального уравнения), определявшей все их динамические свойства и характеристики. )ти формулы представляют собой известные преобразования Фурье.
Как видим, все рассмотренные виды динамических гарактеристик звеньев (передаточная функция, дифференциальное уравнение, весовая функция, переходная рункция, амплитудно-фазовая частотная характеристика) :вязаны между собой определенными зависимостями. Позтому все опи эквивалентны друг другу в определении динамических свойств звона системы управления. (1Л5) Рвс.
1.12 В данном параграфе изучим свойства основных типов юэвционных звеньев. Идеальное усилительное (безынерционное) звено. Уравнение и передаточная функция звена: хз = йсхь И'(з) = йь Основные типы звеньев делятся на три группы: позиционные, дифференцирующие и интегрирующие. Позиционными звеньями называются такие, в передаточной функции которых Ус Ж(з) И (з) (1ЛЗ) многочлены У(з)' и Е(з)' имегот свободные члены (равные 1), т. е. эти звенья обладают статической характеристикой хз =)ссхс (при э=О), определяющей их установивпгееся состояние (свойство поаиционности).
У дифЯерессцирующих звеньев в выражении (1ЛЗ) отсутствует свободный член числителя, т. е. для однократяо дифференцирующего авена передаточная функция сс Вссс (б) Ь (з) (1.14) где )с"с(з) имеет свободный член, равный 1. Для двукратно дифференцирующего звена А РФ (с) Передаточные функции интегрирующих звеньев имеют соответственно вид ус )(с(8) ус Ф(з) Ит(з) — ' или з г(з) 8 й (Б) (1.16) где Ес(з) имеет свободный член, равный 1, как и Дс(з).
Знание характеристик типовых звеньев столь же необходимо для расчетов систем управления, как знание таблицы умножения в арифметике. Амплитудно-фазовая частотная характеристика (рис. тЛ2): И'(ув) Усн А (а) = 1сн ~р(в) = О. Переходная и весовая функции: Иу) = А ( О) А(1) = Ус,б(1)- Примерами таких безынерционньгх звеньев могут лужить жесткие механические и гидравлические переданц злектронпый усилитель сигналов па низких частотах, гироскоп и некоторые другие измерительные датчики. Ю= Т, Рис. 1.14 Рис, 1.13 Апериодическое (инерционное) звено.
Уравнение и передаточная функция звена: йг (Т,р+ 1)иа — — 1с т„И'(з) = Амплитудно-фазовая частотная характеристика авена (рис. 1ЛЗ) имеет вид полуокружности и описывается выражениями ус И'(ув) = ', И'(уа) = 1У(а) + ур(в), л л,т,а Г(а) = —,', У(а) —— т',в'+1' Ттав + 1 Амплитудная и ф азов ая частотные характеристики соответственно будут (рис. тЛА): й А(а) = ', ср(а) = — агс1дТ в. )1Таа +1 йг Ис = Ряс. 4Л5 Переходная функция, согласно ~вена, при я~ — — $(г) и пулевых имеет вид решению уравнения начальных условиях Ь(1)=й, 1 — е 8)0, а весовая функция ль л т Эбе они изображены на рис.
1Л6. Логарифмическая амплитудная частотная характери. ".тика звена имеет вид Бш(а) 201яА(ы) = 201ий — 2016 )/ Т,'ыз+ 1, Зта характеристика обладает асимптотами: а) при ы — 0: 1 ш(в) - 20 1я йь б) при в- к Хзп(в)- 201670 — 20)яТпе. Последняя будет наклонной прямой с наклоном — 20 дБ/дек, а первая — горизонтальная прямая 1 (рис. 1Л5). Пересекаются они в точке ы = —. Сама т; 11ЛХ (пунктир на рис. 1Л5) близка к зтим асимптотам. 1 Наибольшее ее отклонение будет в точке а= —, а именно: Т1 Л = 201д й, — (20 1я й, — 20 1Д/ Т',аз + 1) = 3,03 дБ.
В инженерных расчетах такой разницей пренебрегают а считают, что логарифмическая амплитудная частотная характеристика апериодического звена имеет вид ломаной, состоящей из двух прямых, показанных на рис. 1Л5. Видно, что чем меньше постоянная времени авена Ть тем больший диапазон частот (О < ы < а,) входного сигнала «пропускает» звено с усилением, так как (см. рис. 1Л5) Постоянная времени Т~ определяет наклон касательной в начале кривой (рис. 1.16). Следовательно, величина Т~ характериаует степень инерционности авена, г. е. длительности переходного процесса. Практически 0 1 Рвс.
1.16 Рвс. 1.17 с точностью до 5 % переходный процесс считается затухпжм эа время 8, ЗТь (ХЛ7) Примером апериодического звена является (в первом приблия1ении) электродвигатель, если я~ — управляющее напряжение, яз -- угловая скорость вала. Другой пример — цепочка ЬЛ (рис. 1Л7), в которой я~ — входное напряжение и, а хз — ток в цепи й Апериодическое звено второго порядка.
Уравнение и передаточная функция звена имеют вид (Т,'р' + Тьр + 4) х, = йгзм И'(з) = ~ъ$+Г а+ 1 причем предполагается, что Т~ ~ 2Тм так как при этом корни характеристического уравнении т, ~ )/т,' — ~~,' Лп,=— 2Т~ будут вещественными. Передаточную функцию апериодического звена второго порядка, разложив анаменатель на СОМПОЯ4нтеЛи, можно записать в вИДе а (т, +1)(т, +1)4 где ° Гтг 4,4 — 2 — ~/ 1 а. Амплитудно-фазовая частотная характеристика (рис. 1.18 и 1А9) авена: а (тагв+ 1) (т,1в+ 1) ' А()= г о; «.о(т~-;о 49 (а) = — агой Т в — агой Т4в. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика звена: 1зп(в) = 201яА(в) = = 201дй, — 2018 )/ Т~в~+ 1 — 20)д~/ Т'вы+ 1, Истинная характеристика близка к ломаной линии (рис.
1.20), которая и применяется в инженерных расчетах. Она получена следу1ощим образом. Первые два 4~Д' Рис. 1.18 Рив 1.19 ;лагаемые дают результат, покааанный на рис. 1А5. Гретье же слагаемое добавляет еще наклон — 20 дП/дек, 1 тачиная с частоты в= —. Там же (рис.
1.20) показана х логарифмическая фазовая характеристика ~р(в). В граничном случае, когда Т~ 2Тз, имеем Тз = Тз и все три отмеченные на осях абсцисс характерные точки совпадают в одну. Если же Т~ (2Ть звено переходит в колебательное (см. ниже). Поэтому постоянная Ть определяющая инерциопность звена, является в то ясе время демпфирующим фактором (увеличение Т1 приводит Рис.
1.21 Рис. 1.зс к отсутствию колебаний). Переходная и весовая функции апериодического звена 2-го порядка, получаемые аналогично предыдущему, имеют вид (рис. 1.21): з~ з з з з Ф з) з з Примерами такого авена являются двигатель постоянного тока при учете инерционности цепи якоря, электромашинный усилитель, двойная цепочка Ш Колебательное звено. Уравнение авена имеет вид (ТззРз + Т,Р + 1) х, = й,хз, причем предполагается Т, <2Т,, так что корпи характеристического уравнения — комплексные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
