Солодовников (950639), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Следовательно, 5,(в) и в этом случае пред..'' ставляет собой четнуго функцию. Таким образом, функция ,' 5,(в), если она является дробно-рациональной, всегда мо»кет." быть представлена в виде в Ь,+Ь,в'+ .. +Ьив'" 5'г ( ) г тг (10.45(': а, + а в'+ .. -1. а в г В отличие от 5 (в) функция 5гя(га) является четной от е»',''.'" лишь при отсутствии корреляции между полезным сигналом и;:;; помехой, когда 5 .(о») =5.„(в) =0 и 5 (в) =5 (в) .
Согласно (10.42) и (10.45), для вспомогательной функций. Ч'()в) получим ри 1)) (в )г» ' ' ' (е) уи) Чг(у'в) =- с = " ( — л,) (е — л,) ... ( — х,) (в+ у)) (в+Тг) ° -. (в+ ум) (ув) =" (-+».',) (-.-,,)... (-+)."т) где с„=- '~' Вила,, Итак, алгоритм вычисления оптимальной переда~очной функции закан'!;-)т) чается в следующем.
1-й шаг. Производят факторизацию спектральной плотности Б (в) =)ф(!' )!'=ф(!в)ч" Ов) 2.й шаг. Определяют спектральную плотность 3 ч(и) ) = Б (в) + Б„(в), где отсутствует взаимная корреляция между т(!) и и(!). З-й шаг. Вычисляют интеграл Р(1)=2-1 „: (у ) е' 300 ' г„В ачисаяют интеграл ч) функц.и Н.(') рафик корреляционной (в) представим интеграл о е -) )т)( —.. '1 Ь'е 1"+дз» г»т ,),'-".~''" рис, 10.16. Г Для определения В -'::~ъ(.)=- 7 "-" Ь' Ьг Фурье в виде сумм (а — /м»т ! с 2Ь'а г) гвг. в+,)в а — l )боткино получим 1())в (в) = 1 г .
„-",'~фадее процесс р из следующих операций. сшсния задачи Винера состоит ;(у )==(Р() с отбрасывают (не принимают во инимание) пули и полюсы Ч (1 ), 11)нанеся в нижней полуплоскости, так как нас интересует лишь а( ) > . РА 0 "й шаг. Вычисляют оптимальную передаточную фу)жцию В (!в) ;"„(у )=-,—,„— „,. "й шаг. Вычисляют минимальную средиеквадрагичсск»ю оншбку 1 ..Й!с=2 г 1 (~а)( ) ! Ь (гв) 1 ~т( )) :лп необходимо определить оптимальную импульсную переходную ' В йгя)(!), то вычисляют интеграл ,4()=-г (» Ф(/в) ети'г( .
2п,, Ъ усть корреляционная функция полезного сигнала т(!) задана выра- „м )Гм(т) =-а'е-!', помехи — выражением Я (г) =Ьге-"!'!; помеха и по- сигнал не коррелированы, Ф„(!в)=1, т. е. должна быть решена ' ' оптимальной фильтрации (или сглаживания). режде всего необходимо по известным )г (г) и )) (т) вычислять й)и 3 (е)). График функции )1„(т) показан на рис. !0.16. )г- 301 1 Вычислим Ло(в) 5 (в)+Во(в), а та ке р( ) н ф*( ). З (е)= — -э, 2ал 2ал«х (»л уле« э =1+в«а«+во (! ! в«)(аа+ л). где 6«=2алал+2йза, у«=.2а«+26»а.
Для вычисления ф(ув) и фо (/в) разложим на комплексно-сопряжв, множители 8,(в): е««име« В (в)= Ур Уе+У() ',( )=(в у)(в-уа)'(в+у)(в+ум) Отсюда «() ув + з'() фэ(ув) — + )( >+ум). В,г»»слг»м наливную спектральну«» плотиост ич зова Зао (е) б й формулы (10.32) и опРепелпм В(l~)= э(?в Поскольку т(1) и и (!) не коррелироваяы, 3«,(в) =В „()в)3 (в); 2а' В (в)= — 1. но ! +во 2а' (в+ /) (е+ ха) 2а' (в+ ха) П+ в') (у '+у()) (в — /НА»+ЛО 3. Определим функцию Во(/е). Ее можно вычислить: а) определение»« функции ! р Ь (1) = — ) В (в) е?эг «Гв.
2н,) а затем обратным преобразованием В+( Уе) = ~ й(1) е '"' а(; б) разложением В(!в) на слагаемые с неопределеинымн ноэффицпеогз '-::,, ми и вычислением этих коэффициентов: В (/е) = — + А, А, в — у (у«в+ г'р)' Алую+ А,у))+ А,в — А«1=2а' (в+ /а)- ум««оженнел«полученного уравнения на ! и выделением членов при рзз' ных степенях !в получим дза алгебра~воопиик уравнения: А,"1-(-А»=2а', А«()+А»=2аза. Откуда 2а' (1+а) (у ч- 6) 2а'(1 ~-а) 1 В'~")= (у- р) 4. Выписи»»м частотную характернстику оптимальной системы согласи о формуле (!0.26): в+(у ) (л )= 'р(уе) ' кй 2а' (1+ а) 1 (в — /) (о» вЂ” г'а) (у+ (у) (о» вЂ” у) (Тв Уй 2а' (1+а) (/в) + а (у+(») у(г' )!-(у ' "'.Случаях, когда задава неизменяемая часть в»стемы, после вычис"",ФОв) необходимо провести синтез корректирующего устройства.
Прв ::!;-Ф()в) считаетси желаемой характеристикой и синтез прово«»ят обыч':.йцособом. ,.'осмотрим еще один пример. Предположим, что полезный сигнал "-;:'4рлис. 10.17) сохраняет постоянное абсолютное значение и н что сред- перемен его знака в единицу времени раз»ю щ (а) «у "!)«л мД? оэ суоэ) Рис. 10.17. Расчетная схема системы » — эталонная; 3 — эксиерииеитзль«иао . актральная плотность 5м(в) такого сигнала имеет вид 2а'р (в( )= е'+4 ' ' )л ве помехи возьмем белый шум, т. е. предположим, что .(в) « (10.46) ' в для просветы коэффициенты а и и так, чтобы можно бь»ло на- (!0Л?) (')«" 1+ с'+ усв) ( р'1+ с' — усв) "в(в)= (1+?в)(1-ув! ')«1+с'+7'св ;;у Дв)= , вательно 1 (в)= + ! передаточную функцию„обеспечивающую наилучшее в смысле ми,'н среднеквадратической ошибки иоспронзиедеине сигнала нл(!).
жив (10.46) и (10.4?), получим 1 ! -1-с'+ с'в* .«и: (в)= — + с'= "::;дг е'+1 ' ! т-вл в ( ) ( ~в) Чч(«в) (1» «в)(1--Уз») (у 1-+ —,' усв) 1 (1 л /в) ()Г 1 Ч ст — уев) 14о 1 (1».уь») ()' 1 ) с' — /св) с»- 'у! ! с" (1 1 «в )Г1 +па — угв / Огбросив второй член в скобках, соотвстсгвующ»»й полюсу в нижней г»»»»»у,"~~ плоскости, нзйллг и 1 1 «Л» («гз)=..
с 1- )»~1-Ьс' (1.» /в) и, следовательно, !)» (/в) 1 »р (гв) — г Ч'(/в) (с-)-),'!+с») ()Г!+с»+уев) 10.9. Синтез систем с минимальной среднеквадратическон и нулевой или заданной динамической ошибками. Постановка задачи Предположим, что на вход системы поданы управляклцеат! д(1) и возмущающее и(«) воздействия. Управляющее воздсйст.,"! вие является суммой двух составляющих: д(«) =а («) + («), где й(«) — функция времени, заданная своим аналитическим,"- выражением.
Для простоты предполагаем, что г а («)'-- л~~~ лс«" г-з т. е. имеет вид полинома с известными значениями коэффици":::! ентов й„а лг(«) — стационарный случайный сигнал с заданно .;:;,".,: Й:! корреляционной функцией ««(и) или спектральной плотностьйг:-'; 5 (го) (рис. !0.18). Возмущающее воздействие (помеха) и(«) также предпола",';:»'; гается стационарной случайной функцией времени с задапио .-;" ой К ) Рис. 10.13.
Постановка задачи синтеза системы с миии- малыюй среднеквадратической ошибкой (СКО) 304 "" яционной функцией ««(т) или спектральной плотностью '')2 Будсм считать, что функции пт(«) в и(«) взаимно не кор':'Ованы. Обозначим величину на выходе системы через ':(а ее импульсную переходную функцию через й(«). Проди, что '',~«) =0, «<0-, (10.48) -««)=0, (~т . (10.49) ')мженлле (!0.48) представляет собой условие физической осу' имости, а выражение (!0.49) — условие качества', соглас""''орому время переходного процесса, вызванного управля- М воздействием в виде ступенчатой функции, не должно ' шать зна*ления Т. :редположим, что величина д(«) на входе должны быть разовапа в соответствии с некоторым оператором Н(Р).
'::,:требуемый закон преобразования можно было бы осуще" ', идеально точно, то величину й(«) на выходе можно опить соотношением "«)=Н(Р)дЯ=Р(«) (10,50) ~»«)=- ) д(« — т)х(«) с«т, М) =- — ~ Н («~) едм с«в. "ств!лтельности на выходе мы будем иметь величину х(«), ''(«) . ,впитывая (!0.48) и (10.49) для х(«) на выходе, можно на- (10.51) »~„:Зтелоиие (10.49) опюсится не к импульсной перехолной функции. очевидна. что если оно имеет место, то переходный процесс завоп,, и течение времени Т и в случае иоздействия в виде ступенчатой ,:,-н 20 — 3591 , «) =- т !в" (« — т)+т(« — т)+п(« — тЯ А (т) с«т. ку е(«) преобразования управляющего возделлствпя полез- ,.!сигнала д(«) '(«) =-Ь(!) — х(«) =Н(Р)дЯ вЂ” и(«) ,,4!О представить в виде двух составляющих: Ц,несзлучайной, или динамической, т 'и('«) =- ««(Р) и («) — т 8 («.— ) й (т) г«т; з 2) случайной (10.54),',- где г )!,=-~т'А(т)г(т, т=1,2, ..., г.
— г. (10.55):" Т ) р д яет значения первых г+1 момен-',, ождество (10.54) оп е еляе ов !ха, ц!,..., р оптимальной импульсной переходной ф пк! ия эти моменты, личинами. о енты, определяемые тождеством (10.54) ом . ), заданными ве-,„' Таким образом, тождество (10.54) накладывает г+1 ограни-'., ченных условий на импульсную переходную фуч!кцию. Т ак, на-. Н(р) =р и й(!) =-пр(!) =у(!), Я ( ) !тк( ) — р!й(г) ( 1 ( 1)грг или !!о=О, г !!! = Т тй (т) с(т= — 1 о У !ь=О.
Точно так же, если й (() =д(! — г ), г (Р) !п(г) — 1[?п(? — т)+и(? т)) ь(т),(т Ъ 52) '. Потребуем, чтобы неслучайная ошибка а 1, оп е (10.51), равнялась у ю: вл (!) — О. Тогда, разлагая в выражении (10.'1) ф (10 ' .о ункцию д(1 — т) в ря! ~! ( 0.3) ",' к(? — )=й(?) — з И)+йТй(?) — ° ° +( — 1)' — й!'!(?) гр и учитывая тождество (10.53), получим ?У(р) а'(~)= — !хс~Н) — !!!~Р)+ — "'~ —— 2! 1 ( 1)г !" дг(г) (ф) ф(~-~а)е— а РЮ'() — ~'!з'()+ . +( ~е „(?) ) ( 1)г " й(0 (т), "'овательно, г ==~ л(т) г(т=1.
о =- ~ тй (т) сУт = го о т = ~ т'А (т) д~ = ?с'. о становку задачи можно сформулировать следующим обф ' заданным корреляционным функциям ?? (т), ??. (т) ста"'арной случайной составляющей пт(1) полезного сигнала .:,::;,'и стационарной помехи п(1) найти импульсную переход":;функцию й(!), удовлетворяющую условиям (10.48), (10.49) '-',;;:чтобы среднеквадратичная случайная ошибка а„(!), опреая формулой (10.52), имела минимальное значение. Это 'нне совместимо с условием (10.53) или вытекающим из ,(условием равенства нулю динамической ошибки ах(1) ,разования составляющей и(!) полезного сигнала у(1) в ;, етствии с законом преобразования (10.50) и выражением ).
Другими слонами, — найти импульсную переходную ию А(!), обеспечивающую условный минимум дисперсии ; ки преобразования при равенстве нулю математического .дания д(!) полезного сигнала. Контро.чьные вопросы !Ф'. Как ставится задача определения динамической точности :.;,.Дайте определение стационарного случайного процесса. .„. Что такое корреляционная функция? Каковы ее основные ва? ,,'-'Как определить корреляционную функцию по экспериальным данным? ";Е Что такое функция спектральной плотности? Приведите еры функции спектральной плотности случайного сигнала. ;;:;-'Как связаны спектральные плотности и корреляционные и на входе и выходе линейной динамической системы? 7. Сформулируйте задачу синтеза оптимальных передато, ных функций следящих систем, находящихся под влиянием сл, ",::.
чайных воздействий. В. Назовите основные этапы решения задачи Винера. И. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ОБЪЕКТОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ Исходными даннымн для расчета и проектирования САР н .,'> САУ являются динамические свойства объектов (математич, ские модели), которые описывают дифференциальными ьи>и интегральными уравнениями. Однако математические модели:.".,--,' объектов регулирования проектировщику бывают известны лппп,;,.'.",: частично. Поэтому приходится прибегать к экспериментальным."'" исследованиям для определения динамики объектов регуги»>о.,"о» ванна.
Эту проблему называют проблемой идентификации. В некоторых случаях вообще отсутствует какая-либо апри-'":...',' орная информация об объекте, поэтому структура его матема.":,,' тической модели должна быть определена из эксперимента,',:: Однако почти всегда для модели требуется оценка некоторых"::,':, неизвестных параметров, основанных на экспериментальных:,:;, данных. Итак, идентификация — это определение математической мо-::;.'-, дели объекта, или, точнее, — определение оптимальной оценки:;; Ао истинного оператора реального объекта А из заданного",::.''- класса операторов по входным и выходным переменным этого':."'! объекта. Если в задаче анализа определяют выходную переменную':~.
уЯ по заданному входу иЩ, т. е. у(1) =Аи(>), то идентификация является обратной задачей, когда требуется:,'; найти оператор А ', обратный оператору А: и(>) =А >у(1). Ее решение состоит из следующих этапов: а) выбор метода идентпфнкации, исходя из априорных сведений О свойствах,". объекта и конкретных условий его работы; б) выбор воздейст-".':;> вий, при которых следует ставить эксперимент; в) выбор спо хг; соба обработки экспериментальных данных.„г) оценка точности,',,', Задачу идентификации решают в широком н узком смысле~ в зависимости от имеющегося объема априорной информапии.;.,' о системе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
