Солодовников (950639), страница 47
Текст из файла (страница 47)
'""няем ряд несложных преобразований функции Н(х,2р, и): др ,,[Х.ф П)=Х~ф! — дх)Л(Х П)= ! 1 '.;:,,'Д ~2)! — р) Л (х)+фф! ) 1' с(! и = [ф! — д— „, ) Л (х) ~~)',! в!(ф! — д — „) АГ ', !.а ' 1-! 2-! '-':выполнении преобразований, в силу ф!=, 2ро 1! = — . = — 1, ,вем 2ро(1) = 1. ;-.На основании принципа максимума при введенных ограях оптимальное управление конечным состоянием для ',й, системы определяют выражением дф~ ф) =-- М1 зДп ~~~~ ~ф! — д — 1 с(2п 1 = 1, 2, ..., лт.
! ! дх! , кнм образом, управление и2(1) является кусочно-постоянкцией. -,' 'имальная функция переключения л ., уй==-.')',(ф — Д) 12! ! 1 " системы быть вычислена после решения гамильтоновой ..'Наний при заданных граничных условиях. ача управления иа минимум расхода эн р не гии. Это — за:,Ьптимального управления, имеющая большое р п актическое ,.„,йцие. Расход энергии, затраченной на управление, пропор,, лен интегралу по времени от квадрата управляющего возхо энергии по всем входам брать с одинаНя. сслн расход э к попал,9.7, можно , ми весовыми коэффициентами, то функционал ' ть в виде « )~;ом )а д Юрс л -Атее ' 916 Схем д/ — 2 .~ и1 (') л/хо 1 /лз ченияы форму- с англ.
тр лиг., где 269 Гс /=-Я;)',;(1) (й, о /-! где 1/2 — коэффициент, введенный для удобства последу!о выкладок. ц(а~;: Система, описываемая дифференциальными уравнена„„,::.,':. ~-го порядка: иящ.. с/х! члт 'кт — = ~, а цх + л Ь,/и/. 1 = 1, и. (9.70)'"', / ! /=! Рассмотрим два случая определения оптимального управлений по расходу энергии на управление: 1-й, когда на вектор управ,:,' ления не накладывается ограничений; 2-й, когда управля!о!ц '",'.
воздействия подчиняются ограничениям вида 1и!(1) ((М!(М!)О), 1=1, и. Введем новую координату !, /со И) = 2 ~ и/ (/) ///. Соответствующее этой координате диффзуач:(налью' ура ! и ние / ! пРи гРаничных Условиах хоРа) =О, хо(1 ) =/. Функция Га * . ь'-:"„ тона для этой системы имеет вид (9.70) т и в п т Н(х, тР, и) = фо-; ~' и/2-(-,«' ф! «Р~а!х + „~' ф, ~' Ь, и /-! л-! /-! л-! /-! Меняем порядок суммирования в последней группе слагаемых;,' и полагаем, как и про:кде, что т«!о= — 1. д и и т о т Н(х, тр, п)=лр;ф, ~~, +ч«и ~'тр,Ь,/ .. 1 '«'и,д, (971): !-! /-! /=! .с/ !-й сл чай. На кт функции Гамильтона (9.71 у . вектор и(1) ие накладывается ограничений Максииуи::":.л необха имаго " о (9.71) относительно и может быть найден иа асноааияа'~~( д усп вня экстремума функции из классического анализа до(х.
ф, и) дп Днфференцнруем по и/: С/(1) — и,(1)=0, /=1, л, тй! (1) О!/. !.=1 езптимальное управление С,(1), 1.=-1, л ',:)случай. Управляющие воздействия подчиняются ограииченила: '/(1)1(Мь (М/>О), 1=-1, т. )его случая ясно, что если (С!(1)((Мо то функция Гамильтона 'максимальна при и,(1) =-С;(1). С другой стороны, для таких 1, для ко,*:«С!(1) (>Мо с учетом ограничения на (/;(1) функция Гамильтона мак, если 'Гй) =М,зип С,(1).
(9.72) ""заключаем, что оптимальное управление (9.72) может быть записано С/(1), )С/(1))<М/; ,ЗИ1~=«М/зйй С, (1). )С/(1))>М/. делении С;(1) необходимо решить сисгему уравнений Галлильтана. а САР с управлением по минимуму расхода энергии / — сопражевваа система; 2 — управвающее ущроастао; 8 — объект ""'ему, реализующую управление по минимуму расхода , схематично можно представить в виде блок-схемы (рис.
"",-',.$сли начальное состояние сопряженной системы опреде„'-.:Ф~ нахождение последующих векторов ясно нз схемы, :-,."'::;:;у 9.8. Формулировка и классификация методов математического программирования :ать / — целевая функция вектора х переменных и„ ,„и/Необходимо, чтобы вектор х удовлетворял ограни ':равенств ' (х!)=О, 1=1, 2,..., д, /мкторной форме , (/х)=0 с ,. ачу математического программирования можно с '!"$ис! Беллмаи Р. Динамическое программирование / Пер. .:~2)идреевой н дрл Под ред.
Н, Н. Воробьева, М.: Изд-во инос ;;-,469 к лировать следующим образом; найти экстремум функции (фу„:!,, ционала) 7(х) при условии Уйс(., 6! (х)~)0; 6з(х) =О, или, кратко, найти ех(г(Х(х); 6с(х))0; 6з(х) =О). Если вместо определения экстремума функции У(х) ограи,'' читься, например, определением ее минимума, то задача ие,.!-, ряет общности, так как минимизация функции ((х) эквивален",.-:: ' те!2 на максилгнзацин функции 7(х). Это же замечание сс!раведлиц[-,. и для ограничений.
Действительно, если например, заданы ограничения 6,«(х)(0, то, определив множество функций 6«= — 6сс, вновь получим ограничения в виде неравенств. Если 7(х), 6с(х) и 6з(х) являются линейными функцияц« от х, то задача математического программирования формулу руется как задача линейного программирования, т. е. 7 (х) ==,)' с,х, = стх Если целевая функция квадратичная, в то время как все огр, ничения линейны, то имеем задачу квадратичного программи ", ванна, для которой У (х„..., х«)= )' ссх,+ ~' хсо[с)х) (9.7', ! ! !«7 ! 270 или 7 (х) =с'х-]-хт0х. В фоРмУле (9.74) чеРез о[с! обозначены элементы симыет!)зв";~ ной (так как х,х,=х,х! матрицы [) размерностью (пХп) « К нелинейному программированию относят те задачи, в к~~! торых целевая функция нелинейна и (или) имеется по крайя .:*' мере одно нелинейное ограничение на переменные х,.
Задачи линейного программирования, описываемые выра~ -':,; нием (9.73), в которых переменные принимают лишь днскрет целочисленные значения, относят к целочисленному прогрзм".,':,!; рованию. Если параметры, входящие в ограничения или в целен лучааг] функцию, являются случайными переменными„то в этом слу приходим к задачам стохастического программирования. г~,', Сведение задачи оптимального управления к задаче математического программирования и сведения задачи оптимального управления к задаче ма ;-"-' ческого программирования прежде всего рассмотрим и- 'гл' входящий в критерий оптимального управления ( . ).
сс9.З). л« "'иг!теграл можно представить как предел суммы , Р (х (г), и (г); 71 с[7 ==- Вт ,'~~ Р (х (г, ), и (г, ); г,ч) (7, — г,,), Л с(]сзл«я каждого нз интервалов (с — 1, при с=[,..., У выбра"'которое значение (, удовлетворяющее условию ; 1'~1 з«"7 ференцизльные уравнения состояния при тикай дискретиззцин по примут вид — [х (1!) — х (г! )]=У [х(сс,), н (сс-!), сс,]. Ь! г)й=(! — Ц-ь с=1, 2, ..., йС; Д«-«-со "алогично можно записать огрзиичеиия (9.4) в виде фс(1!), п(с!)])0; я[!с(1!), и(0)] =О, 1=0, 1,..., Ж.
як!виня г'„(х„) «О нз конце интервале и второй цзен )с«(х«) в вираже;3) являются функциями только одной части в пространстве состоя;с)спитому остаются неизменными. , ' и образом, задача оптимзльиого управления сводится к следую, -' ''аче математического программирования. Найти экстремум вырзжецш ~ч", Р [х («о) н (!со). (сч] (с! — Сс+!) + Г'«[х (С«)]) и ««! + оржоогего условиям [х(С!) — х (1! «)]=у [х(гс-с), н (с! — «), сс-с], ,'у"=«,'«Г! — с! с! ! 1, 2,..., )У; ДС вЂ” »со (9.75) .«(х(гз)] )О чии ограничений [Х(1!), н(Сс)])0; бз[х(С!), н(1!)] = 'Ям(«6, 1, ..., ДС; йС вЂ” «-со, дача„аписывземзя системой уравнений и неравенств (9.75), отличает обычной задачи математического прогрзммировзиия лишь тем, по 9«сб)ержит бесконечное, а не конечное число переменных. ,.Ф.-'10.
Формулировка задачи оптимального управления в дискретной форме я решения задачи оптимального управления на ЭВМ ее .:.'... димо привести к дискретной форме. Разделим весь вре- 271 менной интервал [Ео, 1,1 на У в общем случае неодинаковых аско тервалов и т~= — Е; — Ео..о, с=1. 2, ., У, Х т,= — Т=Ек — Ео г-с Часто Т, а также все т; заранее неизвестны. Критерий опт мального управления типа (9.3) примет вид суммы чтя,, м Х =.
„У~ Р (х(с), и(с' — 1); «Д т,+ Ем (х(Л')). При этом каждую (скалярную) составляюсцую х;, и~ с рассмас . ривают для каждого дискретного момента времени Е, как ос:,'. дельную переменную. Таким образом, общее число переменки,'."" равно У(п+т+1,) где У вЂ” число рассматриваемых момента~"., времени; и, т — размерности векторов состояния и управленяя",-, соответственно. Естественно, что уравнения состояния должны удовлетзо','' ряться в любой момент времени. Если решение уравнений с~' стояния в аналитической форме не известно, что имеет место "* большинстве задач, то необходимо произвести их численн " интегрирование. Для этого уравнения состояния (9.!) дискрст ' зируют и записывают в виде разностных уравнений: х(с+1) — х(с) =т,+Ях(Е), и(Е); Е;); 1=0, 1,, Л' — 1.
(9.76,; Уравнения (9.76) можно рассматривать как пУ ограничений',' виде равенств, которые, однако, вследствие дискретизации я„ ляются приближенными. Заметим„что уравнения (9.76) полую! ны при помощи достаточно простого подхода. Применяя бол совершенные разностные схемы, можно улучшить точность ро.", щения. Итак, задача оптимального управления может быть сфориу;,' лирована следующим образом. Найти экстремум выражена~. Е м ех1г ~ ~', с=(х(Е), и(с — 1); Е,)т,+счл(х(АЕ))~ ~-! нри ограничениях на переменные состояния х н управления я.':; Г,1х(У)))0; 6Дх(Е), и(с); ЕД)0; бс[х(Е), и(с); Ео)=-0, с=1, ..., Ь', если известно, что переменные состояния удовлетворяют следу::-- ющим уравнениям: х(Е+1) — х(с)=т,+~Дх(Е), и(Е)", Е); с'=О, 1, ..., У вЂ” 1.
Рассмотрим применение метода математического прог1о~-:::::;.: мирования в случае непрерывных линейных систем, Предпол«„'",. жим, что объект управления можно описать системой линейя дифференциальных уравнений и-го порядка: :3 х=Ах+ Ви, (9 77);:„ где матрицы А и В стационарные. критерий оптимального управления можно представить 'и:линейной нлн квадратичной формы (9.25). "',анне уравнений состояния (9.77) можно представить в ой форме: , «»=- Ф (Е, Е,) х (0) + ~ Ф (Е, с) Ви (с) с« с, о («, т) — (пр,т)-мерная псрсходная матрица состояния. '' сходя к дискретному времени, получим для интервала '" и между моментами Ео ~ и Е; выражение ' "»==Ф (Ее, Ее,) х(« — 1)-! Ф(«7 „т) Ви(« — 1) с«т, /---1, ..., Ю.
Е .;:«Е, линейных систем ."ф',, еы (9.78) '«Е)о Е,,)-=Ф(ЕŠ— ЕЕ,) =- Е 07 Ч- '= =Е"'Е. ' "'еиия (9.78) можно теперь переписать в ниде ограничиравенств: ) ос!х(7 — 1) — ~ еосЧ вЂ” ' '1Ви(/ — 1) с(т — -О, (9.79) .' 1. ° ЛЕ. ;:учесть, что размерность вектора х равна и, то уравнения , образуют систему из пУ ограничивающих равенств, Век;Π— 1) предполагается постоянным в интервале ,~~2«(Ее к, задача линейного оптимального управления в терми...йтематического программирования может быть сформули- ,~: следусощнм образом. Найти экстремум критерия Л )' Р(х(«), и(« —" Ф~ловни, что переменные управления и переменные состоявлетворяют ограничениям в виде неравенств — ~и,~~)0„1=1, ..., т; (оос — 1х;~= О, с=1,..., и, Т,(х(У)»-оО, исконные состояния х удовлетворяют равенствам 272 13 †35 273 Ч х(!) — е"Чх(7 — 1) — ~ е""1- ВВц(7' — 1)Их==0, гй 7 — 1,....Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
