Солодовников (950639), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Интегрируя уравнение (9.45), получим г иг (1 =Кз х(г +~ Кг х(1 от+и (гг) — Кз х(т,). 1' 946)!; 254 1))4 авнения (9.46) видно, что оптимальное регулирование реализовано -регулятора. Таким образом, схема оптимального регулятора имеет '" 'аааивый иа рнс. 9.7 яли рнс. 9.8. 'чяматривая расширенную систему (9.42) как первоначальную и при"*-~::ту же процедуру, можно получить решение задачи оптимального ре""зания при наличии вторых производных ог управления и. 9.7.
Понятие о принципе максимума .'тгинцнп максимума может рассматриваться как обобшеКглассичсского вариационного исчисления на случай, когда яюшие воздействия н (7) принадлежат к замкнутому '.ботву, т. е, их значения ограничены опредслспнымн преи, что всегда имеет место на практике. Винцип максимума дает изяшпый способ решения задачи заминированного оптимального управления. Он позволяет 'ог' в общем случае найти нсобходимые условия оптимума, (йтггдельных случаях — необходимые и достаточные условия, 414апример в задачах с квадратичным критерием и линей")уравнспиями объекта.
Однако использование этого прин"::,:::так же как и вариационпых методов, затруднено реше"":.;двухточечных краевых задач. Кроме того, он не поэзо"„'::;,определить оптимальное управление как функцию п(х) "сивых состояния и поэтому остается открытым вопрос о ''ации системы управления как замкнутой системы с об- ,4)й связью. "Вицин максимума Понтрягина. Ранее была рассмотрена ' з Лагранжа и сформулировано необходимое условие оп''ьиости.
Опо состоит в том, что оптимальное управление „,"о быль стационарной точкой функции Гамильтона (9.14), . довлетворять векторному уравнению — О. ,'иное предположение, сделанное при решении задачи Ла,..аг состояло в том, что управление может прнзадлежать '-:пространству 1), т. е. на управление не налагалось ни.:;;ограничений. В практических задачах, однако, нсобхо,,условия, определенные ранее, естественно„ не пригодны. ;;::., ласно теореме Понтрягина, получившей название ,„Вцип максимума», оптимальное управление должно обес'ть функции Гамильтона максимальное значение.
.м.,йдем понятие допустимого управления. Вектор управлечбудет допустимым, если каждая его компонента ':,' '-1=1, 2,..., пг является ограниченной кусочно-непрерыв,:;;,"'ФУнкцией, такой, что ц(1)61) для всех 1, 1,(7(1,. Началь,!-:")аомент времени 1, предполагают фиксированным, а ко- ,, Й 1, может быть как фиксированным, так и нефиксиром.
266 Чтобы проиллюстрировать понятие допустимого управлсс,„...',,' рассмотрим систему с двумя управляющими входами п,(с) !'.;« ня « п«(1), на которые наложено ограничение Ис (и, (1) ]'+(и, (1) ) «(М,', 1,(1(1ь где Мп некоторая положительная константа. Множество (), т.
е. иь и„ ..., и„, состоит нз внутренней,, сти и границы круга радиусом М„(рис. 9.8). В данном слу! -'',:,« управляющий вектор на плоссса.:".« их сти ссс, ссс может иметь любое н .:, правление, но его значение асрд.-'. ннчсно Мп. Таким образом, у' «. с!«и равление п(1) как функции! вр'"„,':! мани 1 будем искать в клас~Ф кусочно-непрерывных функцн«Е «77 Единственное затруднснн":,м которое возникает по сравнсщ ' с задачей Лагранжа, заключас. " в появлении нового условия дз,'.:: пустимасти управлений.
В связ с этом допустимые варнацнх« рис. з.з. Оаласть допустимого управления должны удовлстзб' упраплпппя рять уравнению '1 н=й+бп пС() (9.474! т. е. вариации управления не могут быть произвольными, ов должны удовлетворять заданным ограничениям. Если х, и реализуют минимум 1(х,п), то необходимо, «76',, бы вариации (9.15) функционала (9.7) были неотрицательнгК 61(х, й, бх, бп) )О для любых допустимых вариаций бх, бп. Постановка задачи. Сформулируем задачу оптималы«асс~' управления в виде, удобном для последующего изложсннп,;; принципа максимума и его приложений, а также уточним рк)з понятий и определений. Пусть состояние управляемой системы характернзустс~~;:, и-мерным вектором состояния х(1).
Целенаправленное воз!!ей";:, отвис на процесс можно осуществлять с помощью лс-мерна~'- вектора управления п(1). На векторы управлении и состав!асс~' могут накладываться ограничения: и (1) С 13, х (1) бХ, где () и Х вЂ” области допустимых управлений н состояний сс«от'-': ветственно. , сс", Будем считать допустимыми управляющими воздействия!с;:*' кусочна-непрерывные функции на отрезке управления (1„1«) '!:.
точками разрыва первого рода. Между п(1) и х(1) сущестрке!' ,'=,' ~ 7'п(х, и, 1)сИ (9.49) пустырь постановку задачи оптимального управления можно "'улиравать следующим образом. !'и-мерном фазовом пространстве ХСЙ" даны две точки «.';х, Среди всех допустимых управлений, для которых фа"": траектория, исходя в момент 1, из точки, хь приходит в ' ',.х, в сь найти такое управление, при котором функ- 1 типа уравнения (9.49) принимает наименьшее возЪе значение (о минимуме функционала речь идет только ' 'ределепности).
Такое управление называют оптимальным, "петствусапсую ему фазовую траекторию — тоже оптималь« 'б«с«тановку задачи можно видоизменить, введя в рассмот,:.,'еще одну координату вектора состояния, характеризутекущес значение функционала. з(г) =- ~ У,(х и, 1) И „. ффсренцируя уравнение (9.50), получаем уравнение от!'гййьно новой координаты вектора состояния '= 1'и (х, ц) (9.51) ВЯичнссмс! условис!мн ,: Р,) =О, хп(1,) =1. (9.52) ' речь будет идти о (и+1)-мерном фазовом пространстве .;:э«ространства состояния сохраним обозначение ХСК""«).
;, нпедсм новую постановку задачи, эквивалентную преды:; $6). В (п+1)-мерном пространстве Х заданы: точка с 11сгнатами (О, х,) и прямая 17, проходящая параллельно '-'%:.через точку с координатами (О, х,). Среди всех допусти- ,'управлений, для которых соответствующая фазовая траск!7 — ЗД9! 257 (9.50) ""масть, запнсЫвземая в виде системы дифференциальных ""' ний '.х:.=- 1« (х, и). с — - 1, 2,..., и. (9.48) (скс: — с-я координата (переменная) вектора состояния. "'-'аны граничные условия; начальное состояние управля'...Системы х(1,)=х' и конечное состояние х(1п)=хп в ""ном фазовом пространстве. Момент времени 1„п полагаем ' фиксированным, а характеризующим только момент пс'«а в конечное состояние х".
Цель управления описывают ""'повалом (9.7) при равенстве пулю терминальной части, торна, исходящая в момент временн нз точки (О, х,), пересе, у '- прямую Н, найти управление н(!), обеспечивающее нанмсв шее возможное значение координаты пересечения прямой О";., Вдоль оси ха Постановка задачи геометрически интерпретирована случая рнс.
9.9. Рис. 9.9. Постаиоака задачи оптимального управления Основная теорема — принцип максимума. Кроме основной"' системы уравнений (9.48) н (9.5!) с граничными условнямд:.' (9.52) Я =- 7', (х, и), 1=0, 1, 2, ..., и, (9.5оу~„ введем в рассмотрение дополнительную систему днффереппв-"- альных уравнений относительно вспомогательной вектор-:,, функции фг: (9.54)",;, Целесообразно записать уравнения (9.53), (9,54) в более удой;": ной форме. Для этого введем функцию Гамильтона в следу:-:;: ющем виде: и Н(х.
ф, ц)== ~~7!(х, ц) ф,==-фт1(х, ц). (11,5ф:,' !=о Системы уравнений (9.53) н (9.54) теперь можно объеднипть:: записью в форме так называемой системы Гамильтона (кзио':;.'! ннческнх уравнений Гамильтона): ьч ~~ 1 012...и, (9.56) 2ЗЯ -"" т =::ф;-'т — элемент функции фт=(ф„ф, ф )т размерности '1-;;"!Т вЂ” знак транспоннровання в уравнении (9.55). ,"'в системы канонических уравнений (9.56) следует, что "'(щвя Гамильтона есть непрерывная функция 2(и+1)+гп 'вменвых х„х„...,х.; ф„фо...,ф„; и„..., и . Прн фнкси"нных х н ф функция Гамильтона Н есть функция только '"'ясвлення н н времени й !йийстема Гамильтона (9.56) обладает ннтерсным свой'-''.; частная производная от функции Н по переменной ф, 'вв. скорости изменения переменной хь а частная пронзвод:::от функции Н по переменной к,— скорости изменения пе!ой ф,. ';!~рбозпачнм через М(х, ф) максимальное зпаченне (точную йюю грань) функции Гамильтона Н: 'ф4гх, ф)=зпр Н(х, тр, и).
(9,57) и 8 и рмулнровка основной теоремы. Пусть вектор н(!) Ва от- " " '(1„ й) †допустим управление, удовлетворяющее усло":задачи. Тогда для оптнмальностн управлении н(1) необхо",'вг',чтобы существовала ненулевая вектор-функция ф(!), , что: '"): для всех ! на отрезке (1„1,) функция Гамильтона как ""цня н, нй() достигала максимума, определяемого выраже- '. (9.57). '.Н(х(!), н(1), ф(1)) =М(х(1), ф(!)); (9 58) ):.в конечный момент времени 1=1, выполнялнсь соотноше- " .(Уя)(0, М(х(1,), ф((т)) О, (9.59) . 'Вкду важности и. ! теорема названа принципом максиму- ~.;::а:!одчеркнем, что этот прннцнп в общем случае дает необ„:," ые условия для определения оптимального управления ,ьТгакнм образом, имеет 2(и+1)+т соотношений (9.53), (9.54)' -,;58) (ги соотношений дает и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
