Солодовников (950639), страница 44
Текст из файла (страница 44)
"ется: найти вектор управления и, прн котором функцио. -''.~9.'25) имеет минимум; определить значение 1*=ппп1. н ' 'нмсл этого квадратичного функционала можно пояснить 'щим образом: выражение .тсн мерой нормы )[х)( вектора х(1), т. е. мерой его ;, тельности в процессе регулировжния; выражение 'е -::::$«нвдратичную матрицу М называют положительно (неотрицательно] ,,.
ниной, если скалярная величина н'Мп положительна (неотрицательиа) . значений вектора н, отлнчаюшнхся от нуля. является мерой количества энергии, используемой для управ:Р, ления; выражение хк'Г«хк характеризует норму )!х«11 вектора х(Е), т. е. отклонение от ус у'та.: новившегося значения на конце интервала регулирования.
В некоторых задачах нужно стремиться к тому, чтобы Все " эти три значения были возможно меньшими. Поэтому зал. оптимального регулирования состоит в минимизации фуякцп кала (9,25). Предположим, что„в соответствии с критерием (9,25), яз„' лшощнмся квадратичной формой, выражение для !»(х(Е), Е) так."." же .можно представить в виде квадратичной формы Е»(х(Е), Е)=хт(Е) Р(Е)х(Е), (9. 26) )'.)~ где Р(Е) — симметричная матрица. Сравнивая уравнение (9.25) с (9.3) и уравнение (9.1) с (9,24) '; легко видеть, что в рассматриваемом случае Г(х, и, Е) =итВи+хЧ4х; (9.27):; Е(х, и, Е) =-А(Е)х+В(Е)и. (с 26) .„". Согласно выражению (9.26), (~~') 2 тр. (9,29)! д! "(дЕ = хт Рх, (9.36)„'.' Подставляя выражения (9.27) — (9.30) в уравнение (9.22);.
получим хтрх=-ппп(итйи.+хт(2х+2тРАх+2хтРВи) . (9.31) -' «19 Последнее выражение можно преобразовать в виду хтрх=-- — ш)п ((и+К )Д~рх)т К (и+К 'В Рх)+ « +хт((3 — РВИ 'В Р+РА+А Р)х). Если матрица В является положительно опредсленной, то вм" ражеиие (9.31) имеет ккинимум при «1 (Е) = — В '(Е) Вт(Е) Р(Е)х(Е), т. е. когда выражения в первых двух скобках в формуле (931) '-. обращаются в нуль. Но тогда х'Рх= — хт(Я вЂ” РВ(1 'Втр+РА+Акр)х Полученное уравнение справедливо для всех х(Е), поэтому Р'(Е) РА+Атр РВК-) Втр+Е) (9.32) "::; Уравнение (9.32) является матричным нелинейным диффеРе" циальным уравнением Риккати.
Граничные условия можно опР 24б '."»ь нз следующих соображений. Согласно выражению (9.25), '"'п(ая в нем Еа=Е«, получим '~(~«х(Е«), Ек)==-хт(Е) Г.х(Е«), ""да, учитывая формулу (9.26), найдем 'Гт(Е«) Р (Ек) х(Е«) =-хт (Е«) Гкх (Ек), вательпо, . (Ек) =Гы 'Р«=О, то Р(Ек) =-О .~гласно (9.26), оптимальное значение Ек критерия (9,25) (,,1к~х(Е«), Е)=х (Ек)Р(Е)))х(Е«). (9.33) , ''ыражсния (9.32) и (9.33) остаются справедливыми для 'Е)го начального значения Е, т. е.
з(Е) — — В '(Е) В (Е) Р(Е) х(Е) (9.34) ;фс(Е), Ек)=хт(Е) Р(Е)х(Е). (9.35) "" улы (9.34) и (9.35) представляют собой решение поставй задачи оптимизации. .,"звенство (9.34) можно переписать в следу)ощем виде; ;~(Е) =К(Е)х(Е), (9.36) '4ЧЕ) — — В '(Е) В'(Е) Р(Е) ',' ализ выражения (9.36) позволяет сделать следующие вы ' ')- закон регулирования (9.36) приводит к структурной с ОС, так как вектор управления непосредственно зави- ,.1)т вектора состояния х(Е); ')к)ЕЕ закон регулировании (9.36) является «кинематическим», '„':.«динамическим», так как в нем нс содержатся производ'или интегралы от х.
с..'Е) закон регулирования (9.36) даже в случае объекта и кри',н с постоянными параметрами содержит ьчатрицу К(Е), за", 'ую от времени. Следовательно, замкнутая система регу„, 'ания является системой с переменными паралеетрами; '-4)' основные трудности задачи оптимизации — необходи;„ь, решения матричного уравнения Риккати и выбор весо,, "матриц к) и 11; 4«к) решение характеризует свободные колебания системы. ,;.Заметим, что решение задачи оптимизации ранее было по...„по в предположении, что внешние задающис (или управе) воздействия отсутствуют )рассмотрим зада(у оптимального регулирования для слу„...-',:КОГда ИНтЕрнаЛ ОПтИМИЗацИИ 7= †Ек в, бЕСКОНЕЧЕН. Эта За„ Р' имеет решение только в том случае, если система полю управляема: 247 В этом слуьае установившееся решение Р является решением нелинеьььос '."..
алгебраического уравнения нь'гге „'"" РА+А«Р РВк-ьВтР+(1 О Таким образом, матрица К не зависит от времени только в том слу если оптимизацию проводят на бесконечном интервале, объект регулиров. чучае стационарен н весовые матрицы Й и С), входящие в критерий (9.25), не ьшэя (., сят от времена.
Для этих условий можно сформулировать критерий устой „, востн замкнутой оптимальнон системы регулирования. Уравнения для тю оьь системы легко получить подстановкой закона (9.34) в уравнение (92().':. х=-(А — ВН-ьВ'Р)х, и критерий устойчивости заключается в следующем. Замкнутая система регулирования асимптотнческн устойчива, если и, пара ':, (А, и) полностью набльодаема, где 0 — -любая матрица, удовлетворяюььььь,:! условвьо щаа Впг= — а, а квадратдчная форма х'Рх является функцией Ляпунова "~':г" Ц, тг=й В матрицы , В,— --ф, Н,=-, (;4=-~~~ Ц й(оных переменных уравнение (940) и критерий (941) со твенно примут вид чу~ам)льхй Вьт, х(1о) =-хо; (9.42) ':фДх Я, тг, Уо)= ~ (9«йьу+ хМх) с(й.
(9.43) ге а рис. 9.4 показана система, описываемая уравнениями ). Применим в этой системе теорию оптимального регули- Г--- — ) 9.6. Оптимальные ПИ-регуляторы В подразделе 9.2 был дан метод расчета линейных опти-':; мальных регуляторов с обратной связью по вектору состояния,,::, Такие регуляторы позволяют свести к нулю с течением вреььсьщ!," влияние на выход объекта ненулевых начальных условий ььлн;.'. кратковременных импульсных воздействий. Однако в случае по.:- стоянных или медленно изменяющихся входных воздействий::, такие регуляторы не могут обеспечить равенство нулю откло'-,:;,' нений регулируемых величин от заданных значений.
Для чогп'', чтобы они удовлетворяли такому требованию, закон регулиро"''; ВаиИЯ ДОЛЖЕН СОДЕРжатЬ НЕ ОДНУ, а ДВЕ СОС«аВЛЯЮП(ИЕ, ОДПа Ий',„ь которых зависит от вектора состояния, а друган — от интеграла:,„ вектора состояния. Такие регуляторы называют пропорциональ.'',"" но-интегральными, или ПИ-регуляторамн. Рассмотрнм следующую задачу. Предположим, что задан линейный динамический объект 'а,'::.
постоянными параметрами, описываемый уравнениями и==-Ах+Вы, х(1о) =хо, ((1 46).:::-, причем критерий качества регулировании имеет внд Т |х(йо), и, ц =- ~ (нтйсн-)-нтяц+хт(;)х) стг', (9,4!) 'й г где Ь вЂ” положительно определенная; К и () — неотрицатедь"о .;, определенные симметричные матрицы. Предположим, что начальное значение управления н(А) =и' задано. Необходимо найти управление н*, минимизирьчо '.. щее этот критерий. Введем поные переменныс Рис. 9.6. Преобразованная схема ПИ-регулятора ОР— объект регулкреяеяяя; БР— блок регуляторов 291 Рвс. 9.4. Структурная схема ПИ-регулятора ""': я„предварительно проверив условия управляемости и "" даемости.
В результате получим схему регулирования ;,:"'9.5). Эта схема с безынерционным регулятором может Т) впения Риккати: 'В,тр+О ание Р, а втозамкнутой си- спечивает существов ческую устойчивость $$,'; 1~ тм альное регулирование 253 Рис. 9.В. Схема системы, состоящей иа объекта регулирования и линейного динамического регулятора быть преобразована в схему, показанную на рис. 9.6, состо':1' ящую из первоначального объекта регулирования ОР, описы-'. ваемого уравнением (940), и линейно динамического регуля-"., тора Р. Далее будет показано, что эту схему можно также преобра-'.' зовать к виду, показанному на рис.
9.7, где регулятор осуще-.-",„' ствляет обратную связь по вектору состояния и интегралу от:,,': вектора состояния (регулятор типа ПИ). То, что эти регуляторы;:::::: являются искомыми оптимальными, будет ясно из дальнейшем;:;,' изложения. Рис. 9.7. САР с оятимвльимм Г1И-регулятором тк ч(чтак, найдем минимум функционала (9.43) при условии )',' Предварительно заметим, что для существования зако4тйьгбулирования и конечности функционала (9.43), а также '";;",.асимптотической устойчивости замкнутой системы необхо".д,'цринять два дополнительных допущения: .,-'(4)вра (А„В,) полностью управляема; )нлвра ~Аь $Ц полностью наблюдаема для лгобой 0,т, удов'-' 'ряющей условию 0,0,т=0,. При выполнении этих допу"мй можно использовать результаты, полученные ранее, "".' но которым оптимальный закон регулирования имеет вид бйе — В,— 'В,три , ф(уо), Го)=ит((о) Ри((о).
,=11шР(Г, Т)= — 1!ш Р(у„ и .~тем Р есть решение ура '" Р=РА,+А тР' РВ 1(, 11удТ, Т) =О. предположение обе (~определяет асимптоти ,) . (А,— В,К,-'В,тР)и. ,' жно показать, что оба предположения эквивалентны дойиям, которые ранее делались для уравнений (9.40), ,):, и что оптимальные значения показателей качества реваиия, согласно уравнениям (9.41) и (9.43), одинаковы.
,'рейдем теперь к интерпретации результатов минимиза".':-Рйсширенной1 системы, для того чтобы получить решение ,й минимизации для перноначальиой системы, Как это бы,,вмечено ранее, оптимальное управление иа для модифици„,Ной проблемы регулирования удонлетворяет равенству , .при па(1,) =п(1,). Минимальное значение Ге одинаково '"обеих задач: : к(уо), и (Го), Го)=Г"(и (Го), Го) тимальное управление иа и минимальное значение У „„в выразить через параметры модифицированной задачи гцим образом. ;., усть ,е е(1 ) цо определяют выражением = — — $ 'Рг,х — Я 'Резце, т.
е. оптимальное регулирование пз имеет внд це — К тх+Кзтпе и пз (1о) =и (О.44)",": Здесь К = — В-Р„; Кт= — 8 1Р~. Минимальное значение показателя качества 1: 1(х(1), ц(1), Я=1а(х(1), 1)==к'(1з) Рх(1)= = — (хт (1о) цт (Я ~ ~ ~ ~ == хт (1е) Рнх (1 ) + 21 12 ц( о) +2цт (1,1) Р„х (1о) =- цт (то) 1згзц (1о). Необходимо зав1етить, что при п(1,) =О 1*=хе(1о) Рых(1о).
Матрицы Ргь Ргь Рам входящие в оптимальный закон ре-',' гулирования н в минимальное значение 1, можно найти какг пределы Рм, Рг, и Р„при (-+-оо, причем Ргг=РггА+Атргг Рггт$ Ргг+О~ Ргг(Т) =О; — Р„=Рг,А+ВтРм — Рггу-гРгг; Р„(Т) =О; — Рм=Рг,В+ВТР„т РггЬ- Раз+1(; Р(Т) =О. Итак, получено решение задачи оптимального рсгули)и,*ва'-.': нин при наличии производной и от регулирующего воздейг. ствия и. Полученным результатам можно придать несколько другую форму, езн;,:;". дегельствующуга о том, что регулятор действительно являтся пи-ре1улгпе':;. ром.
Согласно уравнению (9ЛО), и = В-' (х — Ах) = (ВтВ) "' Вт(х — Ах) . Полагая, что ВгВ положительно опрелелеяа, уравнение (9.44) перепишн':-:: в следующем виде: пг=Кггх+Кггх; иг(гг) =иг. гз46) *,, Здесь Кгт=-К т(ВгВ) 'Вт: Кгг=К1г — Кг'А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
