Солодовников (950639), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Задачу о минимуме функционала (9.11) традицион:Жазывают задачей Лагранжа. =':Задача Майера. В этом случае, согласно условиям (9.9), ми...пвируемым является функционал, определяемый только тер,, апьной частью (9.7), т. е. .,';,!2'=ф[х (12), 12)= — ш 1п. 239 Например, для системы управления ЛА, описываемой уразп '! пнем азпе х=(в(х, и, 1), можно поставить следующую задачу — задачу Майера: опр. лить управление и(!), (>(1((з так, чтобы за заданное в прсда ", времй полета достичь максимальной дальности при условии, чт то копен>ый момент !х ЛА совершит посадку, т. с. х(1з) =0 Задачу Майера можно интерпретировать как задачу управ . ленин по минимуму времени переходного процесса, или как ак за-'..' дачу перевода объекта (процесса) из заданного начального го са. ,'' стояния х,, в желаемое конечное х„за минимальное время, я, чтп-„1 обеспечивается вектором допустимого управления и(1).
Проектирование систем управления конечным состоянием основ том пола>кенни, что если даны начальные условия для системы, апис> зае, май дифференциальными уравненпями, то при отсутствии возмущений можщ,, предсказать ее повеление в буду>г>ем. Желаемое конечное состояние, ласти, гается непрерывным управлением и прогнозом конечных условий.
Такщ>х образом, желаемые конечные значения выходных переменных в системе при „ водят к требуемым значениям, если лаже имеются возмущения. Прпнциа,," управления конечным состоянием применяют при проектировании, например,', систем посадки самолетов, управляемых ракет и т. д.
В системе паса>>к>б самолета прогнозируют и доводят ла желаемых значений скорость сн>ггксшщ, и высоту в определенный момент времени, соответствующий моменту посади>с.у Задачу управления конечным состоянием можно сформулировагь каК.;- задачу опрелеления такого вектора допустимого управления и, при катаром:„"' за данный интервал времени Т система переходит из начального (хг, Сг) в';., такое состояние, при котором одна (или некоторая совокупность) перепев',.!' ная состояний принимает возможна большее илв возможно меньшее значе.," ния, а остальные переменные состояния имеют фиксированные значения вс йы физических лопустимых пределах. Иначе говоря, систему управления ояеч>,' коь м состоянием проектируют таким образом, чтобы она имела жельемуа>':„" реакцию только в один-елинственный момент времени, а в остальные момента;:х ее реакция может быть произвольной в физически допустимых пределах Задача Больца.
Сводится к задаче минимизации критерий« вида (9.7) при условиях (9.10). Можно показать, что задаца,;,' Больца приводится к задаче Майера ]6]. Задача на максимальное быстродействие. Данную варнаки';:; онную задачу не относят к числу классических. Термином «вари-'::;. ациоппые» объединяют такие задачи, в которых мннимизирУе'': мым функционалом является время, т. е. 7 =.- ~ сИ = — тт — >> .— - Т; при !ь(х, п, 1) — 1, ср(х(1з), (т]=0.
Предположим, что концы фазовой траектории управляемо -г го объекта фиксированы. Тогда задачу на быстродсйсги":-' формулируют следующим образом: определить управленя~.!с> и(1), которое переводит объект из состояния х> в состояние "з, за минимальное время. ",... Типовая варнационная задача оптимального управления >)й»Триведем для примера одну нз тнповых задач оптимально- „'~гсйравления, решаемую с использованием принципа вариадого исчисления, — задачу со свободным правым концам "'данным временем переходного процесса.
зг усть заданы объект управцения х(1) =-1(х, и, 1), началь- с;,у>славна х(!>), время окончания переходного процесса ' ' " кционал качества в форме (9.3), т. е. с, :"Х вЂ” -' ).са (Х и, ~) Ф+>Р>Х(~з)' ~2] разуют вспомогательный критерий качества 1 прнбавле- '. к (9.7) системы дифференциальных уравнений (9.6) с нс- ""ыми множителями, совокупность которых представляют "бром т (с) =Р„ (1) 7, (с))т.
' .'а=ср ]х (гв), гз]+ "+~ (Та (Х, и, и)+ ) ~ (г)17 (Х, и, г) — Х(г)]) ссг, (9.13) :,„,:хс — знак транспонирования; Х>(1) — множители Лагранжа ' чфм Хс(1)'~0 для всех 1=1; и и являются днфференцирусмы- "', 1). цедем скалярную функцию О(х, и, Х, (), называемую функ- "Гамильтона, или гамильтонианом: (х» и, 7» 1) =]о(х, и„г)+тт(1))(х, и, 1), (9.14) фУнкции 1о(х, и, 1) и 1(х, и, 1) — фУнкции, опРеделаемые из " ' 'ений (9.7) и (9.6) соответственно.
,))тегрируя по частям второе слагаемое в правой части кри- (9.13) и учитывая (9.14), получим .„::.">р[к(гз), !т]+ ]Н(Х, и. Х, 1) — Х~ (гг) Х (гг)]С(1=- 'Фа»>Р]х(!х), Уз]+() 77 (х. и, Х, 1)+Х (1)х(!)]>1!в с, " .с'(г,) х(>х)+Х (г>)х(с>). ; усть и(1) — вектор оптимального управления, который ,,цвьчивает минимум функционала 7 (или с), а х(1) — апти- ,;,.
ое решение, т. е. реакция системы х(1)=)(х, и, 1) на ,,яствие оптимального управления и(1). ,,>грсмотрим вариацию Й функционала 7, соответствующую иям векторов и(1) и х(1), имея в виду, что вариации бх(1) 1б — 3591 241 не должны менять закрепленной начальной точки х(г1) т бх(г1) =О; 51==-Я "д ' ~ — Л (гз))бх(гт)-+ +~~[ ~ +Л (гф~ г)а „~ ~ дН (х, и, 3., Г) ~ т(, ( гю (9. 15) Вариации бх и бп в выражении (9.15) представляют собоя." отклонение вектора состояния х от опорного, а вектора управ',.': ления н от программного соответственно; частные производные-';: определяются векторами: д1р дН дН дч1( ) дН( ) дН( ) дх, дг, дх д ' дх дН ' „дп дН где и — размерность вектора х (порядок уравнения объекта);,; пт — размерность вектора н.
Найдем необходимые условия экстремума функционала'' (9.15), т. е. Б(=0, при произволытых стремящихся к нулю ва" риаций бн(г) и бх(() относительно оптимального вектора управ-';." ления и соответствующей ему траектории. Для того чтобы ис.-!: клгочить влияние вариаций бх(г), вызываемых отклонением п~! управлению бн(() на вариации вспомогательного критерия М~': выберем множитель Л(() таким образом, чтобы коэффициенты,':" при бх(() и бх((з) в уравнении (9.15) обратились в нуль. г(еоб':;1 ходимые условия экстремума будут выполнены, если Лг(г) =- — „, 1 —.-1, ..., и; дН (.) (9.!6)т (9.17)':.
дН(.) — =О; г'=.—.1, - ° -, т. диг Так как уравнение объекта х=((х, н, (), то и вариация б(=О" ( т. е. будет выполнено необходимое условие экстремума трсбуе мого функционала 7з. Таким образом, для нахождения опти"::: мального управления необходимо решение системы, состоящей:.:'!) из уравнений (9.6), (9.16) и (9.17), т. е. х гг Приведенные выклздки не облздают необходимой мзтемзтичег"о ':5 й.:, строгостью, чтобы рассматривать их кзк доказательство необходимых угх вий решения вариационной задачи. ф= У (х, и, (); дН( ).
тй)чз) "" (.) (9.18) граничных условиях х(О) — х, ;э гамильтониана (9.14) следует, что частная производная ,ЬХфЩ1=-11(х1, и, (), "Кции Л1(() прн (=1,, и традиционно обозначают через .'-.- Поэтому систему из 2п уравнений (9.!8) обычно записы- ,П следующем виде. дН дФ ,:(~)= — '* ,.
'(ч) о'х ' дН (9.19) ",=О. ,;,'':(зэг чтобы критерий 1 достигал локального минимума, печно выполнения третьего условия системы (9.19); нео- б'"о также, чтобы вторая производная функционала 7 при ре,' х системы (9.19) была неотрицательна для всех значений ~,"т. е. Я~О. м образом, решение задачи оптимального управления я к решению нелинейной системы уравнений 2п-го по- ,Ф:. (9.19), причем для вектора состояний х(() заданы усло'-'",а;:нач ле интервала ((, гз), т. е.
п точке (о, а для сопряжена 1 (, () 'вектора гр(() заданы условия па конце интервала ( о, к), ;.";'и точке Гк. Такого рода задачи называют двухточечными , ымн. ")дгжность решения вариационной задачи в форме системы ,') за лючается именно в том, что граничные условия для к а „,пров х(() и чр(1) заданы на различных концах. поэтому т,: дачи решают при помощи численных методов. „;1,',.Случае линейной задачи с квадратичным критерием, рас.: енным в подразделе 9.5, эти трудности з значительной „'снимаются, Задача сводится к решению ураннения Рикка!~Э)32) по заданным условиям на конце интервала (=(к и ,,Мйению оптималыюго закона регулирования (9.36), спраого для лгобых начальных условий решения нелинейных двухточечных краевых ззпзч обычно применяют ин тивную процедуру, основанную нв выборе некоторого бо ную итерати ят еле,~(ли менее произвольиога решения, которое должно удовлетворять г1- (бь 243 дуюц(пм условиям: уравнениям состояния; сопряженным уравнениям; аг; , а~ран ( чениям как на управление, так я на состояние; граничным условиям нсхадяое регнгние, обычно не удовлетворшашее перечисленным условиям зг а тем игтользуют для улучшения результатов, т.
е. для получения следу решения, более близкого удовлетворению необходимых услоний оптимальв З, ° сти, а г. д. (т, е да тех пор, пока не булез палпгсно решеаие, удовлет а „ ряюгцес нм с требуемой степенью точности). "'«а, . 9.4. Приведение задачи оптимального управления к уравнению Гамильтона — Якоби 9.' Предположим, что функции 1 и Г)а входящие в функцно). (..3) или (9,а), являются гладкими, т.
е. непрерывными и дьф.) г найс фереццируемыми функциями. Пусть 1 [х (1), 1) =- ппп 1 [х (1), и (1), 1). (9.2(~"' н((,гн) В уравнении (9.20) левая часть не содержит и(1). Действи,'".'- тельно, если оптимальное управление найдено с учетом ограни'; чепий (9.4), то минимум функционала (9.3), т. е. 1*[х(1), (), уже.' от пего не зависит. Имеем г К 1' и или, учитывая формулу (9.20), н г') ю, ч= ! )га,)д -гг') (г).г)).
(гг» шг,г Пусть 1) =-1+М, тогда, разлагая правую часть (9.21) н ряд:::. Тейлора. получим 1а[х(1), 1)= ппп (МГ[к((+ОМ), ц(1+иМ), (1+аМ)) т в( г, г -)-ш ) +1 [х(1) 11+~~— [х(1) 1[1 9М+ д(н + — [х(1),1'1М-[ 0(М)«~„0<с((1, откуда при М- О, найдем — == — щ(п ~Р (х, и, 1) + ~ — ~ 1 (х„п, 1)~. (9.2ф'' Обозначим через и* управление, минимизирующее прабУют часть (9.22), тогда —,= = — Р[х, и',1)+ ~ — ~,1(х, и, 1). (().23)') Граничное условие для уравнения (9.3) имеет .вид 1*[к(1«), г«)=Цх(1«)). Уравнение (9.23) называется уравнением Гамильтона — Якоб" "::.( 244 ', Квадратичный критерий качества. Линейный объект йссмотрим теперь задачу оптимального управления для """ Ро случая линейного объекта и квадратичного критерия, ую часто называют задачей аналитического конструиро"" оптимальных регуляторов ДКЯР).
Пусть урнвнения а имеют вид (рис. 9.2): Рис. 9.2. Структурная схема оптимальной системы, реа- лизуюшей квадратичный критерий т()жА(1)х(1)+В(()и(1), х(1,) =хш (9.24) ~ф — и-мсрный вектор состояния; п(1) — т-мерный вектор "'пения; А(() — непрерывная матрица [пХп); В(1) — непре- в матрица [пХт). Критерий качества регулирования )' ' к фй(йв), и(.), 1)= ~ (пт)т (1) и+хт(4(1)х) (11+ ~н 'Хт(1«) Р„Х(1„), (9.25) йг) — симметричная, неотрицатсльно определенная весован '; 'а [пХп); й(1) — симметричная положительно определен"-;::матрица [тХт); Г« — неотрицательио определенная мат.,':!~в(Хп[г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
