Солодовников (950639), страница 42
Текст из файла (страница 42)
В со'иых теории и технике автоматического управления при".()ольшое значение проблеме оптимального управления, ре::которой указывает пути экономии этих ресурсов. К чис'"':: мизационных задач можно отнести минимизациго массы для полета самолета или ракеты. Отношение затрат '"'аг необходимого для доставки полезного груза, к массе ",;груза обычно весьма велико. Поэтому определение траек,;, .'обеспечиваюгцей достижение заданной области простран- '::(3'.: е. цели управления) с минимальными затратами, яв'"'":чрезвычайпо актуальной проблемой теории и техники ения. Так, например, прн проектировании системы управ;::.'химического или атомного реактора стремятся решить , кзационную задачу, состоящую в получении максимальной ,'бдительности реактора.
,':, " расчета эффективности любой системы управления су- ,(1)рт множество решений, и проблема управления заклю-.в том, чтобы выбрать «наилучшую» совокупность этих ,"г(г(й. Однако предварительно необходимо: а) определить ,управления, выраженную целевой функцией (илн критеФптимизацин), позволяющей найти количественный эффект , ~Э решения; б) выбрать модель для анализа н определения .,„, тнвности принятого решения; в) изучить все состояния ,.:','функционирования объекта, влияющие на прошлое, на..(яаее и будущее процесса управления. .',, И решении задач оптимального управлении используют „'''воарнационного исчисления, принцип максимума, а также ,ймг.
Игческое и математическое программирование. 235 9.!. Постановка задачи оптимального управления Задачу оптимального управления в общем случае ыогк„в.:,:,' сформулировать следующим образом (рис. 9.1). Г 1 ! ! ! ! ! ! ! ! г ! ! ! ! ! Рис. 9Л, Схема задачи оптимального управления Даны: 1) цель управления, математически представленнаяг в виде некоторого функционала или критерия управления! 2) уравнения системы (обычно в виде уравнений состоянггя)е.' 3) система граничных условий в начальный и конечный момен-:; ты времени; 4) система ограничений, которым должны удав-;-;.
летворять переменные состояния и управления. Требуется най':::;: ти вектор управления, при котором критерий цели управления" имеет экстремум (т. е. минимум или максимум). Математнче.':" ская формулировка задачи оптимального управления состоит в:::.;: след ющем. у редположим, что управляемый динамический об.ьект опи'- сывают системой дифференциальных уравнений: х=[(х, ц, 1)„х(г,)=х' (9 1):-:,"„ на интервале времени (1о, гк)е. При этом векторы состояния ":"': гой::,' и управления ц могут изменяться лишь в некоторой допустимо:;: области, т. с.
х(г')ВХ; ц(1)й(1, (92) „ где Х, П вЂ” заданные множества. ' В выражении (гь!» и далее функции вида 1(х, н, О в общем слу л а являются векторнымн. 236 ')йрдимо найти такой вектор оптимального управления ц*, ",:"он обеспечивал экстремум некоторого функционала (де"';-',функции или критерия управления): ~:(( г' [х(1), ц(1), к[И+а„[х(1„)1, (9.3) ;з(цреводил систему из начального х((о) =-хо в новое состоя'"'"'асположенное внутри области г,! (хк) ФО, и удовлетворял 'чениям на векторы состояния х(г) и управления ц((), ""'е могут быть представлены в виде выражений (9,2) или "'ы неравенств: ';(х, п))О„'6а(х, ц) =-О.
(9.4) уст подчеркнуть, что оптимальное управление в ряде случаев может 'аствовать и что обычно трудно утвергкдать заранее, существует ли "' ' ное решение для данной конкретной задачи. Поэтому часто проще г)гйаднчу, сели зто вообще возможно, и тем самым установить, что оп"' ре управление существует. Кроме того, решение задачи нахождения ' ого управления, за исключением ограниченного числа случаев, мо, неоднозначным. ем необходимые условия для решения задачи опти""'о управления. Эти условия дают локальный оптимум.
найдены все эти оптимумы, то оптимальное управлс)йтугутветствуюшее глобальному огттимуму, можно найти, "среди локальных оптимумов такое управление, для ко"':-функционал (9.3) имеет, например, наименьшее мини- значение. Таким образом, в точке глобального опти'(уцравление ц* минимизирует функционал 1; .гй)::.~ г 1х ц г1с(к+г'к [х (гк) гк1~ (9.5) !" Р[х. ц. 71ь(г+)о [х(т ) г 1 '',ят ' х п6(), для которых хйХ '-:м",2. Варнацнонное исчисление и современные задачи теории автоматического управления ...„,тнмизация САу возможна при определении главной дели „,:--минимизируемого функционала' или целевой функции рия оптимизации). :М ,,,и каждой функции х(Г), принадлежащей некоторому множеству ...
й х, (х(()ВХ), отвечает некоторое число 7(х(Г)), то гоеярят, что на е Х задан функционал. 237 Для каждого режима технологического процесса или эта„»»' движения подвижного объекта обычно можно указать глав2, а:-':» цель управления. Помимо этого, процессы управления додд„ 'У2в '.; удовлетворять ряду условий. Так, например, самолет или к иц ' мический аппарат необходимо вывести в заданную точку и 'Ро,::,:,, странства, в заданное время, с заданной точностью, израсходо:.".' вав при этом минимальное количество топлива.
Одна из особенностей проектирования оптимальных САУ стоит в том, что систему в ряде случаев нельзя охарактериз ':.-» вать одним критерием. Поэтому процесс проектирования чзс -:!, представляет собой упорядоченную последовательность оптин„,',.',! зационных задач и сводится к нахождению оптимального д„,;;„ терминированного управления. Рассмотрим задачу расчета о~':,,',,'; тнмальной траектории или оптимальной программы прн пома,':: щи классического вариационного исчисления.
Эта задача:..'.. формулируется следующим образом. Даны: 1) цель управления, представленная в виде некого.'",2 рого функционала или критерия цели управления; 2) урав22Е2:' ния системы; 3) граничные условия в начальный и ковечнь(~[ моменты времени. Требуется найти вектор управления, при ко»' тором критерий цели управления имеет экстремум (т. е, минц::. мум или максимум). Пусть управляемый обьект, согласно ск', стеме (9.1), описывают на временном интервале (2ь 12) вектор,.'.' ным дифференциальным уравнением х==((х, и, 1), где хднф"; иСК; (9.8"', х — вектор состояния (выходные переменные, хй)("); и - веК';.' тор управления (переменные управления, пв12~); 1 — незавиФ' мая переменная (реальное время функционирования системах. Вариационное исчисление не учитывает ограничений, кро2(й: условий (9.6), которым должны удовлетворять персмепиыс с .
стояния и управления. Будем считать, что область допустимых управлений и ос~, множество всех ограниченных непрерывных функций п(1) 21»~~! (~! ~2) ° Введем скалярный критерий качества ы » 2 (х ц ~) 2»" + ф [х (~2) 12) (9,7). А Первое слагаемое в выражении (9,7), характеризую2цес к „':~ к6":,!! чество управления на всем интервале (1ь 12), называется Я2'::-„: гральной составляющей, Второе слагаемое характеризует «о,,~!" ность в конечный (терминальный) момент времени 12.
ФПжп,~-'- [о(х, н, 1), ф[х(12), я являются действительными и называ2от::;:: подыитегральной и терминальной частями функционала А 238 (9.9) '~(адача оптимального управления — отыскание такого детер"""рованного управления п(1), чтобы функционал 1 достигал, ""имер, минимального значения. Конкретизация выражений "!~п» 1), [2(х„п, 1) и ф[х(12) 12), входящих в (9.6) и (9.7), по"':: дет различные типы задач синтеза управления. Функцио':;вида (9.7) можно назвать классическим, так как он испольв классических задачах вариационного исчисления, а »4) н задаче Лагранжа — подыптегральная и терминальная '"д выражения (9.7).
':;й»2'(Х, и, 1) ФО; ф[х(12), 12)=0; (9.8) .,ф)' в задаче Майера: '~',(х, и, ») =О; ф[х(12), Чаеб; 7'.,»в задаче Больца." В(»Х, Н, 1) ~0; ф[х(12), ЯФО. (9.10) "е перечисленных особый интерес представляет и задача на "" мальное быстродействие технической системы. ,4дача Лагранжа. Рассмотрим сначала интегральный функ" л вида :М::::= ~ Д (х, ц, 1) И, (9.1 1) '.хыый является частным случаем критерия (9.7) при выполусловий (9,8) " 4дача управления по минимуму критерия (9.7) связана с ))гизацией САУ по отношению к некоторому интегралу ти- ,",'19211). В очень многих процессах управления, встречаюна практике, отклонения выходной переменной от неко;,;:,' требуемого значения являются нежелательными, В одних „,'аш вычисляют среднее значение этого отклонения или ал (9.11), представляющий собой, например, прибыль; в случаях эффект усредняют таким образом, чтобы полу- ,.:а»", представление об ухудшении качества продукции (убы,,г.;-Иными словами, особый интерес представляет среднее от„'"ение в течение определенного интервала времени, поэтому ,,:ча системы управления состоит в том, чтобы обеспечить мим интеграла этого изменения в течение заданного интерва;,.:ремени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
