Солодовников (950639), страница 46
Текст из файла (страница 46)
1 принципа максимума) меж« ,'4!,.(и+1)+т коордннатамн векторов хЩ, тр(!) и ц(!). Так ..:"1и соотношений — неднфференцнальные, то решение систем ,,,), (9.54) н (9.58) зависит от 2(п+1) неизвестных пара- ,,, в; кроме того, 1,~1, '(нлн 1,— 1, Г) является параметром. „, .Й нз параметров несущественен, так как гр(1) определяется „.очностью до общего множителя в силу одвородностн Н отноно ф. ,:-Итак, для нахождення 2(п+!) параметров имеем 2(и+1) ,, нчных условий на функцию х(1) н уравнение (9.59), ,-;-'~ЙРнмененне принципа максимума для синтеза системы, оп. ' ьной по быстродействию.
Линейное оптимальное быстро,,йтвие. Важным для техннческнх прнложеннй является класс !7" 259 задач на оптимальное быстродействие: требуется найти управ. '„'; ление и(/), переводящее точку в фазовом пространстве из с„.:.'- стояния А в момент /, в состояние /е' за минимальное врем„.
Поэтому функционал (9.7) в данном случае !» ~ //=/,— /м У,(х.п)=1. Функция Гамильтона принимает внд л Н (х, ф, и) = ~' /'/(х, ц) ф/-— — фо+ Н, (х, ф, и), /-о где "'"'ним порядок суммирования во второй группе слагаемых ,62)! л т т л ,:ф(х, ф, ц) =,~', ф! ~~~'„а!//о/+ ~'„и/~ ф!Ь!/. (9.63) !-! / ! / ! ! ! ';:.~сновании принципа максимума вектор-функцию и(/) слеискать, исходя из максимума Н(х, ф(н)) относительно :,"для всех / из (/о, /!) при учете ограничения (9.61), Не"'ио видеть (рис. 9.10), что значение, принимаемое и!(/) в ,!!! Н, (х, ф, ц) =-- ,~~ У/ (х.
и) ф/, / ! !Ь,~~Π— неположительная постоянная, полученная на основании;:;, п. 2 принципа максимума. Значение ф, влияет не на п(/), а только на значение мак-.:,~" симума, В случае принципа максимума при нахождении опти-'-';;:; мального быстродействия имеем функции Н, (х, ф, и) и -'!! М(х, !р, и) =гпах Н,(х,!р, и); поэтому равенства (9.58) и (9.59);:,) лбн основной теоремы представим соответственно в виде: Н,(х(/), ф(/), и(/И=М(х(/). ф(/)); М(х(/!), ф(/!Ц= — ф.~о. Сформулируем задачу на линейное оптимальное быстродей- ';;- ствие. Применим принцип максимума для нахождения оптн-,':!: мального быстродействия САР, которую описывают системой,:.
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэф-:,:;. фициентами: л т —,' = „1' а, х/+ яг, Ь,/и/ (/ =-1, 2,..., п). (9.60:;,' / ! ! Полагаем, по управляющие воздействия подчинены ограниче- ниям вида ~и!(/) ~~(М„М!)О, /=1, 2..., и!. (9 61) Требуется минимизировать время перехода системы (9.60) нэ состояния хо в х', т. е. А» =/! — /о Составим функцию Гамильтона л л т л ФГ Н,(х, ф, и)=-лл,' /!ф!=-- ),ф! ')' а,х+~' ф!лн, Ьцид (962) '-" ! ! !=.! / — ! ! ! /-! Рис. 9.10. Формирование оптимального управления л й момент /, определяется знаком ХЬцф!(/) в гамильто! ! . гв (9.63), т. е.
изменение и!(/) происходит по закону "~ф)=М эдплл, Ьцф!(К)=М эдп С/(/), (9.64) с-! Х'=:1,2,...,и, „":~! — оптимальная функция переключения, М!=сонэ( ,-!Тз!ким образом, 1-е свойство управления в задачах на линей- ,';)1Птнмальное быстродействие следующее: управляющие возвия и!! /, /=, (/), '=1, 2, ..., п представляют собой кусочно-поные функции, которые принимают либо максимально, лн- :й(инимально допустимые для них значения. Иначе; оптималь- „,'управление принимает значения на вершинах многомерною лелепипеда $/ (9.61).
-;::сменим порядок суммирования в первой группе слагаемых . Кции Гамильтона (9.62): л л л т :-',"~~:(х. ф. ц)= ~~~х/ л а!/ф/+~'„ф!~' Ь!/и/. / 1 ! 1 ! ! / ! 261 „'м С! сопя(, фз Сг(+Сз. (9 66)' а-ы Рнс. 9.11. Фазовые траектории а'х, х=х, х,=— ат 262 263 Уравнения гамильтоновой системы (9.55) относительно вспомо „:::,, гатсльной функции ф(1) будут иметь внд — = — ~з одер!, 1=1,2..., и. (9.66 / ! 5) Эта система уравнений является однородной; следовательно общее решение можно записать в виде и тг(г)=~~~', А!)61 для всех 1=1,2,...,л, 7 ! где Л! — совокупность корней характеристического уравнения '':: нлн собственные значения матрицы А. Полагаем, что Л!. 1=1, 2...,, п являются простыми вещест-.',, венными корнями. Тогда каждая из функций ф,(1) как сумма::::, монотонных функций не более (в — 1) раз гересекает ось л Так как функция Сз(1)= Х Ьыф<(1) является суммой и моно-::: ! ! тонных функций, то можно сформулировать 2-е свойство оптя-'".:г мального управления н(1).
В случае задачи на линейное оптимальное быстродействие:;!. систем и-го порядка, корни (9.66) характеристического уравне.':! ния которых вещественны, управляющие воздействия имеют не:.'',. более и промежутков знакопостоянства или не более (и — 1)г переключений. Пример. Пусть управляемая система представляет собой двойное инте..",', грирующее звено, т, е.
азх — =и (1). нгг— у а ограничение на управлюощее воздействие имеет вид )и(!))~1. Требуется':,.' найти управление и(!), переводящее фазовую точку из х' в начало кооода:.,!' нат фазового пространства за минимальное время. 1. Введем фазовые координаты тогда в нормальной форме корин уравнения системы типа (9.53) запишем е виде г!х, г(хз — =х, — =и. ЛГ " !ге 2. В соответствии с (9.66) выражение для функции Гамильтона 11(к, ф, п) ф!хе+феи. Система уравнений Гамильтона (9.56) относительно вспомогатет!ы!о вектор-функции (9.66) имеет вид !(фз — =-о; гИ ' гг1 '"' Отсюда ф", Яа основании свойств управления, согласно закону (9.64), ( 1, С,(+С,~О, ЧВ(й)=зйпз)Ч (1)=зйп (С,(+Сз)=(( '( — 1, С,(+С,<О.
""'.переключений управления и(1) — ие более одного. Уравнения семейсг' ".аык тРаектоРий пРи и(1) =1, хзз/2=х!+С! и пРи а(!) =- — 1, хзз/2= *."'!+Сз показаны иа рис. 9.!1а и рис. 9.116 соответственно. Под действи- ' аления и=-!-1 фазовая точка может попасть в начало координат :ао выделенной траектории; для того. чтобы фазоеая точка попала в координат не более чем за одно переключение, движение должно быгь авиано, как показано на рис.
9.!2. Систему, реализующую подобное нос по быстродействию движские, можно реализовать в соответ- 'Ю рис. 9.13. Рис. 9Л2. Фазовые траектории и оптимальный процесс Рмс ЭЛЗ. Схема системы оптимального уврввлепвя прп и= — М вкп чл Задача оптимального управления линейным процессом. Рас-;; смотрим простой линейный процесс, характеризуемый уравнени -' ем (9.60): х= — ах+та, где а и Т вЂ” положительные постоянные.
Начальное состояние процесса х(го)=хо, а управляюн1ее',,' воздействие ограничено: 1и~(М. Определим управляющее воз-':,' действие и(Г), которое обеспечивает минимум показателя каче-';,'. ства (9.7), т. е. Т(и) = ~ хз (и, г) о1г. в 11 Положим, что х1 —— х, и пусть новой координатой будет х,= ~ х,'о(г. Тогда дифференциальные уравнения системы (9.60) примут впд:', х~ — — а~к|+Та", Задача сводится теперь к определению управляющего воз '. действия и(1), минимизирующего критерий У. Функция Гамиль-,.:" тона (9.14) для этой системы имеет вид (9.62) Н=лрч11+лрв(т=лр1 ( — ах1+Ти) +лртхл~. Для применения принципа максимума необходимо найти максимум функции Гамильтона по отношению к и.
Очевидн~ что функция Гамильтона имеет максимум, если знак управляю:::." щего воздействия и, согласно (9.64), совпадает со знаком фь з:"„::, его значение равно максимально допустимому значению М, т. е и=Мзбпфь где 1, ф,>О; О, 4л=-О; -1, ф,СО. ннческие уравнения Гамильтона (9.56) имеют вид: х,=- — ах,+ (и, х,=х, с дН вЂ” ~,-- аф, --2хттр, дкр "' ьиые условия для х. ''тхв)=х'=х1о, хо(1о) =О.
"чные условия для ф: 4Х1) =О, лРт(Гл) = — ив= — 1, Ф(Го) =фпь к ~4)=О, ф,(1,) = — 1, )'=сопз1= — 1. "виляя условия (9.65) максимума функции Гамильтона в вские уравнения (9.56), получим ..1.-'. ах~+ ТМздпф„ аф~ — 2х~л)э=аф1+2хь 'сотные нз условия задачи граничные условия для этих хгвфференциальных уравнений имеют вид: '!~гео) =х"; ф(1,) =О. ,,=и есть аадача с граничными значениями в двух точках, 1(к граничные условия заданы для обоих концов траекто- „:;,,еперь приведенные ранее два дифференциальных уравне,, бходнмо решить относительно х~ и тр1 при этих двух ,ТГйых условиях. Процедура решения заключается в выбо- ,, вд значения лр1(1„) =р н в нахождении значений х, и , ',,которых удовлетворяется другое граничное условие ,,:.:,,'О.
После того как определено лр1 (го), находят управляю- действие и=Мзцплрь которое переключается согласно '"'функции ф1 (1). Следовательно, ф1 (Г) — требуемая функ- , Реключения. Стратегия оптимального управления и= ," лр1 может быть легко реализована (рис. 9.!4). да легче определить ф~(г) при помощи аналоговой мо;.' щей установки. Из рис. 9.15 следует, что управляющее , стане образуется посредством подачи переменной состоя- "М;:1скему, отмеченную пунктирной линией и известную под .,'вием сопряженной системы. Последнее понятие будет рас- ,..., о в дальнейших разделах, Оптимальное управляющее "4.': 265 Л 19),,,д и!у7 Ы ) аЕ тф ,о -лл .Р— л = 4.т+2аа Рис. 9.14.
Структурная схема оптимальной САР ! ! ! Рис. 9.15. Схема оптимальной САР с сопряженной системой 11) воздействие является нелинейной функцией переменной состоя;::.",' ния. Следует отметить, что закон управления не может бьпв',- выражен аналитически как функция переменной состояния ': Такую схему оптимального управления иногда нааывают релей-".! ным вариантом оптимального управления. Задача оптимального управления конечным состоянием. Прк, отсутствии ограничений на вектор управления в задаче Майера) классического вариационного исчисления определяют значение функции от координат состояния в конечный момент 1=1„т. вт) 7=!р[х(1!) 1.
Пусть управляемую систему описывают системой дифферен':,:;: циальиых уравнений и-го порядка —,,'=-,у2(х, ц) —.-~2(х)+~~11!!ил 1==1,2, ..., лч (9.67),' ! ! с граничными условиями х(1о) =хо; х(1!) = — х'. Эти уравнения линейны относительно т-мерного вектора управ'!:.;- ления п(1). На управляющие воздействия накладываются огра;.;; ничения вида ~и,~~«М„; (Му>0),1=1, 2, ..., т (9 66) ": Требуется определить вектор управления, миннмизируюшн '; нй "-' функцион ал ф!.т! (~)' "т2 (~)' ' ' ха (")!! 1. Введем новую координату хо(г) =ф[х(1) 1- ."ннтельное дифференциальное уравнение относительно 9!йпишем в виде дх! дг ! ! "' чными условиями с'"'((о) =<Р[хо] хо(1) =й ': Функция Гамильтона (9.14) для системы (9.67) 4-'- и ~* Ф «)=2) смдх дт+ х2ф2Л(х и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
