Солодовников (950639), страница 49
Текст из файла (страница 49)
(10.3) ,,, аимной корреляционной функцией двух стохастическнх ,,псов называют их смешанный момент второго порядка 279 Л: ху И! ~2) = М [х (Е1), Д (Я = — О х~е)2% к (хо Яз ~~ У2) Йх~й~ь (10,,1,',- ' )х~ а цептрированной взаимокорреляционной функцией я называ, .-",,-':. выр аженне й у (Р ~з) Л([х и Ю! [У ту (г*')В [Х lчХ(11)! [У Щу (12)[ )кз (Х 1 и' 12) г(лг(У' (10,$„; Математическое ожидание, корреляционная функция, дие„.:!; персия и взаимокорреляционцые функции, определяемые выра'...",-,' жениями (! 0.1) — (10.5) соответственно, являются основнымй[[ характеристиками случайных функций и стохастических прп"..-. цессов.
10.3. Стационарные и зргодические случайные процессы Математическое описание и экспериментальное исследовани$ случайных процессов, на которые нс наложено никаких огра.-:. ничений, представляют значительные трудности. Поэтому обыч=,'~ но рассматривают случайные процессы, удовлетворяющие опр ' деленным допущениям. Значительное внимание уделяется тз называемым стационарным случайным процессам. Случайный процесс 8(1) называют стационарным, если ма",; тематическое ожидание, или момент первого порядка т, длй) случайной переменной $ при различных значениях параметр'.".
постоянно, т. е. лр([Д== ~ хЮ(х, 1) гьг=- сопз1, а корреляционная функция д (1о 1,,) зависит только от раз~"„ ности аргументов, т. е. Ц(1, 1+ т) = ~ ~ х, (1+ т) хз (~) 1Г (х,; х,; т) пхфхм Б корреляционной теории случайная функция характерязу:;:,'. ется моментами первого и второго порядка-- математически:-',,:;: ьО ожиданием и корреляционной функцией. Математическое ож~.,!:.- дание является средним значением по множеству реализзп" ".:,; случайной функции, т. е. А 1[Я (8)[ = ~ хЮ'(зь ~) Ых=- ш (1).
280 '-""йг оценить математическое ожидание, необходимо выпол'-""::;.большое число экспериментов, а затем определить в каж';,;печении 1 среднее значение случайной функции. фйесмотрим условия, при которых удовлетворяется прибли'ое равенство 2Т~ ~"( ) ::любой реализации случайного процесса $ь Можно пока"':!'что это имеет место, когда дисперсия по всему ансамблю ""' ий 8; стремится к нулю при Т- о, т. е. (10.0) ьи[[,— ' 1 ~щ и — ~~ ~=-о (10.7) ':„'~,:этих условиях стационарный процесс называется эрго"'"им.
Если выполняется соотношение (10.7), то семейство ' 'чин сходится в средпеквадратнческом смысло к т при Р'й~ ~ ~И'('=-ш ч' .'.$йп — среднее по времени процесса й(1). Обозначим через '::,'Фреднее цо времени эргодического случайного процесса ',,Тогда, используя предыдущее соотношение, можно напи- Р) =м[~(1Ц=т ;:"ее по времени равно среднему по ансамблю, и прибли" е равенство (10.6) будет иметь место при достаточно ом Т для любой реализации эргодического случайного ', 'оса.
общая, можно сказать, что стационарный случайный про. Фбладает эргоднческим свойством, илн подчиняется эрго'кой гипотезе, если все его статистические свойства могут ,.„, определены но одной-единственной реализации. ':аким образом, каждая из систем может быть использована ,;:;:::анализа поведения некоторого множества систем: опре...ФЮтся ие только все их возможные состояния, по и вероят..., любой совокупности этих состояний. Это значительно , ает,исследование систем управления.
,'МЬрреляционная функция эргодического случайного процес[Йа основании определения (10.2) выражение для корреля, .' ой функции стационарного процесса может быть записа",'*')гак: 281 А(т)== ~ х! (у+т)хз(у)%'(х!. хз, т)г(хгг(хз== г 1 г (У+ ) (УМ(=- (1+ ) (У). г Физический смысл корреляционной функции (10.8) состои! в следующем: если случайная функция х(1) в момент 1 имеет", вероятность х!, то в момент 1+т она имеет значение хз, т.
е'."-„ характеризует взаимную связь между х(1) и х(1+т). Если малб по сравнению с постоянной времени системы, то связ,,''.",,! х((+т) и х(1) велика и значение гт(т) достигает максимума;,"' т. е. при очень малых т вероятность того, что значение фу!!кина':-" х((+т) мало отличается от значения функции х(1), т. е. близка':,", к единице. По мере увеличения т составляющая х(1), опредсз!я.:::~ емая начальным значением х(!) прн г=0, затухает, связь меж',:.'! ду величинами х(1) и х((+т) ослабевает, они делаются взаимо...': независимыми, а функция )с(т) стремится к нулю. Другнмя" словами, при достаточно больших т вероятность того, что зпа':,,'с чение х(1+т) будет мало отличаться от значения х(1), практи.'::,'.
чески равно нулю. Рассмотрим некоторые свойства корреляционной функции. 1. Корреляционная функция )г(т) случайного процесса, согласно (108);.'', со средним значением, равныл! нулю, прв достатошо больших т также стрег',', китса к нулю, т. е Иш )1 (т) = и~ ( ) == О. т- тч -1 2 Начальное значение )г(0) корреляционной функции )г(т) равно сред-;.„. нему значению квадрата случайной функции х(!) и поэтому положительно;у т. е. й (0) = Игп тг' (т) = хг ) О. т з Согласно определению, т 1 г" )т (0) = Иш 2 — ') х (г) х (!) т!(=ха. г„„2т ') 3. Корреляционная функцвя )тт(т) является четной относительно .г, т (г'(т) =-)т ( — 'г) 4.
Значение корреляционной функции )г(т) при любом т не може! пре".! выпать ее начального значения, т. е. )г (0) ) !Я(т) ~. При анализе случайных процессов часто пользу!отея понятием нормнро':.") ванной корреляционной функции (очевидно, что р(0) =1): й (г) гг' (0) При рассмотрении вязи двух случайных процессов х(!) н у(г), соглзг" определению (10.4), используют ваанмокорреляционную функцию )г „(т) т УГхр(т)= Иш 1 х(!)р(! ! т)г!!. (10.01 , -"г 282 )!1)ваимокоррелягтноиная функция Япр(т) в соответствии с (109) опреде":;::йзаимную связь различных случайных процессов, Примером таких про'' '"могут быть дне координаты пространственного положения подзнж- вйъекта ;":::.Рйссмотрим некоторые примеры корреляционной функции 'Фпа ,'.;-'. Белый шум — зто случайный процесс, характеризую!цийп)отсутствием какой-либо взаимосвязи между предыдущими и " едующими значениями х(1).
Такой процесс еще называют мт" ютно случайным. Корреляционная функция белого шума "йа. нулю прн всех значениях т, кроме т=0, и ее можно з)уставить в виде дельта-функции (рис. 10.4, а) или, практи- сг Рнс. 10А. Корреляционная функция. и — баяпгп шума, сяучайиппг прописав б — содержащего по стояииную саставаяатщуих и — с парипдичасипй спставаявтщай г - - бга ппстпяяапй и гаркави геспой согтаваяющих ', в виде импульса достаточно малой длительности. ';;-;,йп.- Случайный процесс х(() содержит постоянную составля- ю. Корреляционная функция Й(т) также будет содержать ,тбянную составляющую (рис.
10.4, б). 283 3. Случайный процесс х(!) содержит периодическую состав..'') ляющую. Корреляционная функция гт'(т) также будет содер жать периодическую составляющую, которая имеет тот же пе. ",",,", рнод (рис. 10.4, в). 4. Если стационарный случайный процесс х(!) не имеет постоянной и периодической составляющих, корреляционпа„ функция Л(т) имеет внд, показанный .на рис. 10.4, г.
На практике корреляционную функцию обычно вычислякгг ',-'-' путем обработки экспериментальных данных, представляющих:;., собой запись, или реализацию, исследуемого случайного про. цесса. Корреляционная функция Тт(т) определяется выражи нием т )!!'„(т)ж,— ~ х(1)х((+т) гФ. 1 (10.10) .: — 'т Промежуток времени Т делят ца Л! малых интервалов Л так,:,,' чтобы функция х(!) мало изменялась на каждом из них (рнс, -,:,' 10.5), т. е. Т=)т'Л, ! и т придают дискретные значения, крат-:!:, ные Л: (=тЛ, о=1, 2, т=рЛ, р=О, 1, "":„рассмотрении положительного промежутка времени Т ла (10.12) имеет вид: л' — я 1 ';,"Д,4р) = —,-,~, х,х„!., р > О. (10.13) т -! !~(ля взанмокорреляционной функции )т'„т(т) приближенно о написать л!-и 1 %~ ='::.'Р (р) =„=, тр.+ ° р~О.
(10. 14) т=! ~формулы (!О.!8) и (1О 14) показыва!от, какам образом могут быть выы коррелящюнная функцвя экспериментальной кривой х(!) и взаимоцнонная функция кривых х(0 и у(!) прн помощи изменения ординат з!кривых, расположенных друг от друга на расстоянии Л в пределах рас' "нваемого интервала Т. риведенный способ определения корреляционной функции по зксперииым данным представляет собой трудоемкий процесс. Так, например, !ваго чтобы вычислим ординату корреляционной функцив, необходимо н 1!' — р действий умножения и Л' — р дейсгвий сложения.
Поэтому Рис. 10.5. Определение корреляционной функции по экспериментальным данным т,", При сделанных допущениях интеграл в формуле (10 10),~ можно заменить знаком суммы н записать )т( )=-14(рЛ)= — ~~ ~х( Л)х(( +р)Л) (10,! 1); при т==рЛ, р-=О, 1, 2, ... Далее вводят обозначения: Я(рЛ) =1((р); х(тЛ) =х,; х((т+р)Л)=х,!ж Тогда выражение (10.11) можно представить в виде !тт» (Р) о а~1~~ ХтХВ 1-т (10.12);-:, я- — л я Рве. 1О.В.
Функциональная схема коррелятора 284 разработаны приборы-корреляторы, которые позволяют и ряде случаев томатизировать вычисление корреляционной функцвв. Формулы (!08) и (10.9) для автокорреляционной и взаимокорреляцноа ной функцвй показывают, что корреляторы должны ьроводвть следуюнгл~ ?!, операции (рис. 10.б). преобразовывать ординаты кривых х(!) и у(Г), заданных, например, в виде осцпллограмм, в некоторые пропорциональные им физвческие вел~гчв !-:~ иы (перемещения, напряжения и т. д.); перемножать велящим, соответствуюпгне ординатам кривых х(0 и и(г) '', "'й для значеввй ! и сдвинутые друг относительно друга на т; интегрировать результат умножения в пределах выбранного промежуг -,'!.- ка г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
