Солодовников (950639), страница 51
Текст из файла (страница 51)
10.13). Б этом слу'чзе ~омахи могут быть пол':атфилыраааны 2В случае, когда упранлшощее аоадейстане имеет спектр частот, очень ."'убыиающнн прн аозрастании частоты, а спектр помех близок к бе';:щауму (рис. !0.14). Форму амплитудной частотаой характерисзнки л'1:гл) .;„!э' (ябпч)! 292 Рис. 1О.!3. Выбор полосы частот системы и случае высокоча статного аозмущзющего воздействия (аысокачастотной по мехи) !! гэ Рис. 10.12. АЧХ системы и спектральные плотности снгналои более высокочастотный спектр, чем полезный сигнал, то пр сужении полосы пропускания системы (кривая А! (Ф) рис.
10.12) система почти,не будет реагировать на помехи. Н' в этом случае значительно возрастает ошибка воспроизведен, полезного сигнала. Если. увеличить полосу пропускания (крива' Аз(ш) на рис. 10.!2), то влияние помехи существенно войк растает. Поэтому при решении подобных задач необходим не,; который компромисс, обеспечивающий наивыгоднейшие услб' вия работы системы.
Возможны следующие три способа решения задачи синтеза следящих см: стем при наличия помех. 1. В случае, когда полезный сигнал имеет гораздо более низко'пзстпч) иый спектр, чем помехи (рис. 10.13). Волоса пропускання системы долж) г/ш) л !'гэ) О пэ Рис. 10.14. Выбор ЛЧХ системы прн бысгроубыиаючпем спектре частот полезного сигнала и прн наличии помехи а аиде белого шума ', 1, разомкнутой системы аыбнрают при низких частотах (когда рь,Ц н сконцентрнронана огненная энергия полезного снчналз) зоз",'::,более близкой к форме ЛЧХ полезного си нала.
Прн этом Ль!Х ' " ой системьч должна быстро убывать, по назмажпоши следуя аа "'щвй ЛЧХ сипчзла. '",' и образом, достигают, с одной стороны, раиномернага о:лаблення "' всего основного спектра частот полезного сигнала па ошибку вале чагтот, содержащем основную энергию сигнала, аьшлатудный !~пщибкн оказызается приблизительно равным малой пастоянпок нели')й)ч а с другой, — уменьшения злняиия помех заиду быстрого убына- иий (йг()чп) ). Выстрота убызания функции 11р()чэ) ) ничем не огра, ея лишь при ))р()гэ)) лх1.
Для значений ы, при которых 1)р'(1чз)) =1, быстрое убынаннс этой величины может прннестп к уменьшению тойчнзастп нлп даже к нарушеншо устойчнностн систеччы. случае, когда спектры частот полезного сигнала и палчехи наклая друг на друга (см. рис. 1012) и имеют произнольнуча форму. ; „,соб даеч нааболее строгий н общий подход к решению задачи син,:,, 'толька следящих, но и других преобразующих систем при наличии ...0истеьчу часто счроят так, чтобы ее частотная характеристика мак,",!)а.
приближалась к спек~ральной хзрактернсчике полезного сигнала. ''2)(йетод оптимизации динамических систем при случайных воздействиях (фильтры Винера) ,.Йрокое применение получил метед синтеза оптимальных на основе критерия минимума среднеквадратической 1!и. Согласно Н. Винеру, постановка задачи синтеза заклю- в следующем. Предполагается, что на вход системы лойе)т управляющее воздействие (полезный сигнал) пт(!) с , енным на него возмущакицим воздействием (помехой) ":;таи, что входной сигнал Чч(!) имеет вид (рис. 10.15) 203 Рнс.
10.16. Постепенна задача Винера (опредеаенне оптнмаль- ной частотной харантернстнкн Ф((е«) системы) «р(1) =тп(1)+а(1), где т(1) и пЯ вЂ” стационарные случайные сигналы с нзвест',.' ными корреляционными функциями и равными нулю среднни«1.-, значениями. Система должна осуществлять линейное преобразовени62 полезного сигнала т(1) на входе в сигнал Ь(1)=)«(1) на вь«хо(~ де согласно формуле ЦЬ (1) ) = 11 (з ) Цт (1) ), где Н (з) — заданный преобразующий опер атор.
Требуется, пользуясь зтими данными, найти импульсну«а не",, реходную функцию Ь(1), удовлетворяющую условию физиче.;:: ской осуществимости Ь(Е)=0, 1(0 и обеспечивающую минимум среднего значения квадрата, ошибки ее=-1)ш — ' — ~ (Ь(р) — х(р))тот' т между требуемым Ь(1) и возможным в рассматриваемых усл«рс виях изменением значения величины х(1) на выходе систем«2«1«р Интегральное уравнение, определяющее минимум средне;::: квадратической ошибки. Найдем выражение для среднего заа'.' чения квадрата ошибки ат. Учитывая, что х (1) =- ~ р (1 — ) Ь (тМ ° цолучим на основе (10.27) т 2 )2 —,', ~ ~~()- ~ ( — ) (.)~~ л. — 'т (10.29) (10.30) "' 'заключается в том, чтобы найти передаточную функ- ' '(2«о) системы $.
«=)2«««~-г 2« "" ";образом, чтобы значение ет было минимальным, "скрыв в (10.23) фигурные скобки и поменяв порядок инвания, получим т 22 т Пш о) ~ Ь (~)««' — 2 ~ Ь(Л)с«Л))ш от ~ Ь(г)Х -т -'т ,«р(р — Л)Ф+ ~ Ь(Л)«(Л ~ Ь(б)Ю1) и р .-Х «р (1 — т) «р (1 — 6) «12. в рассмотрение корреляционные функции ":~~)=й~ 2, ~ Ь(+ )Й()с«; т И(К)=йт- — ') «р(«+т)«р(~) «(с.=-)«' (т)+й«п(т)+ т 22 -'т „;".Ч (т)+)т. (т)*' т ,; ( )=-" 2у ~ Ь6+ ) «рЯФ=-й (т)+р~».
(т) ,))яв во внимание,' что т " —,', ~ Ь'(1) (1=)~„(0), ,о (10.29) можно написать ,,;:д„(0) — 2 ~ Ь(Л))ра,(Л) Л+ , " $ Ь (Л) «) (Л) ~ Ь (д) Ь,'~ (Л вЂ” 6) сЮ. ,:,::,как согласно условию физической осуществимости ,:~)-0, 1~0, то нижние пределы интегрирования в (10.30) нужно прина,"',! равными нулю: —,а )э, (0) 2 ~ 7 (),) 7~„(),),77, + о +(~й(Л),7).~й(0)7~„(), 0) И.
(10.31).,'-, д о Уравнение (10.31) показывает, что вид й(!) при ра!ссматрн:!! ваемых условиях зависит не от самих функций г!(!) и гр(!) от их корреляционных функций. Это означает, что если имеют,:." ся две совокупности функций (й(!)), (гр(1)) с корреляционг!го~~! функциями )(ь(т), )т,(т), )с„(т) и если известна функция а:(!)::.',:! да!ощая минимум среднего значения квадрата ошибки для ка.
кнх-либо двух функций й(1), гр(1), входящих в рассмотренна:,'," то эта же функция ))(!) даст минимум среднего значения квадь! рата ошибки и для любых других функций, входящих в тс же:, совокупности. 11еобходимое и достаточное условие для того, чтобы фуна-' ция й(!) обращала выражение (10.31) в минимум, заключает " в том, чтобы опа представляла собой решение интегрально" уравнения Гг„(т) — ~)~,( — Л)А(7,) %==-0, т~о. (103 ' б Рассмотрим другой вывод уравнения (!032). Величину в' (см. формулу ИХ31) с точностью до постоянной 7Ч(б) определяют выражением 1= — 2~4(Х)7!а,(Л)ЛЛ+~ Л(Х)Л,) Л(0)х,(Х вЂ” 0) Э. (!0.3 Пусть 77ае(Х)=-~ )7е (Х вЂ” О) Ч(0) И, ЛЬ0, (!0.34( Ь где д(0) — пока неиавестная функция, которая должна быть найдена 1ак!ау! обрааом, чтобы выражение (10.33) имело минимум.
Учитыная (Ю.34), вместо (10.33) можно написать 2('Ч(0)„0) )7 (Х 0)а(Х)л) ~ «(6)лб~ Л(Х)77 (Х 0),!Л,.-'., Ь 'г Ь о Ю = — ~ п(0) Нб ( 77, (Х вЂ” О) о(!.) гг(Х) ! о о +) (л (0) — ч (0)1 пб 1' )7, (л — 0) (л (х) — ч (!.)1 лл. (!О- .;,!," .Ф::- о 1 (' Учитывая, что )7 (т)= —. ) 5 (ы) с )меток н полагая е 2п Ю 'й)ю)=~ а(г) е ) ~а'г. (10.35) нолучилс ф — -' ' — 2 ') О(0) е )мегГ0 ~ Ч(Х) е)мкя. ~ я (ю) г!ы+ 1 <' о „ьф — „(л (О) — д(6))е ™бЮ е)мк(л (Х) — 7(Х))гть ~ Яе(ю) г!ив Ял д о 1 — — ~ 1!7(уы) ГЗ„(в) кю+ — 1Ф (уы) — я О ы) р я (ю) !ю.
(!0.36) ' ' ажение (10.36), очевидно, имеет мвнимум, если '()в) =.4)(йн) . '„.:~илу (10Л7). мо>кгю написать ф=л(!), "''ство (10.34) сведется к интегральному уравненню (10732). Угловия а на еа определяют антегральиым уравнением (10.32). (10.37) ,;,-::40.7. Решение интегрального уравнения относительно оптимальной передаточной функции е. рассматривая процедуру решения интегрального урав- (10.32) относительно ИПФ гс(1) или соответствующей ей ' аточной функции Ф(!в)=~ й(1)е '"'г(7, приведем окопчаое решение. Оно имеет вид 8а (ы) () е-!"" ( е) 'аЪ, 2пЧ' (/ю) \,) Ч'ь (/га) С ''Ф(уо!) и Чге (/в) определяют как комплексно-сопрянсепныс ,„'М; выражения для спектральной плотности = ~ Д, (в)е !'"Ю. „, ет обратить внимание на определение комплексно-сопря,'ых функций Чгв и Ч' по спектральной плотности Б,(в) .„' Задача снодится к разложению четной, симметричной и Я,(о!) на два множителя: '„(в)=Ч'()в)Ч' ()в) =! Ч'(!в) Г.
,(к)бозначнм квадратичную ЛЧХ спектральной плотности <;- 297 5,(го) через А '(в) -! Ч'(у )!'-Чг Ц ) Ч'*(уоу). где 1з( ) ео+е,во+... +шов с, + с, в'+... + в'л и все коэффициенты ео, еь..., со, сг и т. д. — вещественны. Учитывая, что корни числителя у~ и знаменателя )у< являют„.-., ся комплексно-сопряженными, можно написать Аз, Г (в — уо)."(в — угл) т. (в хи) ° ° (в хо) Х х[ ( — л,о)...
(со — ол~) (10.38);::" где у< а<+УР~,' "(,о а,— Убо а;)О. Обозначим первое из выражений в правой части (10.38)„:;: содержащее все нули и полюсы в верхней полуплоскости, через::,' Ч" (ув) а второе, в нижней полуплоскости, через Что(ув). Та."..,' ким образом, задача определения Чг(ув) и Что(ув), входящих:";-: в формулу (10.38), заключается в факторизации, нли рвало;' женин на множители, спектральной функции 5,(в).
Рассмотрим выражение для оптимальной среднекнадратической ошибкн.''-, Оно может быть представлено в виде ен В(0)11 где! определяют Формулой (10.33). Из (10.36) следует, что в случае удовлетворения условия оптимума'-' (10.37) 1 7= — — ~ )гз (Ув) 1' 8 (в) его. Позтому минимальное среднее значснис квадрата ошибки ао~1о= )с*(0) — 2 — ) 1Ф (У»01 Яе (в) с(в. (10.39);„' (10.49)),:,. Учитывая, чго 298 1 )7а (0)=-(н=г — ~ Яа (в) лв и подставляя (10.40) з (10.39), найдем и ~ = — ~ (8а(в) — 1(9Ов)(о8 (ойлв- (10 41):„' Иногда может оказаться более удобной другая бюпмула для еом~ торую можно получить нз (10.41)." — ~ (Я* (в) — 1В (Ув) р) огв.
-~ю "4'В(Ув) 1* Л =) Р'(1) Л( о '" тельгю 1 . =77а(0) — г— „- ') р'(')". о 10.8. Алгоритм вычисления фильтров 'рвдположим, что на вход системы подается стационарный ,')ь(ный сигнал 'о'(М)+и (1), '.(1) — полезный сигнал; п(1) — помеха. ' ределим передаточную функцию системы таким образом, "'":она воспроизводила на выходе с минимальной средне- ';атической ошибкой полезный сигнал т(1). Эту задачу ", и задачей сглаживания, так как помеха п(4) обычно со'т более высокие частоты, чем полезный сигнал т(1), и ',' 'шее воспроизведение этого сигнала может быть достиг- '."(лишь в результате «сглаживания» входного сигнала, т.
е. ; ения его высокочастотных составляющих. 'рассматриваемом случае чз) *= и (1), .,"(в) =5 (в)+5„(в)+5 (в)+5 (в), , )4(в) =5,(в) 5 (в)+5 (в) ая формула имеет вид .:,';:~((йв)-- — ~ е — '"' г(4 ~ '. е( ч Ь, 2 т" (У ) 3 У чго()чо) о око)(в)1'=5,( ). (10.42) ':гласно (10.41), минимальное среднее значение квадрата кн сглаживания в~;„.= — () (5 ( ) — ~йу(Ув)1'5 ( Ис(» (10.43) Фтячисление оптимальной сглаживающей передаточной ,,, ' и. Заданы аналитические выражения для спектральных „, остей 5,(в) и 5 (в) в виде дробно-рациональных функ299 ций от в.
Выражение для 8 (в) представляет собой четнуд:.") функцию от в как при отсутствии, так и при наличии взаим»( корреляции между полезным сигналом и помехами. Дегйсг»,„ь'::.':, тельно, в первом случае 5,(в)=--5, (га)=0, ). 5 ( )+5 ( ) (1»144))( Из (10,44) ясно, что функция 5,(в) является четной, так как, она представляет собой сумму двух четных функций: 5,)())) а„)3 5„(в). Функции 5„„(в) и 5 (в) имеют комплексно-сопряженные )4 нули н полюсы. Поэтому выражение 5„„(в)+5 (в) являетса!:;" четной функцией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
