Солодовников (950639), страница 55
Текст из файла (страница 55)
11.6. Ф Рис. 11.5. Схема взаимокорреляционного метода Рис. 11.3. Структурн ая схема анализатора для определения с, 319 318 2 й (0) 1 й (Т) й (2Т) х, (»') ==- —, ~ х ().) с()., о причем х(() =«(() сн (( — т); (() =И() +и((); р (() =-= ~(,й (Ч) т (1 — Ч) с(Ч (11.16) (11,16) получа' )т (т) =М(т(1)т(1+т)) равна функции г. е 320 2! †36 321 ПХумы т(с) и п(1) предполагают зргодическими с пулов,„' средним значением.
Усредненный выход коррелятора с о Математическое ожидание выхода коррелятора М(ха(1))=- — ~ М[х(Х)[с(й==М[х(()[=Утт»(т о где У(,л»(т) — взаимокорреляционная функция. Из уравнения а(()=у(г)+н(() и уравнения ем, что функция М(х,(У))- У7м,(т) ~й(с))У~м(т т))с(т).
(11.1 о' Один путь решения состоит в применении настраиваемои мо'.' дели таким образом, чтобы ут' (т) была ее выходным сигналоМ'; при входе ут (т). Итак, идентификацию объекта можно осуществить, восполь-':ь зовавшись Л' корреляторами, соединенными параллельно„т. Ф:"::, Ут (тс)=-Ут(тс), ! 1, 2,..., Ас, Другой подход основан на аппроксимации интеграла (11.14): гся [!и —,)г У(и»(т)= ['й (с!) У!/»(т — Ч)лс!+Х [ й (и!) йт(т — с!) Л»1, '='[-й Т Ка» (йТ) -2-Сс (О) У!»(йТ) 1-~я~', й (»Т) сги(й — с) Т. (!1,!»гй ! ! В качестве примера перепишем уравнение (!!,16) в матричном виде трех аыборочаых значений ИПФ: [ Уса» (О) 1 [ сги (О) Аи( — Т) Аа( — 2Т) 1 .и (Г) = с!и» (Т) Ри(Т) У!и (О) У(и ( — Т) У»и» (2Т) Уй» (2Т) Аа (С) С!а (О) С», что матрица Яа(т) симметричная, т.
е. К«(т) =-Па( — т). реле»ение оценки й(т) может быть свяэаио с переходом в частотную , Применяя преобразование Фурье к уравнению (! !.16), получим ((то) =.—. Ф (!до Р. (рн), яи» (ую) (уы) =- 3 (уос) ° ' год корреляционных функций и»сеет ряд положительвых качести: тификацпя может проводиться в условиях реальной эксплуатации; реляции и пределах достаточно продолж.стельного периода времени ет сделать амплитуду тестового сигнала очень малой, поэтому сигнал белого шума не может повлиять на режим работы объекта; в) ника'"риорной информации о системе не требуется.
ф'.есть и следующие недостатки, ограничивающие применение метода: '' я идентификации обычно должно быть весьма продолнгительиым; "бходнмость получения белого шума является самостоятельной пробле;"В) метод ограничен лкнейными свстемамн с постоянными параметрами ,крайней мере системами, параметры которых достаточно медленно 'Ются во времени; ' пля выявления высокочастотных составляющвх й(с) необходимо, что;товый сигнал т,(С) был широкополосным. 11.5.
Ортогональиый метод моментов »б .[»оадположив, что принимаются меры для исключения из '" ин САУ составляющей свободного движения, можно точно "ть интегральное уравнение (11.1) на основе теоремы свер' на, если известны изображения входного (У(и) и выход.::у (а) сигналов: '(в) = яу(з) (у (з), (11.16) ~„,::(з) — передаточная функция системы. ..ральное уравнение (11.1) сведено к простой алгебраиче;;:,'форме. Однако для решения (11.16) необходимо найти ';ажения произвольных действующих сигналов и(() и у(1), ": м по вычисленной из выражения (11.16) функции (»а(з) '; й(() ассмотрим преобразование Лапласа: ' (з) === ~ и (() е'сс(г'. (11.17) о „',"лществует ряд методов приближенного решения интеграль.,'':-уравнения (11.17) относительно и((), отличающихся сложвычислсний, значением ошибки и характером ограниче:,::-Для определения динамических характеристик с использо...,,.ьт средств вычислительной техники удобным является орахльный метод моментов (11.20) (11.21) ЧП(г) Е а'~Ул(1) ~2И==ма, 0 (й ~п.
(1 1.22) (11.28) (11.24) ,;,",(й) =,")', са<ра(~), а-о '!ма= ~ й (1) <ре (1) тв (1) сУ вЂ” коэфф о - едователь ;!.:''Для этого .4ннтезнрова (11.25) ициенты Фурьш вычислению коэффициентов ь ортогональную систему найти связь между (с„) и но, задачу сводят к необходимо выбрат ть (~р,(1)), а далее 323 322 Привлечение понятий классической проблемы моментов и,, зволяет осуществить интерполяцию и экстраполяцию приблил, ".!-, ния функции с помощью функционала (11.8).
Наиболее пр .:,'.-",,. стые вычислительные схемы получают, если рассматривать нз бражение Лапласа как моментную функцию для оригинал ,':, Тогда рещение интегрального уравнения (11.17) относителен !:=' 1о,'."~ подынтегрального переменного, т.
е. «восстановление» оригнна:",",, ла„например, импульсной переходной функции й(1), сводят нахождению значений изображения — передаточной функцн„,',",' %'(3) — в вещественных точках. В этом случае иитегральн уравнение принимает вид Ю'(э) =- ~ е ий (1) то (1) с(1, (11 18)',! д' где го(1) — весовая функция, которая, например, имеет внй.',: щ(1) =е" (здесь с — постоянная величина).
Это интегральное уравнение хорошо согласуется с формула:,.', ми обращения Римана и Меллина н обеспечивает выполпення:-,'. условия (1)1й(~)~ (1< а 3 Полную систему функций образует система (е-"); А=О, 1, 2,... (11.19)',: в пространстве Х.е(0, со). Полагая в выражении (11,18) а=0','::: 1, 2,..., получим моменты 1ьа функции А(1) с весом св(1) отис';"~ сительно системы (11.19) в виде (рис. 11.6): ай2 юФ Рнс. Ы.б. Идентификация ортогональным методом моментов =~ то(1)е '%(1) 61, А=-О, 1,2 ':у о "" вительно, решение задачи сводят к отысканию по задан- "'':.моментам (1са) многочлена степени и относительно показасцпй функции е-' ,„'(1)=- ~~а~в и у-о '"'о вида, что стема (11.22) линейна относительно неполных коэффи"" 'в ао, аь..., а„. Она имеет решение и притом едипствен;'Это решение удовлетворяет критерию минимума взвешен"';."-:квадрата ошибки (11.8). Минимум является абсолютным, ;::многочлен д„(1), коэффициенты которого определены из " ения (11.22), построен на основе ортогональной системы.
', определению, многочлен д„(1) можно представить в виде ";уоннтерполяционного многочлена в моментах, т. е. '-(г)= ~л)~~ рафа (г) а-о ".'-К,(~) — многочлены степсни и, такие, что :,имеется классическая ортогональная система (~рь(1)) с ,пй функцией го(1), или система, полученная из выражения '",ай) методами ортогоналнзации, то многочлен д,(1) можно „тавить в виде Разложив в ряд Фурье функцию е-", получим е "=,~'„Х~( )ср (г); (11.28)', где ,р (») асю+а(«)е-с+ +а«е — «1, ортогональных с весовой функцией е-' на интервале (О; о):!'" Коэффициенты разложения определяют из выражения с« =- ~ й (») е сср«(с) с(с.
о' Это выражение можно переписать так: 1 с«== ~ й(»)(а!«>+а!«!е '+а1"!е "+... +а«с«)е «) с(е '=- о' 1 1 =. аосю ~ й (с) с(е-1+ а!с«> ~ й (») е-сс(е-1+ о о 324 Х« (3) = ~ е «!та (») ср» (») сй. о' Последнее выражение имеет место для любого з с Гсез)О Н "::: осноне обобщенного равенства Парсеваля получим %' (3) = ~ та(») е «сй (») аЧ =- ~' с«Х«(з). (11.22)' о «-о Можно показать, что вычисление коэффициентов (с«) в фор.,':~: ме ряда (11.27) обеспечивает абсолютную и равномерную схсь димость в плоскости 1(е э~О. Аппроксимирующий многочлен (11.25) в этом случае может;; быть представлен в виде д„(»)= ~~с«е '"', (11.28», ПРИЧЕМ СИСтЕМа (Е-'«') таКжЕ ПрИНадЛЕжИт ИНтЕрВаЛу (О; оо);-':1 Ортогонализируя исходную систему (11.19), получим мета".:;: дом Грамма — Шмидта систему функций (ср«Я1 %) (с) =а« ср, (») = — а!О+ <'>е ', <р (с)=ам)+а(ме 1+а(о)е о', о 1 '":::,ф~) ~ Д (~) е-ос ( о' 1 аом! ~ ь (е-с) ! -' а!о«! $ й (е- с) е-о тэоэффи е-1+...
+ ас«! ~ й (с) е «сс(е ', о с(е !+а!!«! ~й (е ') е сс(е'+ о' 1 сс(е-! 1 ... +асм ~ й (Е ') е «сс(е '= о а(«1!о+а$«)1«о+... +а!«>1«« (11.29) циенты (с«) связаны с моментами (11«) выражениями — а«1!о а»1!1«о+с«!с!!91~ асо)9 ~- а(м1«+а(о)1« (11.30) 325 =а(«)9 ~- а(«!р, +а~«)$А,+. +а(«!9„, моменты (1««) вычисляют по изображению Лапласа ' при й=О, 1, 2,... Необходимо иметь в виду, что на оснотеоремы смещения аргумент з в изображении )Р'(з) изна а!=а+с, где с — масштабный коэффициент весовой ни а (1) = е — ' из выражения (11.23). ' ема Ф„, (1)) и система (ср«(1)) связаны рекуррентными Шениями «1„(1) =Ч'.. !(1)+а«1«1ср«(Г), 0 й~сс — 1, о! (1)=а "1р" (с), (11.31) ря — коэффициенты многочлена « , "(»)=-~ ас„"'е ". , приведенной ранее вычислительной схеме (11.18) — (11.31) использовать классические ортогональные системы поли- ;;П'Якоби, Лежандра, Эрнеста и, особенно, Лягерра.
нсление изображения Лапласа основано на том, что , Жение известной функции )'(1) на 1 соответствует диффе- ,,Нрованию изображения с изменеяием знака, т. е. й' "-,1(з)= ~ ( — 1)" ~«у(г) е «сс(». (11.32) ,вычисляя взвешенные моменты функции 1(»), входящей в ение (11.32), получим (11.35) (Ц.ЗЗ) "' (11.36) р.= ./ (/) (~) (1; — рч =- У/Я Я г/~; о ( — 1)"!е,= ~ / "/ Я ее (У) сКЮ. о Ввиду аналитичности изображения Лапласа получим при ф!вх,,'г ции ои(/)=е —" необходимое число производных изображения а', точке з=с: про='"о' ,..))е)зо+ Мо = сх~ !ф)ео+2р1Й + !ьг()о=- е»ь' '))))ее+ 3!х~Рг+ ЗМ, + зезбо =- аз ' ' ' + 4!ее Рз + 6!ьг(!г + 4!хз~~ + !зеро —— сзе! ',.!з + 5!ез де+ 10!хгрз+ 10!хзрг+ 5!еезч + !азрео —— аз ";да моменты импульсной переходной функции сха оса ра!ьа сха Раба 2!ьапа р.' ра ' ра !ч ' !ьг а,— йр,— зй,р,— зр,р, .
:~-рз= ие / (/) е-садз' (~ (зя о г Гл — !И= ~11Я~ 'е//= -Р(~)" "дз !а-и' о ( — 1)л !х „= ~ 1 "у (/) е сеоЧ = 1 — „Р (з) ~ о Возвратимся к уравнению (11.16). Используя, например, поз:,: линомы Лягерра, запишем следующую систему равенств (сиз рис. 11.7): Рис. !з,7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
