Солодовников (950639), страница 25
Текст из файла (страница 25)
+а1)с+по=О ' все корни этого уравнения находятся в левой части оной плоскости а (система устойчива), а в правой части ""гтя корней нет. то т=О и изменение аргумента :,,'«эта В (У' ь) =. Лл. 'дтв следует вывод; САР является устойчивой, если при ""фтании ь от — о до +ос изменение аргумента вектора ').;:будет равно пп, где п — степень характеристического "' в(пня 0(Х) =О. фу: изменении частоты ь от — оо до +со вектор 0((ь) на иеной плоскости опишет своим концом кривую, которая 'ся характеристической кривой, или годографом век;;,'Лк() ь) .
...;ввнение характеристической кривой определяют под'рй к=!ь в многочлен О(),) и последующим разделе- 'действительной и мнимой частей. ,Д~ь) =а„(/ь)'+а,-~ ()ь)"-'+... +а| ((ь)+ао, , '~ь)=и(ь)+)о(ь), ,',;(Е):=ао — агьа+ааь'— -'(кн) = а ь — а ьа+ано' —... тельная часть и(ь) является четной функцией, а мни.„;::~кисть о(ь) — нечетной функцией частоты со, т. е. и( — со)=- ь); и( — еа) =--о(ь).
Поэтому для отрицательных значе3ф -,~~('. -'(ь) =и(ь) — )и(ь). .. да "следует, что характеристическая кривая симметрич':мт)юсительно действительной оси для +ь и — ь. При по«й ",',,„МНИ характеристической кривой можно ограничиться лишь !39 положительными значениями о> от 0 до со. Нри этом угол па.: ворота вектора 1х()гв), т. е. изменение аргумента 1)()ол), умень.. а шается вдвое и критерий устойчивости формулируется следу!а.;„',:-',," щим образом. !): СЛР будет устойчивой, если при возрастании частоты щ аг - .ча 0 до +са вектор .()()го) повернется на угол пп/2 (где л - й(у степень уравнения В(Х) =О).
Это означает, что вектор харак.. (.::" теристической кривой (при изменении частоты от 0 да + с,:: "). начиная с положительной действительной оси) последовател,.",,-' но «обходл!т» л квадрантов в положительном направленив:- т. е. против часовой стрелки. На рис. 5.6 приведены характеристики, соответствующие':,' устойчивой системе. 11ри п=1 изменение аргумента равно глу2,:. прн и=-2 изменение аргумента равно и и характеристическая,,' кривая .проходит через два квадранта, н т. д.
Рик З.а. Характеристические кривые Рис. З.7. Годограф ие(годографы) дая устойчивых систем устойчивой системы (л=1 ... 5) На,рис. 5.7 приведена характеристическая кривая для и=:,' =-4, которая соответствует неустойчивой системе. Система бу-:.: дет находиться на границе устойчивости, если ее характерас:::, тнческая кривая при некотором значении пересекает начало,::„ координат, обходя при этом (и — 1) квадрантов. Частота гв яв-".,' ляется одновременно корнем уравнений и(го) =0 и о(ы) =О. В ряде случаев может быть использован критерий устойчн.
':: ности, называемый критерием перемежаемости корней (рис, 5.8.' и 5.9). Действительно, характеристическая кривая при нз-::! менении го от 0 до со будет обходить в положительном на-:::" правлении и квадрантов и система устойчива, если и(0) = 0:,::.: о(0)=О и уравнения и(гв)=0 н о(го)=0 имеют все действ!л''1' тельные и перемежающиеся корни, т.
е. если между каждымн:,;-:, двумя соседними корнями о(го)=-0 лежит корень уравнения ' и(го)=-0 или между двумя соседними корнями и(го) находнтск ',:-' корень уравнения о(гв).=.0. 140 твз.-;'(нли Устойчивости системы коРни Должны пеРемежатьсЯ и "'' вещественными, а сумма корней долхлна быть равна по- '7Ф.: " 'улуравнення п ":::рсай(с. 5.8 при л=-4 изображены характеристические кривые, '"'чллетствующне устойчивой системе, а на рнс. 5.9 — неустой' " й,'системе Фар итар игы) илз ггы! Ф.., г „„,р, „р о "". Ь.З.
Вещественнав и мнимав Рис. 6.9. Вещественная и миимаа кривой Р()ы) устойчивой части кривой Р((тв) неустойчивой САР (л=-4) САР (в=4) ()аплитудно-фазовый критерий устойчивости (частотный ' 'ий устойчивости Найквиста — Михайлова). Этот крите:;:Основанный на рассмотрении частотных характеристик '.киутых СЛР, был впервые доказан Найквистом приме- , "но к ламповым усилителям с обратной связью и введен 'йловым в теорию автоматического регулирования. Дан- 4)ритерийл, как и критерий Михайлова, вытекает из прин'.Вргуклеита вывода амплитудно-фазового критерия устойчивости , Фгрим вспомогательную функцию гр()р), которая связа„;;.частотной характеристикой разомкнутой системы Ю'()го) еннем (улв) =1+(Р()гв).
ная характеристика разомкнутой системы ))ч()го) может „',:выражена через полнномы числителя й(р()ло) и знамена„Ьр((го) РазомкнУтой системы: М (М 4)т.(уел) = — ' слр (уы)' ;";"а, глр (ула) 1 Мр (уи) () ( ги) Г~г ()ы) ~р (ММ' аменатсль функции гр()ло) представляет собой характе.ческую кривую разомкнутой системы, а числитель — ха- нстическую кривую замкнутой системы. Предполагаетч;:.ло разомкнутая система устойчива.
устойчивость разомкну,'.;.-'системы можно установить без каких-либо вычислений неседственно по структурной схеме системы. Например, 141 разомкнутая система, состоящая из устойчивых звеньев и и„,' содержащая обратных связей, заведомо устойчива. Если разомкнутая система устойчива, то изменение аргу. " '.
мента при возрастании частоты ь от 0 до +со будет о ',. Р Л ага Р, (уь) =- и —, 0<о) < с, :::- ов где п — степень характеристического уравнения разомкнутой ":. ' системы Рр(Х) ="0 (она совпадает со степенью характеристи ческого уравнения замкнутой системы, так как в реальных си- "; стемах степень числителя передаточной функции не может, превосходить степени знаменателя).
Изменение аргумента Р(/ь) при возрастании ь от О до.':- +со в общем случае: ЛагдР,(усо) .=и — ", 0 < со < сс, где п — число корней характеристического уравнения Р(Ц =О, лежащих в правой части комплексной плоскости. Изменение аргумента функции г) (/е) ф(/ь)=г) (/ 1 при возрастании ь от 0 до + ст) равно разности изменений:.
аргумвнта Р(/ь) и Рр(/ь), т. е. Л агп гр(/ь)=Л агй' Р(/ь) — Л агп Рр(/ь)= о<а< о<а<' О<а<ос д и = (и — 2)и) — — и — == — сии. 2 2 Система будет устойчивой, если т О, т. е. если Лага гр(/ь) =О. Ом~ь~(гто Вектор ф(/ь) опишет угол, равный нулю, лишь в том случае,: когда его годограф не охватывает начало координат '.: (рис. 5.10); точка Л отстоит от начала координат на единицу:г От этой кривой можно перейти к а~мплитудно-фазовой харак" ' .".' теристике (АФХ), построенной по выражению )у*(/ь) ао: ф плоскости с/(ь)/)/(ь), если сместить эту кривую на единицу,', влево.
В плоскости В'(/ь) начало вектора гр(/ь) находится в то') ке ( — 1; 1 О), а конец вектора при изменении ь скользит и')'' -" АФХ. Изменение аргумента ф(/ь) равно нулю, если точно( в 1; / 0) будет находиться вне АФХ (рис, 5,10, б). Рвс. ЗЛО. Соотношения между годогркфакго: а — гасагрвф вектора Фмм), С вЂ” соатвсгствужщсо ~ му гоу~агрвф век" сов туг)сг) )яплитудно-фазовый критерий устойчивости формулируют сЮм)цим образом: САР будет устойчивой, если АФХ 1у'(/ ь) тывает точки с координатами ( — 1; 1 0). .:'и: рассмотрении многоконтурных систем, имеющих мест:::.11гбгратные связи, а также систем, содержа)цих неустойчнд)тканья, разомкнутая система может оказаться неустойчи,.'...',:ыдя такой разомкнутой системы возможность экспери"" ного определения АФХ исключается, однако эта хзрак" йкга может быть построена по уравнениям системы и '"й можно судить об устойчивости системы.
В этом случае '" Мие аргумента Ро(/ь) при возрастании ь от 0 до + о) "'йгй' Рр (/ ь) . - (и 2р) о число корней характеристического уравнения разо'",г'3 системы, лежащих в правой части комплексной плос- ' й замкнутая система устойчива (р=О), то на основании ,.' 'вла аргумента ' згй .Р (/ о)) =- и —. '~Мй<м .":вательно, ;')згп тр(/са)= Л ага, Р (/о)) — Л агп Р (/ь)= о<с< о о<кг« п,о ;;:.'Иу — ' — (и — 2р) —, = рп = — — 2 и. 2 2 2 ,:,~Удет устойчивой, если АФХ охватывает точку ( — 1, 1' 0) ,„,псжительном направлении р/2 раз.
При р=О получится , й результат, ,„,Й практике удобнее пользоваться следующей формулиров,.::"")гкРмитерия устойчивости, исключающей необходимость не,„;,/схвенного подсчета изменения аргумента: изменение арф(/ь) при возрастании ь от 0 до +со будет равно ну-.-"кали число переходов АФХ ту'(/ь) через отрезок действи,Ой. оси ( — со ... — 1) из верхней полуплоскости в ниж),"'и. нз нижней в верхнюю одинаково.
Это изменение аргу- )43 мента будет равно +рп, если разность между ними рави '. -)срг'2. Переход 1Г()со) (с возрастанием го) из верхней полу . плоскости в нижнюю считается положительным, а из нижней в верхнюю — отрицательным. В окончательном виде амплитудно-фазовый критерий устой чивости можно сформулировать следующим образом: САР бу," ';-, дет устойчивой, если разность между положительными и р ател нь!ми ереходам АФХ Отрезка дей внтел Ой 52 " ( — со...— 1) равна рг2, где р — число корней характеристя.! 4 ческого уравнения разомкнутой системы с положительной в,.",,, щественной частью. Следует отметить, что если 1Г()со) при го=О начинается на1 отрезке действительной осн ( — со...— 1), то считается, что, 1Р()гз) при ю=-0 совершает половину перехода. В частной, случае, когда р.=О (что соответствует устойчивой или нейтра.чь;,'- но-устойчивой разомкнутой системе), система будет устойчн,":.
вой„если разность между положительными и отрицательг1ь1згй; равна нулю. Пример. На рнс, 5.11 изображена ЛФХ разомкнутой СЛР. и точкал сан перехода через участок действительной осп ( сс . . †!) ставят стрелки сторону возрастания ы и определяют разность между числом стрелок, аа'. р'г'гм) + а Ув) Рис. 5.11. Интерпретация амплитудно-фазового критерия устойчивости на комплексной плоскости (Г(ы), РУ(ы) правленных вверх и вниз. для ЛФХ на рис. 5.11 разность между полозка'.; тельнымн и отрицательнымн переходами равна единице (2 — 1=1). цса а:!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
