Солодовников (950639), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Этот способ описания удобен для решеоиз задач прикладной математики и автоматики. Однако развитнз метода переменных состояния показало, что метод вход — вы;;:; ход имеет и существенные недостатки. Они связаны в основноур с понятиями управляемости и наблюдаемости, которые не у'пу' тывались в рамках данного метода. При получении передаточной матрицы сложной многомерно; системы по передаточным матрицам или передаточным функци-;,' ям ее подсистем или элементов возможно сокращение полюса,*. оп или нулей, оказывающих су!цественное влияние на динамнФ: системы.
Пренебрежение этим фактором при расчете систем уп-, равления, как показывает опыт, может привести к ошибочпь ык:;; результатам. Состоянием системы х(1) можно управлять, изменяя векторе) входа и(1), а наблюдать состояние системы можно, измс1 вектор выхода у(1). В связи с этим возникает два вопро~а*: имеющих кардинальное значение для теории автоматическо~.=( управления. 1) ': 1. Можно лп, выбрав соответствукущим образом входы н( )":,::, со"" перевести объект управления из некоторого произвольного стояния х(1,) в другое произвольное состояние х(1,)? 116 'Можно ли, наблюдая вектор выхода у(1) в течение доста- долгого промежутка времени, определить начальное со""'Вегобъекта х(1о) 7 -"'тт(на первый вопрос связан с понятием управляемости, а ' -'па второй вопрос — с понятием наблюдаемости.
"" "' 'вделение понятий управляемости и наблюдаемости. По- "Ет 'управляемости связано с возможностью приведения си'."" -'и заданное состояние с помощью входных или управляю);;~куздействий. Понятие наблюдаемости — с возможностью ' вления переменных состояния по результатам измерения 'л',ВЫх переменных.
'::-'качестве примера, поясняющего эти понятия, рассмотрим " 'ый объект, описываемый уравнениями состояния (рис. "~м, . хз — и; 2хз+и; ''на4 — Зхл — 2и; 4р;-',:хт+хз+О,бхо видно из рис. 4.4, переменная х„ которой соответствует "-Ъ= 1, не соединена со входом, и поэтому вход и не мо- :":пять на ее изменение во времени. Такую переменную со""'зя: называют неуправляемой. Переменная х, (полюс )ч= ,:4. пе соединена с выходом, и поэтому невозможно опреде;.'((временную ха. Такую переменную состояния называют не' ддемой!.
Рнс, 4.4. Структурная схема СЛР с одним неуправляемым (1=1] и одним ненаблюдаемым (Х= — 1) полюсамн 1!7 х=Ах 2пВп; у ==Сх приведены к канонической форме х--Ах+Вц; у= Сх; (4.25) где А — диагональная матрица, то судить об управляемости сн; стемы можно, исходя из следующего.
Запишем уравнения (4.25) в развернутой форме: х! =-Л!х2+ ~~~~ Ь! 2й21 ! 1 х2 = Лзх2+ ~~~з~ й2! ц!, х„;=-Л„х„+ )' Ь„2й! Этн уравнения показывают, что управляющие воздействия И~;:;:, ие будут оказывать какого-либо влияния на переменную хь есл, ..::-,-"'-; сл6;з ~ч т.
е. если все элементы (чй строки матрицы В равны нулю. ','',7) Следовательно, все те канонические переменные состоянФ~~': х, которые соответствуют нулевым строкам матрицы В, являю;,!-;, ся неуправляемыми. Это означает, что изменение этих перемса", '"".! 118 Управляемость. Более общее определение управляемости за, илючается в следующем. Состояние [хч, Я называют управля ",-. мым, если можно найти момент времени !! (12: га) и вход п(1) переводя!ций систему за интервал времени (!м 1!) из состояни„''(: [хо, 12) в состояние [О, 2Д.
Если любое состояние хеХ являетсз' "., 1 )1, любых заданных состояний хч и х, существует управле,,',„'г о, мым в момент времени !2. Можно дать и такое определение. Систему называют полно,;:.'!22 стью управляемой, если для любых моментов времени !о и 1, ",; 1,)1, любых заданных состояний х, и х, существует управле, „,,' ние ц(!)„(12(1((!), переводягцее начальное состояние хг х.' '" конечное х!.
Судить о том, является ли система управляемой по виду ез: уравнений состояния, в общем случае (за исключением одно; мерной системы) очень трудно. Однако если уравнения системы :;происходит независимо от управляющих воздействий и! и ')) кбм' определяется начальными условиями, а также внеш'-' 'и' возмущениями. 1"„:'са2ким образом, система (4.24) является управляемой, если "трцгца В не содержит строк, все элементы которых равны ну- й„':::;::Условия управляемости для системы, описываемой уравне- (4.24), не требующими их приведения к канонической """'ме (4.25), определяются следую!цей теоремой (или критери- '"'~;-цолучеыной Р.
Калманом: необходимое и достаточное усло"-'' '"для управляемости системы (4.24) заключается в том, что' - матрица ".-'"';:Я=[В, АВ, А2В..., А" !В) (4.27) '"' а ранг и. "~::Часто матрица (4.27) имеет ранг п для некоторого ч(а, 122й; '2~хйпд(1„=тапи[В, АВ,, А'-!В)=и (4.28) ";::Наименьшее значение т, прн котором имеет место равенство ), называют показателем управляемости. ':Из критерия управляемости (4.27) видно, что управляемость еляется свойствами матриц А и В. При этом он остается ''ачВедливым и для дискретной системы, если ее уравнения 'ставить в виде 1„::~2+! = — Ах,+ Вв„.
;:,,;Иаблюдаемость. Как было показано в рассмотренном ранее ере, переменная х2 является ненаблюдаемой, так как она .".сосединена с выходом. Но для управления необходимо распоать сведениями о всех текущих значениях вектора состояния. "гому возникает вопрос: при каких условиях, наблюдая век- ;Ы.
выхода и входа, можно найти переменные состояния? ; Систему (4.24) называют наблюдаемой, если по данным из','иия или наблюдения векторов у(г) и ц(г) на конечном ин"але времени 12<1~(! можно однозначно определить началь,.;„;: состояние х(12). Систему (4.24) называют полностью наблю'мой, если все ее состояния наблюдаемы в любые моменты ,Мани. '!;:"Йредполагая, что уравнения системы приведены к нормаль- .:.форме, рассмотрим уравнение связи между вектором выхо,,з(:и вектором состояния х. ';"! $=Сх, (4.29) Сп С,з ... С„...
С,„ С!2См ... См .. Сы Сд! С22 ... С~! ... Спл 119 Уравнение (4.29) в развернутой форме имеет вид л у, (г) =- „~ свх, (в) =- гн х, +... + геухм-,' ... -)-с,„х,; у,(г)= — Ь„~с х (с)=-~пх,-) ... +гвх-+... +~ е';Ввкпмпозиция системы. Как было показано ранее, любая ""'а, описываемая уравнениями состояния (4,24), может '""',представлена в виде структурной схемы (см. рис. 4.3), "д'отрим схему системы, которая может быть декомпозиро'"'::'на две подсистемы — управляемую 1 и неуправляемую 2 "':::"'"4.б). Верхняя часть этой схемы соответствует пеуправляе- л й» (с) - —,~~~ орах» (в)-- срх, +...
-,-Груху+ ....т- грвхл. Из этих уравнений следует, что переменная х, может быть ".' определена по переменным уь уь,. у если козффицнен о ( =,, ..., р) ие все равны нулю, Другими словами, „ х, является наблюдаемой переменной, если элементы /-го столб- ". ца мат и ы С р ц не все равны нулю, или линеиная стационарная,' система является наблюдаемой, если матрица выхода С не со-, держит столбцов, элементы которых равны нулю. Условия иаблюдаемости в общем случае, когда уравнения ', ( .
) р едены к канонической форме, определяются сле- дующей теоремой: необходимые я достаточные условия для пол- ной наблюдаемости состоят в том, чтобы матрица ((,(Ст АтСт (Ат) яСт (Ат) — вСт) (4.30) имела ранг а. Из выражения (4.30) видно, что наблюдаемость определяет- ., ся свойствами матриц А и С. Так же как н в случае критерия управляемости, если матрица (г имеет ранг и для некоторого -! р(п, т.
е. гапрйп=-гапд(Ст, АтСт,..., (Ат)" пСт)=а, то наименьшее Р, при котором имеет место равенство (4.30), 4 называют показателем наблюдаемости. Дуальиость критериев управляемости и наблюдаемости. ':!! Очевидная аналогия между критериями управляемости и на-:: блюдаемости позволяет сделать вывод об их дуальности. Назовем два объекта 5 и 5в дуальными, если они описыва- .Ь ются соответственно уравнениями . х=Ах-)-Вп;1 у=-Сх, (4.31) . к=Ау~+Стук( Вгх / (4.32) Из уравнений (4.27) и (3.30) — (4.32) видно, что если 5 управ- ляема в 1о, то 5* наблюдаема в гп и наоборот.
Таким образом, наблюдаемость одной из систем можно про верить анализом управляемости дуальной ей системы. 120 Рис. 4.5. Деномновицяя САР: 1 — управляемая ппдсассемв; у — яеуправляемая ))тпдсистеме, так как вектор входа и не может влиять на '. одящие в ней процессы. Уравнения состояния этой систе,,жно представить в виде (4.33) уючио так же декомпознруем систему на две подсистемы— даемую 1 и иенаблюдаемую 2; нижняя часть схемы (рис. бФфответствует ненаблюдаемой подсистеме, так как ее вектор ; ния никак не связан с выходом у. ф,, Ряс, 4.6. Структурная схема САРс 1 ааблюдаемая ппдсяссема; У вЂ” яепаблюдаемая веление структурной сх двух последовательно сивых подсистем емы со- (4.34);. уакциями а н нуля при з=з*= ает образование дипол левой полуплоскоств -~-1 возможна лишь я системы (рис.
4.9). вблизи точки — п, то Рис. 4.7. Структурная схема САР, декомпозироваииой иа четыре подсистемы можно записать в виде х Аы А,з Агз Аы О А 0 А 0 0 Азз Ам О ООА4, х, В, х, В, х 0 хз Хс хл У вЂ” -[О С, 0 Са) (хз хз х, х,). 123 Уравнения состояния этой подсистемы имеют вид В общем случае многомерная система может быть декомпо.''', зирована на четыре подсистемы (рис. 4.7): управляемую и ве.,', наблюдаемую 5ь управляемую и наблюдаемую 5з, неуправляе,з мую и ненаблюдаемую 5з, неуправляемую и наблюдаемую 5ь:,' Наличие связей между подсистемами определяется из следую.':; щих соображений: если 5, — ненаблюдаема, то она не можа(!; воздействовать на 5з и 5ь которые наблюдаемы; если 5з-';! неуправляема и ненаблюдаема, то на нее не могут воздейство.,',",: вать подсистемы 5~ и 5з, которые управляемы, и т. д.
Уравнения состояния системы (см. рис. 4.7) в общем случае:,: 1: того, чтобы система была наблюдаемой и управляемой, .":~.':;должна состоять только из подсистемы 5ь '' Виачение понятий управляемости и наблюдаемости в ТАР .'-";"1))озможно существование двух особых значений, или мод "'иои неуправляемой при з'=1 н другой — ненаблюдаемой "': вв= — 1). Для этой простой одномерной системы неуправсть и ненаблюдаемость легко обнаружить непосредственно "!,:Ре'уравнениям или рис. 4,3.
;;*"',раесмотриы теперь пример, когда систему описывают передаточной ей. Эта система (рис. 4.8) состоит из двух последовательно соединен- Рис. 4.8„Предст рнс. 4.4 в виде един "подсистем с передато ~иьваи ф з — 1 (з + 1) (з + 2) з + 1 "-'~'()= (.+3)(,— !) . аточвая функция системы (""" ' (з- 1) (и + 1) (з+ 1Из+2)( +3)( ,'(Если провести сокращения) 1 '„:;'.)(Гз(з)= ( Ь2)( Ьз) .
о такое сокращение полюс ячески, так как ие учитыв йтот диполь расположен в Рис. 4.8. Нули и полюса системы в левой и правой комплексных полуплоско- сгях ему в переходном процессе будет соответствовать член вида ге-"', где гвычст, связанный с полюсом. Последний очень мал, так как вблизи полюса асполажен нуль. В большинстве случаев этим членом можно прсиебре'и. сли диполь расположен в правой полуплоскости, то он даст неустойчивыи член ге"', каким бы малым г ие был. Заметим (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
