Солодовников (950639), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Каж-'': дый из коэффициентов снц сза,... „См равен определителю; пер-: вый столбец определителя составлен из двух элементов, запит.":. санных в следующем за искомым коэффициентом столбце таб ',:: лицы на двух расположенных выше строках. Первый элемент"' второго столбца определителя образован из частного от деления',. двух элементов, расположенных в столбце 1 табл. 5.1 на двух11:; вышележащих строках. Второй элемент второго столбца опре-',!' делителя равен единице.
Та!г, О О О О а';"22,~ а„~ О О "",4"~З вл -2~ гзл — 1 ал „';Ерл-5 Егп 4 ал-а Г!и 2 ;-::;ехп2 оп б ол л гела оп з Ф,ах„б Еа„з ЕЕ, т Ц,-е Ег,-б Ггл. 4 (5.12) '""'Го из коэффициентов а! (за исключением коэффициента г'".щего члена) свидетельствует о неустойчивости системы или ,Енвм, что опа находится па границе устойчивости.
Если коэфенты характеристического уравнения положительны, то все "ественные корни, если оши существуют, отрицательны (так зываемые «левые» корни). Комплексные корни могут быть н ~равыми»; '""::".2) число отрицательных коэффициентов сн столбца 1 „5.1 равно числу корней с положительной вещественной ью; 4 'В) обращение в нуль ао приводит к появлению нулевого кор' Обращение в нуль последних вг коэффициентов а„=о; аг= .' ',:...
а 1=0 приводит к появлению нулевых корней. При этом тгззащаются в нуль последние коэффициенты сн табл. 5.1 ', яе'=СЕ, п 1=... —— СЬ „„+, —— О); ,~'.;:ф~ обращение какого-либо промежуточного коэффициента в свидетельствует о появлении пары чисто мнимых корней. "~критерий устойчивости Гурвица. Этот критерий легко полу- 433!' нз критерия устойчивости Рауса. Для данной цели выра- коэффициенты см в виде определителей: ,„'!:~1! Ми В!2 ' ~гг-1 й! ) ап-1 ал а,,оп.,— анап, ! ап, ал, ~ Ав (5.1 1) гле ал-1 а., а„,ап О 1ал в ап,) 1ап, ап-1 :(11 общем случае '-':- '!»=- Л— 'е,:Ло(й=1, 2, ...) — определители Гурвица, получаемые с пою следующей записи: 134 Значения г вписывают в боковик табл. 5.1, озаглавленный «Зна чение г».
На них умножают соответствующие коэффициенты Из критерия Рауса следуют выводы: 1) все коэффициенты характеристического уравнения усто" чинов системы должны быть одного знака. Обращение в нул" ,;,е. соответствующим отчеркивапием строк и столбцов, Все ... 'ффициенты с отрицательными индексами заменяют нулями. ;.',, ределитель составляют по следующему правилу. По диаго„,; и вписывают коэффициенты характеристического уравнения, В.::.1 135 с =и.>О; г з-ал «>О; с„>О;...; с, лы>0 Этим неравенствам, как следует из (5.12), эквивалентны нерв ! венства вида он>0; Л,>0; Л, 0;..., Л„>0 Таким образом, критерий Гурвица формулируют следующим ';.
образом: для того чтобы система была устойчива, необходимо и -: достаточно, чтобы выполнялось неравенство а >О, а определи- ."'.' тели Гурвица Ль Лз,..., Л, били положительны. Для характеристических уравнений высоких степеней поря- ': док определителей возрастает, н практическое вычисление их ',; обычным путем становится громоздким.
Необходиь«ые, по недостаточные условия устойчивости за- .) ключаютси в том, что в случае уравнения и-го порядка все, коэффициенты а„, ае ь ..., а, должны быть положительны п:— :,. ни один из пих не должен равняться нуепо, Рассмотрим характеристические уравиеиия и условия устои швости для ! динамических систем, порядок которых ие превышает пяти: 1) аз»+аз= — О. Условия устойчивости: ае>0, аз>0; 2) азЛ'+а,»,+аз=-0 Условия угтойчиеостп: ас)0, а,)0, аз)0; 3) азЛ'+аз»з+а~»+аз=0. Услоопр устойчивости: ас)0, а»0, а,)0, аз)О, йз .—-а,аз — агах) 0; 4) а„»4+азЛз+ +азЛ+ас=О.
Условия устойчивости: ас>0, аз>О, аз>0, аз>0. аз>0, Лз=-азаз — а,аз>0, е«з=-а~азаз — а,зоз — азоз'>О; б) азЛе+аД4+аз»з+азхз+аз»+ +аз=О. Условия устойчивости. ас>0, аз>О, аз>0, аз)0, аз>0, аз О, )а, аз~ Ьз=-~ ~=а,а,— а,а„>0, )аз а,« ) аз аз ае~ Е«з=- аз а, а, ==а,азль+ аеа,а,— а,'а, — а,'а, >О, аз а, а, 0 а, аз а, 0 0 а, а, а, 0 а„ а, а, -о,о,а,а,+2а,а,а„а, +а„а а,а,— — езсаз'ззз — аеа,'а,— ае'аз' — а,'а ' >О. зьля п=2 условисм устойчивости является лизпь положительиость коэффициеитов характеристического уравнения.
Для п.=з, п=.-4, п=й положительиость коэффициеитов характеристического уравнения иедостаточиа. Кро ме того, коэффициеиты должиы удовлетворять дополиительиым иеравеиствам начиная с а -«. Строки определителя, начиная с диагонали, за. '.;- полняют коэффициентами: вправо — по убывающим индекса.;5 . а влево — по возрастающим. Согласно критерию Рауса, необходимым, и достаточным ус. ".' " ловием устойчивости являются соотношения льзуют в ются на- мента— перемен- улей и уравне- «ения, то ня прос- ветствует ски каженного из о вектора , образо- действна Ль т. е.
,), прове- является ис. 5.3). 137 5.4. «застот««ые критерии устойчивости. Критерий устойчивости Михайлова. Амплитудно-фазовый критерий устойчивости йсчеотные критерии в болщпннстве случаев испо ' 'яе графоанаепггических критериев — они отлича " и:;..тью при выполнении инженерных расчетов. ,',"~~сионе частотных методов лежит принцип аргу не из теоремы теории функций комплексного ':,",:::,аеяыеино теоремы Коши, относительно числа н "'пвч функции, апалнп«ческой в заданной области. ' 'нцип аргумента. Рассмотрим а.пгебраическое ';;й:Степепи с действительными коэффициентами: 'ф)" ' а„»ь "+а |Х" '+... +0«».+по= О. ~~~~риз Х«, Лх, ..., Ле обозначить корпи этого урав« «ей(ен Ю(Л) можно представить в виде произведен тхМОжнтЕЕЕЕй: )'м а (Х вЂ” Л«) (Л вЂ” Лх) ..
(»,— Л.). ": "плексной плоскости каждому корню соот "!чузпределенная точка (рис. 5.2, а). Геометриче ',рвнь»4 изображается в инде вектора, провед " ''неоординат к точке Лз (рис. 5.2, б). Длина этог у О л Ез Е агрдб м йрбслзбизеелзнол )А444 ет рга о о '7 д '~~~;.".: -Рис. 6.2.
Корни характеристического уравиеиия системы: а — ресположеине иорнеа; б — модуль и сзззз есьтсре Хе ,„;:"-:Модулю комплексного числа, т. е. )Л,|, а угол „, „вектором с положительным направлением , Оси,— аргументу или фазе комплексного числ ";,"Х)житОрЫ (Х вЂ” Л,), ВХОдящИЕ МНОжнтЕЛяМП В Е)(» «мв;точек Л, к точке Л.
Каждый из этих векторов , чью'двух векторов, соответствующих», н», (р , Ф~ФМнятЬ Л=-»ш в ЕО(Л), то ,.;,',~~в~)=ргн()ш — ».«) ()оз — Лх)... ()оз — »„,). ,,~ ",гсруговая частота (см. раздел 3.3.). Ркс. б.з. Элементарный вектор () — )и) Рис. бА. Элементарные векторы ((ь — Рн), ~=О 2,..., и Концы элементарных векторов будут находиться на мнимойа оси в точке Х=)ь (рис. 5.4).
Модуль этого вектора равен про( изведению модулей элементарных векторов и а«: (0((<о) ! =а„)(ь — )н ! ((ь — йа!... ! (ь — й !. а аргумент или фаза его равна сумме аргументов элемен|а ',:: пых векторов: агя0((ь) =ага()ь — А,)+агд()ь — Хк)+... ... +агд()ь — й„). Направление вращения вектора против часовой стрел ' принимают за положительное. Тогда при изменении <о от — ,' до +со каждый элементарный вектор ()ь †)„) повернется н, ! у ~ ! угол +и, еслн его начало (|корень й," 1 ! ! находится в левой части комплексн ("~ плоскости, и на угол — и, если е, л ! начало (корень )и) находится в пра, ! лл вой части комплексной плоскости ! () ! (рис.
5.5). Если уравнение 0().) =,, имеет т корней в правой части пло":; ! скости й и, следовательно, а — т кой, и ! ! ней — в левой части комплексной. ! ! плоскостн то при возрастании ь ой — со до +со изменение аргумента:. вектора 0 ()ь), или угол поворота; Рис. б.б. Иаменение аргу- 0((ь) (равный сумме изменений аР!!' мента векторов ((ь-4.~) и , б', (/ — ) ) нр ра 'ниии гумептов элементарных вектоРов), частоты ь от — о«до +с«дет Ь агд В(усе)=(а — т)п — тп--=(а — 2т)п.
(5,1;: 3): — «~к«~ Отсюда следует, что разность (и — т) корней уравнения 0(й) ":."' =-О, находящихся в левой части плоскости, и т корней, Ра~:;: !38 :('в(явных в правой части плоскости, умноженная на и, от- :.-"йт собой изменение аргумента О(/ь) при возрастании ь "!',,ео до +со.
Это утверждение в теории автоматического --:."гкнрования называют принципом аргумента. .,'' 'мтерий устойчивости Михайлова. Этот критерий основан ',~~фннципе аргумента (5.13) и является геометрической ин- йч(ротацией соотношения '-';;."'ф,":- 'агд .0 (Усе) = (и — т) и — та =-(а — 2т) и, с~м — число корней в правой части комплексной плоскости, '""(йу' — число корней в левой части комплексной плоскости Дусь характеристическое уравнение системы с обратной (замкнутой САР) имеет вид ," (~Ц=а„)."+а„-~Х '+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
