Солодовников (950639), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Охарактеризуйте особенности свободных и вынужденпьгх ',, колебаний СЛР. 4. Что такое передаточная функция линейной САР? Какими =' передаточными функциями может быть описана САР? Г>. Сравните между собой основные временные и частотные свойства типовых динамических звеньев. Рис. 4Л. Система с двумя входами н выходами, описываемая переменными состояния хп х„.,., х метода переменных состояния (нли пространства в книге: Ту Ю. Совремеапан теории управления / ина; Под ред.
В. В. Солодовникова, Мп Машино- 107 4 -;Строгое определение ,який) дано, например, Ем:.англ. я. Н. Гибадул 1971, с 80 — 90 рг ор ах(с> 108 х =а.!х,+а„,х,+... +а„„х„+Ь„,и,+б„,ия+... +Ь„„и . по их начальным значениям х,(1,), х,(1,), ...,х„(1.) в момент 1, и заданным воздейст. виям и,(1) и и,(1) при 1~1, определить будущие значения переменных состояния, з также выходных переменных у,(1) и у,(1). Поясним понятие переменных состонния иа простом примере механической системы, состоящей из груза ма«.
сой т, подвешенного иа пружине с коэффициентом а« упругости А и двигающегося в цилиндре с ж«зффщщ. ситом трения «(рис. 4.2.). Дифференциальное уравнени в той системы можно представить в аиде с «1 у «Гр р«е« т — ', +у — + ля=и(!). (4,1) Рнс. 4.2.
Механи- в качсс«вс перс!«снных состояния введем ческая система, поясняющая понятие переменных со- ««(д«(!) пх« х2 (!) (4.2) Подставляя выражения (4.2) в уравпеиис (4.1), полу*шм «!Хь «н — „' Ч-ух«г йх«п(!). Учитывая выражения (4.2), можно папи«а ю«ы и'х, — =х.; (4.3) ' Система уравнений 1-го порядка (4.3) и является ураваеннямн в перемен-8 ных состояния для рассматриваемого линейного патента. В общем случае нсливейной системы уравнения„ныражен- ': ные в переменных состояния, имеют вид х!(Г) =) ![х!, х,,..., х„; иы игь ..., и„; 1); Х2(~) =)2[Х«, Х2, ..., Х; и!, их, ..., и; Г) (4 4) х„(() =!«[х«, хго ° ., х; иь их, .
„., и; 1), Если предположить, что в уравнениях (4.4) функций [о 12, л~инейны относительно переменных х,, х;, ... „х, .", иь ит,..., и„и не зависят от времени 1, то пх можно привесы! ', к виду х,=аых,+а,яхт+... +а«„х„+Ь«!и!+Ь|яиз+... +Ь„,и„; хх=амх,+ат,х,+... +а,„х„+бми,+бязи,+... +Ьх„и„; (4.6) '. ичной форме уравнения (4.5) принимают вид ;„'.)():. матр х! Хт -Г а„... а!и аз а22 " а2 Х! „Хя 'Хл аж алв ...
ала . б, и, . ь и .Хл (4.6) Ьа! пу-ст '"" й:,час ачают ую все переменные состояния в 6), называют вектором состояния и олбец, содержащ ти уравнения (4. через х, т. е. ':-вектор входных сигналов обозначить через н, то данная 'ия система в компактной некторно-матричной форме мо'-'быть описана при помощи уравнения Ах+Вы, (4. 7) ФА! †,':квадратная [п, а]-матрица а„... а!я [ аы ...а,„[ ямоугольная [а, т)-матрица Ьп ...Ь! Ьа, ... аЛ Ялту полного описания системы к уравнениям состояния (4.5) ,:;;(4«6) необходимо добавить уравнения, устанавливающие между переменными состояния х«, хм ..., х и выходны;;-'!)Временными у,, уж ..., уж которая обычно выражается в системы линейных алгебраических уравнений: ":у! СПХ! ! С!2Х2 ) . +С1аХп '2~'".;Фя С2«Х! + С22Х2+ ° + СяьХл) (4.8) ";"'Ур.=-'Ср!Х! +Сртхя+ ° ° ° +СрлХр „,;вс«векторно-матричной форме -~)р='ч!к.
При атом матрица-столбец Уг Ут У=- р е иям (4.7) и (4.8) может соответствовать ст кт ная схема (рис. 4.3), где векторные яз ые связи показаны стрелками, Рис. 4.З, Структурная схема многомерной САР с обратной связью А Векторное дифференциальное уравнение (4.7) можно р ш рый применяют для решения уравнения 1-го по- . рядка.
Рассмотрим уравнение 1-го порядка: х=ах+Ьи, (4,9) где х и и — скаля ные ф р функции времени; а и Ь вЂ” постоянные Преобразовав уравнение (4.9) по Лапласу, получим: зХ(з) — х(0) =аХ(з)+Ь(7(з), откуда ~. (з) х (о) + Ь (7 (з) Решение уравнения (4.9) можно найти, взяв об атиое б- разован е Лапласа Е '(Х(з)): Х(1) =- Е"Х(0)+ Е'1'-т>Ьи(т) СКт. Решение некто ного ным о разом, а именно р уравнения (4.7) определим аналогич- зХ(з) — х(0) =АХ(з)+В1)(з)1 нлн Х(з) =[з1 — А~ 'х(0)+(з1 — А] 'В1)( ), 3 (4.13) 11О (4.19) называетсн выходным вектором, а магри а С(, )— выхода: р ца (р, и) — магри сй .:."~~ "'!~::- 'единичная (п,н) матрица 0 ...
0 ;";;.",:::::,:,:-;:::. О. 1 ... О О 0 ... 1 ":-'ррично получим следующее решение неоднородного век"",:матричного уравнении (4.7): ' (гг),=е'"х(О)+ 1 ел1' — т1Вц (т) с(т (4 14) "„уастричная функция е"' может быть представлена в виде ".,т. е. Ааг" ,:: — — ',, 1+ 'Аь + — +... + — +..., 21 ' ''" А1 ося при всех конечных значениях 1. им решением однородного уравнения (4.7) при п(1)= ":~>)1з)сывающем свободное колебание системы, является ' 'Щ=е"'х(0), (4.15) кцпю, определяющую свободные колебания линейной '"" ', с точностью до постоянной рп (г) ... р ° (() ~ Рм(1) . Ф (г) 1 (4.16) тх "а)от 'яереходной, или фундаментальной, матрицей. В раз ,'.'й))й форме уравнение (4.15) имеет вид х,(О) ~ „ (о) ) рп (1) " р. (1) ~ р.
(1) " р.. (1) 1 !АЩ ="~рпх, (О)+~ргахт (О)+... +~р„,х. (О) = ;ЬАРА,(()+х.(1)+... +х,„(1) (.=1, ..., ). (4. 17) ,„)(Дно, что выражение (4.17) описывает изменение 1-й соей вектора состояния х;(1), вызываемое начальными ВЦими х;(О), а каждый из членов правой части выражения '.;,,,,е(~) =грц (1) хЛО) . ,„,,-аваяет собой изменение 1-й составляющей вектора со- 1:.(Гйя х,(1), вызываемое 1-м начальным условием.
:;:~~",,'-,',,"*едовательно, каждый из злементов «рн(1) переходной -; т1цы ~р(1) можно рассматривать как реакцию 1-й перемен- получим з+а 1~ льны е и различные собственные значения и — "— 4Ь, ьг! Л ! е — е — Лг! ,е ' — )ге теореме Сильвестра. Предполонкция !(А) от матрицы А, костепенного ряда; на фу виде змерпостыо (и, и) с и — раз- ми Л!. стра, а ра ения льве р(1)=-е --1(-А~+-2(-+ З, -' ,«а)()имер.
П „.г :Ик! — Зхг, т««ня~А х,, ' елучве ", й„' Л 2'-- 1; (4.19) (р(!):--1. (((з1 — А) ') еч Г(Л,) ы имеют ввд х,=хк хг = — Ьх ! — ахг. В тиком случае (я! — А)= ~ Имеем матрицу 8 — Збв! !!3 ной состояния при х,(0)='1(1) и при нулевых начальных зна.,.' чениях всех остальных переменных состояния. Выражение (4.14) с учетом матрицы (4.16) можно пред. ':~:" ставить также в виде суммы общего и частного решения: х(!) =х,„(1)+х, . (1) =гр(1)х(0)+ +угр(! — т) Вн (т) а«т, '(4.18):;-'::я(г о где хг г(!) — реакция системы на вектор управления п(т); .", 1 1) (!) = 3 (р(! — т) В((т — матрица управляемого перехода, т.
е;,'.: о при учете решения (4.14) гр(! — т) =е "(' '). Составляющая х„,(1) является частным решением диффе.) ренцнального векторно-матричного уравнения (4.7). Методы вычислении переходной матрицы. Вычисление пере.: ходной матрицы (р(!) линейной системы в случае, когда мат-':: рицы А и В не зависят от времени, можно выполнить одним из, следующих трех методов. 1-й — метод разложения в ряд. Переходную матрицу мож-: но представить в ш(де бесконечного ряда Ограничившись конечным числом членов ряда и произведя их!« суммирование, найдем приближенное выражение для (р(1). 2-й — метод, основанный на определении собственных зна-,",:, чений матрицы.
Применяя к уравнению (4.1б) преобразование';; Лапласа, получим Ф*(а) =УЛар(1) 1=1.(ея'1=(з! — А)-', где Ф*(з) — изображение переходной матрицы (см. (4.22)) и, ' следовательно, Определение гр(!) сводится к вычислению собственных значе- '... ний матрицы А. ()ример. Пусть необходимо вычислить переходную мвтрнцу снслемы, ) уравнения которой имеют внд ввиде* збэъп( ния ятои мтсрлц ! .;-:~:.(гв)-1.! — А)- ==,(„а)+, ~ -'г"'.Матриця А имеет действите «~~~':Зг + — )Га' — 4Ь; Л =— йь«2 2 4«',"т)ьл«4 Ь. гдя переходная мзтрица сис ! ":~~48).--~-г (фг (з)1 =-,—,-- х Ь( -х,(г) — ь,(г) "), метод, основанный «)учтог имеется некоторая ';можно представить в -'Щ' — --',1, 'гяАгг :... 'квадратная матриц 'Мй-сдобственными знач ' )ч'.:еоглвсно теореме Сн ',~~,=:~', У(Л,) Г (Л!), ! ! ! .~Даик случае, когда -, 1=,«р(!) =е"', редположим, что уравнения линейной систем так что корни )., = / у'2; Л,= — 1 )/2 .
р (!) = ля (А) = е =~я ', е ! Г (А!) „ Ае у.е г-! причем "=1~:~1 ° Согласно Ю. Ту' Р(лб=; Р(Ц)= А+772! А — У)/2! /2 1/2 ' /'2 '1/2 Таким образом, (А+ / 1/2 1) е/' г ',— [А — У ')/2 11 е / г ' т (!) = = (соз 1/2 !) 1 + (=.з!и )/е2 Г ) А= соз )/2 ! ~ ~ + )/'2 ' +=а!и)/2 ! ~ 1 соз 1/2 !-1-=61п )/2 ! "1' 2 1 )/2 =з!п)/2 ! 3 — =з!п )/2 Г )/2 1 сое. Р 2 — = з!и Ре2 ! )/2 4.2.
Матричная передаточная функция Ту Ю. Современная теория управления. С. 66 — 65. Применяя прямое преобразование Лапласа к уравнени-'':.,' ям (4.7) и (4.8), выраженным в переменных состояния, полу-'!,' чим зХ(з) АХ (з) +х (О) +В() (я) ~ 4 20) "т'(з) =СХ(я), откуда, исключая Х(з) и полагая х(0) ==О, найдем У( ) =С(я1 — А)- В()(я). (4.21): Матрицу Ф(з) =С(з! — А) 'В, (4,22) устанавливающую связь между векторами выхода у'(з) и::;, входа () (з), называют матричной передаточной функцией '.
(МПФ) многомерной системы. Если система имеет только один вход и(Г) и только оди": выход у(!), то матрицы В и С в уравнениях (4.20) преврап(а ются в скаляры, которые обозначим через Ь и с соответствси но. что для определения перенениям (4.7), (4.8) состоя(я1 — А). В случае высокой представить определенные ':-"-. 1 — 2 — 2 х+ 1 '~! Г'. г (е-":;::;:)1'.
2 -1 О1 ,'ем — 1 Π— 2; Ае 1 О 2 11 001 ...;А,+( !) ~о 1 о~= ОО1 4::::::." зе 1 02( 2 — 1 О О О; де=див= О 2 О; '~атому для одномерной системы 1' (з) — =с(з! — А) 'Ь. г/() (4.23/ ~фа~:формул (4.21), (4.22) видно, "'')1(ой функции системы по уран ,-'4юабуется обращение матрицы ости матрицы А вто может ":-"."'Н.из способов решения задачи основан на так называеоритме Леверье.
"':: А)- =ф- (я) й(з), '".)ч=-зе+а„,з"-'+... +а,з+ао) "~Ф)'=зв — !1+я"-гй!+... + й„ ::4п.,и !СЕ МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ ПО СЛЕДУЮЩИМ фОРМУЛаМ '::~ьА/-ра„г= — яраг Аг-~-й! =А, +а,1; 1 4)м~в""'' Ай!-е а -г= 2 Ярпг Аг — в йг=-' Аз+а г11 1 "-':г',' — ': Айя г-э а, = — „— яры г А,, -э й„, = А, ! + а!1; 1 = — — р А„й„=0. ' образом, — ~~ СйеВзп ' '. ;~!.',': -: е'( ) р=а) ,. Рассмотрим линейную динамическую систему, описмнасмую пск'зраннением: 2!2+2 ач=— = — 2; П,— --А, +( — 2) 1=-О. Следоиательио, 1 Ф (з)=- — ) (С)Взз+ СП,Вз.у. Сп,в) 1 (11 21)1 (13 1 21 ~ ,1[ — 3 0 — 21[13~ мли 2а' — з — 2 фу 1!1 ~ 29 7~ +~ 14 Я. Получим МПФ система — 65зх+ зол+70 35( — 0,93Ф+1,14з+ !) а" +2з' — а — 2 0,5х'+з' — 0,5а — ! Решение обратной задачи — определение уравнений состоя.:, ния по заданной передаточной функции, в особенности для мнот' гомерных систем, связано с более существенными трудностям ' 4.3, Управляемость и наблюдаемость Предыдущий этап развития теории автоматического регула';.' рования, до широкого использования в ней понятия переменныху состоиния, был связан с описанием САР при помощи перез!сн, ных вход — выход.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
