Солодовников (950639), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Они входят в семейство решений (5.2) и зави- ':,хРР.':начальных значений у»о=д»'. '-, йчно рассматривают случаи, когда имеется одно решег::15(3), соответствующее вполне определенному установнв'ся процессу в системе регулирования. Введем отклонение )(инат хо от установившихся значений: ','4~до — до*. (5.4) 'еуавляя отклонения (5.4) в уравнение (5.1), получим систеР4ёиений: .:." ф-.= Хо (х,, хг, ..., х»); й = — 1, 2, ..., и, (5.о1 (5.2) (хь х„..., к„) = у„(х,+д,";...; х,+у,.о).
..,.Равнения (5.5) называют уравнениями возмущенного дви. „я,; Формула (5.4) определяет преобразование переноса на®оордииат в точку у,"', вследствие чего решению (5.3) со ;гвует .",'й1ог ЧО;...; х„*=О. (5.6) .4ио терминологии Ляпунова, уравнения (5.5) называют уравМи невозмущениого движения динамической системы.
11ггдхи 1=-1о пеРеменные х» пРинимают свои начальные значе„.'Которые называют возмущениями. Каждой заданной снеге.,:,":,~яких возмущений отвечает однозначное н непрерывное ре- '4 х»(хю. хго, . х о, г) ...,,пений (5,5). Это решение называют возмущенным двнже- ,, М':системы. 9 — Збш 129 Исследования Ляпунова по устойчивости движения позволя. ют судить об основных свойствах возмущенного движения, н; прибегая к интегрированию уравнений (5.5), и рационально раг. считывать регулятор СЛР. Если окажется, что при определенной настройкс регулятора решение (5.6) будет устойчивым, то система регулирован11я сама, без постороннего вмешательства, изберет режим невозму.
щенного движения. Если же решение (5.6) будет неустойчивым,,: ",":,",,'. то такого установившегося режима получить нельзя. Прп сколь угодно малых возмущениях хьа система будет от него удаляться большинстве задач теории автоматического регулирования функции хь(хь хь..., х~) допускают разложение в степенны< ряды, сходящиеся в некоторой Н-окрестности начала коорди наг (5.6): и ,~' хь'(П, й=-1 если Н)0 достаточно мала.
В этих случаях уравнениям (5.5) !. можно придать вид а ха — =-амх,+... +а~,х„+г'ь(х,, хм ..., х„); (й = 1, 2, ..., п), (5.7) '; где аь, (й, з=1, 2,..., а) — постоянные линейные части разло-- жения, а функции Еь ие содержат членов ниже 2-го порядка малости. На практике судят об устойчивости решения (5.6), рассматривая вместо уравнения (5.7) лишь уравнения 1-го п ибли-;", жения при ли-;, «~а — =аа1х,+а„,х,+... +а„х„; (й=1,2, ..., а). (5.8) -." Так как справедчивость замены уравнений (57) уравнениями,-'„' ( ) ранее не очевидна, необходимо исследовать уравнения ( .
), пр которых устойчивость (неустойчивость) решешш ния (5.8). (5.6) вытекает из рассмотрения уравнений 1-го пр б и лижг- Ляпунов все случаи исследования уравнений (5.8) разделил на некритические и критические. К первым относит случаи, в которых вопрос об устойчивости (неустойчивости) невозмущенного движения однозначно решают на основании исследования уравнений 1-го прибл же ня (58) Чт б и н , ". ). Чтобы обнаружить эти случаи, следует составить харак. теристическое уравнение системы а„— Л а1з .. а, 77(Л) ал ам — Л .
„. а2„ ам а„, а 130 '":::: 'едовать его корни Л, (й=1, 2... и). Ляпунов доказал ;~оремы, которые позволяют исследовать все некритические "~йгь: ма 1. Если вещественные части всех корней Ль харак"'':'-таического уравнения (5.9) 1-го приближения отрицательны, .~"тябзмущенное движение асимптотически устойчиво незавиот членов разложения выше 1-го порядка малости !фапрема 2. Если среди корней Ль характеристического урав- Я'я'-(5.9) 1-го приближения найдется по меньшей мере один '-",",жительной вещественной частью, то невозмушенное дви"" е,цвустойчиво независимо от членов разложения выше '':;)г)зрядка малости.
' 'Нтическис случаи имеют место, когда среди всех корней '""'ения' (5.9) имеются некоторые корни, вещественная часть '"-'"-'ых равна нулю, а остальные корни имеют отрицательную '"-"" ениую часть. В критических случаях вопрос об устойчи. "Певозмущенного движения (5.6) пе может быть разрешен """ованни исследования уравненпй 1-го приближения: устой':: ь" (неустойчивость) невозмущенного движения опреде'"'. видом нелинейных функций Рь Поэтому в критических '" Хз.требуется рассматривать уравнения (5.7) в исходном равнения; Ам ие от началь- "')(актеристическое уравнение, соответствующее системе ' "иий (5.8), имеет вид ' а+а„,Л"-'+...
+а,Л+ао=О. (5.10) 'э", "для определенности все корни уравнения (5.10) различ. ;м())да его решение записывают в виде ' ' ' А' ех '+ А,ех*'+... + А„ех ~, " "; Ль..., Л, — корни характеристического у ~!;:.;=,'";А„— постоянные интегрирования, зависяш '.: 'Фелоний. 'Усть Лк — вещественный корень. Если Ль)0„ ,;~~!С: течением времени непрерывно возрастает и Мрачности. В этом случае х также стремится к '':~:система неустойчива. Если Ль(0, то член А .;®емени стремится к нул1о, т. е. затухает.
Еть один из корней Л, — комплексный, тогда всегда сущейопряженный с ним Л: "„'~сс+1р; Л. а — 1р. ,„. м,случае ~~~~' +А,ееГ =:=А,е" з1п(()Я+ф). -'л' »О, то имеют место колебания с частотой р и нараста« амплитудой, т. е. движение неустойчиво. При а=О м незатухающие колебания — система находится на гра, Устойчивости.
Если а(0, то амплитуда колебаний с тече1З~ пнем времени уменьшается и колебании затухают. Отсюда мои, ' но сделать следующие выводы: если все вещественные части корней характеристичесг ского, ':,," уравнения отрицательны„то динамическая система устои пнн " лт)к (рис. 5.1): у), 4 й Рис. 53. Расположение корней хиркнтсристичеслого уравнения устойчивой СЛР на ком- плексной плоскости если хотя бы один из корней имеет положительную вещест-", венную часть, то система неустойчива.
Если в каких-либо корнях характеристического уравнен,я! вещественная часть равна нулю, а у остальных — отрицатель-,; ная, то об устойчивости невозмущенного движения по первому."! приближению ничего сказать нельзи и требуется специальное:;: исследование полного уравнения. Наконец, если среди корней::, характеристического уравнения имеется один или несколько-,';' нулевых корней, а вещественные части остальных корней отри.:,:: цательны, то говорят, что система нейтрально устойчива.
Этот-:; случай называют критическим, и для определения устойчивости':, системы необходимо специальное исследование нелинейных чле-. нов разложения. 5.2. Критерии устойчивости линеаризованиых САР Вычисление корней характеристического уравнения пе пред -:„ ставляет труда для уравнений 1-й и 2-й степеней. Что касаетсн:-: общнх выражений для корней уравнений 3-й и 4-й степеней, то:,-;. они громоздки и практически мало удобны, Следует отметить'-': отсутствие общих выражений для корней в уравнениях более '- высоких степеней. Поэтому важное значение приобретают пра вила, которые позволяют определить устойчивость системы, мн нуя вычисления корней.
Эти правила называют крнтериямн:,',: устойчивости. Они позволяют в ряде случаев не только уставе',1 вить, устойчива система или нет, но и выяснить влияние тех ', 132 '"',..утпых параметров, а также влияние структурных изменений ,'пуойчивость системы. Существуют различные формы крптсустойчивости. Однако математически этн формы эквива- " Ы, так как определяют условия, при которых корни харак'"","нческого уравнения находятся в левой части комплексной ';"алости. ":мкйтерни усто1гчнвостн классифицируют на алгебраические мгтотные Критерии, которые позволяют определить, устой' ',рпьсистема„с помощью только алгебраических процедур ЪтЩЬффицнеитами характеристического уранпения, называют "" зическнми. К ним относят критерии устойчивости: Рауса, '"'"ца, Шур-Кона и др.
[2, 19, 20). Алгебраические критерии ,.'„-'ил)стем, описываемых уравнениями выше 4-й степени, дают ~.'жНость определить лишь устойчивость системы при задан;:.-:~деленных значениях коэффициентов уравнения. Но ви'", "тельно с их помощью ответить на вопрос: как изменить "'' 'тры системы, чтобы сделать ее устойчивой? тный критерий устойчивости, впервые сформулпрован."!Нлайквистом, был применен для исследования устойчивости ,:;:А''.' В.
Михайловым в 1936 г. Кроме того, последний сфор"~овал другой частотный критери15 получивший название "'"'уия устойчивости Михайлова. Достоинством частотных "" '.нев является их наглядность, а также возможность не'"; йать частотные характеристики, полученные эксперимен' „'-когда не известны дифференциальные уравнении систе"''и',ее элементов.
Критерий устойчивости Михайлова целе'"н(зно применять тогда, когда размыкание системы не при„"н замепюму упрощению задачи ,.устойчивости замкнутой системы судят по частотной ха:нстике разомкнутой, и в этом случае применяют крите. .',:43гптойчивостн Найквиста — Михайлова. Кроме того, частот„-::,'клритерии устойчивости дают представление и о качестве регулирования.
5.3. Алгебраические критерии устойчивости ;:,. $мтерий устойчивости Рауса. Этот критерий формулируют , (йщим образом: если система автоматического регулиро,, 'опнсывается линеаризованным характеристическим урав- ,, ФМ: вида (5.10), то для того, чтобы система была устойчива 'хч'-',.-все корпи уравнения имели отрицательные вещественные ;,), необходимо и достаточно, чтобы все элементы столбца 1 ' -'6,1 для данного уравнения были одного знака. йо,'Мн а,)0, то нсе элементы столбца 1 табл.
5.1 должны .положительны '!~Ь~лицу (алгоритм) Рауса (см. табл. 5.1) составляют сле... ймс образом: н строку ! вписывают коэффициенты уравне;::(5ЛО) с индексами (а„, а, а, а„ь ... ); в строку 2 — конф,.„.екты уравнения с индексами (ач ь а з, а.-м... ); в строку '1ж 133 Таблица;- е) Алгоритм реуса ! Столбец ! 2 Номер строки Значение г з а„ а а о — з ал г— е ил-1 си=..а„; — г„а„., бы=а„в — гва, з сев=а» в — гва — 1 зал-1 1" 1 с„ Си=а» 1 — Г1СМ ем=-а„в —.г,см ем=.—.а„в — г,свз свв г=— Све с„= сз,— гзс, СЗВ = СМ вЂ” Гзовз сзв = са гзсм !,в+1 г! с1,в»2 !+3 С!14.1 = =Сап+1 с!Сказа Газ+в:=: = Сз, +1- -Гаева»З са,!+а= = С, 1 1.,— Г,СВ»41 а ~п-31 ! ап П 1 ал ат 2— ап., ап! 1 Г'П; в,в-г св-в,! — ! ! ! а--- с1,1 2/св,! б —,коэффициенты с,з, сз,, которые подлежат определениют„ В последующие строки вписывают коэффициенты се (Ег — помер: столбца; ! — номер строки, в которой стоит коэффициент).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
