Калиткин, Карпенко, Михайлов, Тишкин, Черненков - Математические модели природы и общества - 2005 (947500), страница 7
Текст из файла (страница 7)
ъч — — (и, г). где й— толпгина горизонтального слоя в данной точке; 4) производится итерационное сглаживание поля ветра. Та 6 ли па 6. Показатель экспоненты в зависимости от класса атмосферной стабильности Класс атмосферной стабильности 0,08 0,165 0,215 0,3! 0,405 0,43 т 0,44 Затем повторяется минимизация дивергенции и выполняется подстановка величины скорости ветра в транспортную модель. Разработана схема минимизации дивергенции поля ветра. Описание базируется на корректировке начального приближения для ветрового поля в каждой точке пространства между домами путем минимизации дивергенции и сглаживания. Дивергенция обращается в нуль путем проецирования заданного ветрового поля на пространство сеточных векторов.
На первом этапе моделирования задается началыюе приближение распределения векторов скоростей и минимизируется дивергенция горизонтальных компонент векторов скоростей (условие неразрывности г1гктч = О). Пусть задано начальное приближение в прямоугольной области й .††Л.„. х Г.„ для двумерного векторного поля: (л у) - (и (л, у) ~ ( г. у)) (23) На разностной сетке начальное приближение имеет вид: 1,'2 оь1/2,з') (24) где ~,'.= 1, ...,Хы у — — 1 ",Хэн Построим на разностной сетке двумерное векторное поле (рис. 4): мы (тйо, !/2 гйщ/21) ° (25) где 1 = 1, ....
Хм 1 = 1, ..., Лз, обладаюпгее следующими свойствами: разностная дивергенция и...,. ПЫ вЂ” н, э,;з г„м, ы — г.. ыго г11мзх,з= ' ' ' ' + х у равна нулю, и отклонение тч„от начального приближения м,', минимально для всех 1 = 1, ...,Хы 1 = 1,..., Хг. С этой целью введем 29 р 2 Создинив пригриммвых килсплвксов, основанных гг 1,2', 1 и)41 Н2 гм 1,7 Рис 4 Задание компонент скорости ветра на сторонах ячеек разностной сетки следующее семейство сеточных векторных функций, значения которых будут определяться в узлах сетки: (О, О, 0). ! 7- 'р О 7' ~ Аь Арь = (ООА), 1=рю)=й; йр=1,...,Х1, 1'.й=),...,А2, (2б) где А — некоторая произвольная константа.
Запишем разностные роторы для данных функции: (27) Орг 1/2 Р— Ер !/2 Ь / где йрь 172, йрьр172, йрч.172 ь, 7„, 1721,. скалярные сеточные функции, значения которых задаются на сторонах ячеек сетки, такие что: / О, 122рО1;.г/с, ~4/Ьц 1=рй1=1- 1' р=! Аг 1' й=-1 721 О, 1фрОуф)х ~ А/Ь1й 1 = 12 О,1 = к; й р = 1,.... Х1, ~', к = 1,..., гт2, (28) О, 1 ф р О 7 7'= 1. '!А/Ьт., ~' —.рю) — )г; йр — -1,...,Х1, 1,й=1,...,Х2, О, ~, 'фрау ~ й, 02ь ~(А/Ьзх 1=рюу=к; Ей=1,...,Х1, 1,1=1,...,Т2. Получившийся элементарный вихрь изображен на рис.5. Линейная оболочка всех элементарных роторов на разностной сетке образует некоторое линейное пространство, в котором данные роторы играют роль базиса.
Очевидно, любая их линейная комбинация также является ротором некоторой сеточной функции. Если функция го1 А(л,у) принадлежит указанному линейному пространству, то ее разложение по базису е' р будет иметь вид: (го1 А) 1 = (Е Срьй'рь) 9. (29) где ! = 1, ..., У1, 1' =- 1, ... шй12. ЗО Гт Г Создание систем мониторинги кичеотеи еоздухи р-1,Ьэ1 р,уэ1 р->1,уэ1 р-1,Ь р-1,1-1 р,е-1 рэ1,Ь-1 Рис. 5.
Компоненты элементарного ротора на разностиой сетке Запишем начальное приближение для двумерного векторного поля в виде: тг'(аь у) =- го1 А(л, у) у и(л, у), (30) где А(л, у) и а(л, р) .. некоторые векторные поля. Если спроецировать начальное приближение на описанное выше линейное пространство. то искомое векторное поле будет иметь вид: иг(зч у) = гос А(х, у). (3! ) Начальное приближение для двумерного векторного поля на разност- ной сетке можно записать как 'ц = (ч,срРрь) ч- з тогда искомос векторное поле запишется в виде те11 = (~ СрьРрь)„. Скалярно помножим обе части уравнения (32) на величину Ец.
(32) (ЗЗ) (35) Р,зси —— - О, 1 =- 1, ..., Хы г =- 1,..., Ха. Из (34) и (35) имеем Рцти,'„= Р,з(~СраЕрь), 1= 1, ...,Хы 1= 1,...,Ха. (36) Решая систему (36) гкл х Хз уравнений, находим коэффициенты С, ь. Подставляя их в (33) и проведя элементарные упрощения, находим тч, с Л,, А тн,, = (иь,ь1д, г,,1~аз) — — (С а,! — Сц) —, (С,, — С,ььз) — . (37) лк у Ьх Я ьгкт з = сц(1,Срь~ рь)ц 1 с цоц.
(34) Для того чтобы норма функции а, являющейся отклонением тнц от начального приближения тчц, была минимальной, проецирование начального приближения на линейное пространство элементарных роторов должно быть ортогональным, то есть, должно выполняться условие ортогональцости Е1 второму слагаемому в правой части формулы (32) для всех 1 и у Э 2 Создание прогри.чмных комплексов, иснивиннвгх 31 4 (Ст» ГЬП- ° 1,п) ~, .= те!72,» т, (38) гй (Гтл — '1 Гто) ~ (Ггп,п+!72.
2~д Перепишем систему (36) в виде Гм,о = Г„( ~- С„ьг„ь+ (рж)т(гп,г~)г! Г! ( р. Ь ) р ! т.)- 1 . и ) и г!!рл)р(т,пг!) Ст п К»» + Сп~ л1, ПУт ! !.п + + С „,1!г „,! (39) и учтем условия (38): ~ г!тиау ~ гв С Срыв + Сгпп~гп» (рд)и(т.п)г! Г!(р.ь)и(тэ!л)о г!(РЛ)Ф(гп,», 1! спХ '! ск)) '! + (~ тп Кп!.172,» 4 ! Пт-ь1,» ! ! Сгп» т бт.п!.1/2 7' ктгп-~-1 /м (40) Окончательно преобразуем (40): Лх 2.2я ~~зтр,в -! (тж1/2.» 4 ~гп--1,п Пгппж!72 —,1 ~гп,п-~.! = = 00( ~ С ьХ ь+С (Гт + Г +!. +Р, э!)) у (41) (рл) ят.гг)г! г!(р.й)~(т~-1ггг)л ГУ(рж)У(тл-' !) Из (41) следует, что в формуле (32) нужно требовать ортогональность несоленоидальному слагаемому в правой части не от элементарного Может возникнуть ситуация, когда искомые весовые коэффициенты для элементарных вихрей, относящихся к соседним узлам сетки, не являются независиьгыми относительно друг друга. Рассмотрим для этого ветровое поле в качестве примера для векторного поля.
На рис. 6 изображена ячейка, в центре которой находится метеостанция. Так как наличие метеостанции предполагает значения соответствующих компонент искомого поля ветра на нижней и левой границах ячейки известными, это требует некоторой модернизации системы (36), чтобы ее решение не входило в противоречие с измерениями на метеостанции. Принимая во внимание (37), можно видеть, что для этого в системе (36) уравнения для узлов (гп+ 1, п) и (гп, и +!) надо заменить условиями 32 Гж 7 Создание систем мониторинги кичества воздухи ВИХРЯ Ет„, а От ВЫРажЕНИЯ Рт„+ Мы+1„—, Е' „„1, таК КаК ИМЕННО оно стоит под знаком суммы.
Новый базисный вихрь е „т + Р,„ььо + + Ео,, „ч1 показан на Рис. 6 белыми стРелками. Рнс 6. Базисный вихрь прн введении в ячейке дополнительного ограничения на ветровое поле„ связанного с метеонзмереннями Другой случай, требующий введения изменений в систему (36), обусловлен наличием возвышений рельефа и зданий. Рассмотрим пример, проиллюстрированный на рис. 7. Здание обозначено заштрихованной областью.
Так как ветер внутри него должен отсутствовать, а компоненты ветра, перпендикулярные стенам, также должны обращаться в нуль. то все коэффициенты С„в системе (36), относящиеся к элементарным вихрям вокруг узлов расчетной сетки, находящихся внутри и на границе здания, должны быть равны между собои: Сто Сть1,о Сыч-2.о Ст.о 1-1 Сть1,оь1 Стжзте1 Ст.иез == С~о-' 1,ос з = Стеапгз .= Спин з =- С~пч-ьчтз =- Ст,-зп,-з (42) Рнс.
7. Бззисный вихрь прн введении в нескольких ячейках дополнительного ограничения на ветровое поле, связанного с наличием здания 33 Э 2 Согдиане прогриммньы нолтлннсон, оснонанньж Проведя преобразования, аналогичные (39) — (41), получим для ситуации, изображенной на рис.
7, следуюнгий новый базисный вихрь (на рисунке оп обозначен стрелками): Втп Етп1л+ Ет ьза+ Е тЛ11+ Е тэ1,п11+ Етнзтг.1+ Е т а12+ м пьв1,п-1-2 нт-~-2.ан-2 г и т,а-1-,1 1 л ~аз-!.ан-г + л т-~-".о-~-3 а окончательная система уравнений после применения формулы (42) и выражения всех зависимых коэффициентов через Спн, примет вид; ~мтг,'2 = Е'б ,'~„Срань-, Счпп(Ета "Е'очка-~- (рд)л(т,п]п... г1(Р л)и0,~.2 „.12) + л>п-1-2л, 1 л т.а 1-1 Ч- Р,а,1 и 1.1 + Тг, ~ь „ ~ т.а-~-2 1 ~ юг-1.а-н2 + ~ т-1-2.аэ2 + ~ ьп а-1-3 '1 ~ т, 1л ' 3 + ~т, 2аььэ) (43) Системы (Зб), (41) и (43) переопределены, так как искомые коэффициенты определяются с точностью до аддитивной константы. Поэтому для определенности заменим, например, уравнение для узла (О.
0) условием С:оо = 0 и исключим его из систем (36), (41) и (43). Теперь эти системы могут быть решены с помощью метода сопряженных градиентов, так как их матрицы симметричны и положительно определены. Затем, используя (38) и (42), находим значения остальных коэффициентов. При наличии нескольких метеостанций, возвышений рельефа или их комбинаций, обуславливающих наличие дополнительных связей между весовыми коэффициентами для соседних элементарных вихрей, все вычисления аналогичны вышеприведенным. Причем, для каждой серии таких вихрей возникает новый базиснь1й вихрь, являющийся их векторной суммой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
