Калиткин, Карпенко, Михайлов, Тишкин, Черненков - Математические модели природы и общества - 2005 (947500), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Причем. его концентрация в крайней левой ячейке и крайней правой, в которой присутствует вещество. составит 2 условных единиц, а между ними значения будут излгеняться, достигая максимума посередине. В случае наличия второй колщоненты ветра вычислительная диффузия будет еще интенсивнее за счет одноврелгенного распределения вещества по двум направлениям. Таким образом, происходит размазывание вещества по пространству. Уже на 3-м шаге вместо максимальной концентрапии 1 условная единица конпентрации будет составлять 3)8 условных единицы.
42 Гж 2 Создание систем мониторинги кикестеи еаздухи -Ф. Ах Рнс. !6. Реальное распределение концентраций примеси с течением времени в одномерном одяородном ветровом поле 3~ 2 Рис. !7 Распределение конпентрапий примеси с теченнем времени в одномерном однородном ветровом поле по результатам расчета с помопгью сеточно- характеристического метода Недостзтки вышеупомянутых вы числительных схем побудили к разработке специально адаптированного для данной задачи метода моделирования переноса.
2.6. Схема расщепления по процессам на основе метода частиц в ячейках. Новая схема расчета полей концентраций при переносе в поле ветра должна была позволить быстро н эффективно рассчитывать концентрапии в любой точке пространства и времени, но, главное, избежать принципиальных счетных ошибок при построении алгоритмов переноса, свойственных характеристическому методу и явным схемам с разнообразнылги колп|енсацнонными схемами. Отправной моделью для создания схемы расщепления 2 по физическим процессам послужил классический метод частиц в ячейке [21]. Э' г Создание нрогроммньы комплексов, оснонанньст Однако по принятым допущениям он оригинален и не имеет аналогов в литературе. Пусть имеется некоторое распределение аддитивной неотрицательной скалярной величины ) в пространстве (например, концентрации примеси в атмосфере).
На разностной сетке оно будет отражено мат- рицей (Л )м.м, Уг( к Л:„ н„=о (44) где индекс 1) показывает, что суммирование производится только по тем частицам, которые находятся в ячейке с номером (~'. Если лн р" — координаты частицы в мольент времени (Р (везде далее верхнии индекс означает номер ~паса по времени), то ее координаты в момент времени (нэ' вычисляются с помощью итерацяй (45) где инч, оь и — компоненты скорости ветра в точке с координатами :г", .
уй, сз( шаг по времени. На каждом временном шаге итерации проводятся для всех частиц. Далее проводится проверка, какие частицы в результате переноса перешли в другую ячейку за интервал времени Ь(. Например, если частица с номером )с, перешла в ячейку Ьп„ то частица привязывается к новой ячейке, причем число Л„. уменьшается на единицу, число )тцн увеличивается на единицу. Если частица вышла за границы области. она уничтожается. После этого по формуле (44) вычисляется новое значение величины ) на разностной сетке; — ! рн(!) ~,,т О1 н„ Г м=о (46) где ( = 0...%к — 1, ) = О, ....
Ув — 1, а индекс (1) означает, что координаты частиц вычислены для временного шага (н' ', но не учтен вклад не адвективных процессов, влияющий на значения весовых функций и распределение величины ( на разностной сетке, т. е. указанные значения не изменяются по сравнению с временным шагом г". Различные не адвективные процессы (турбулентная диффузия, химические реакпии и т. д.) моделируются для этого распределения с помощью численных методов на временном шаге гн+', откуда находится где )„значение ) в ячейке с номером Еу, где ( = О, ...,Ль — 1, у = О, ..., Хк . 1.
Назовем ьчастицейь структуру типа (лв, рю )в), где юл и рв — ее координаты. а )н — некоторое весовое значение величины ). относящееся к частице К (й — номер частицы). Размеры частицы считаются нулевыми. Пусть в каждой ячейке сетки с номером Ц содержатся Жь частип, тогда, по определению, 44 Гж Г Создание систеи мониторинги ки«ества воздуха с«»» ~ го 1 (47) и при этом координаты частиц остаются прежними.
Для тех же ячеек, в которых после моделирования адвекции находится по несколько частиц (их координаты также остаются прежними), сумма значений их весовых функпий будет иметь уже значение 1,'гге . а сами значения те жс пропорции по отноп|ению к значению величины )' в ячейке, т.е. а;,ы для любого й, = О,..., Ж,",~' — 1. Положим, что в начальный момент времени (0,,1;о =- О, '';,=~! ~г( . го го >О 1=О....,Г«, --1, в =0,...,%и — 1 (48) то есть, в ячейках, где У~~ > О, содержится по одной частице, такой частице соответствует весовое значение Г, и она находится о в центре соответствующей ячейки. Метод предполагает возможность «рождения» в ячейке новой частицы в результате какого-либо не ада(0 вективного процесса (например, диффузии) в случае.
когда ),. = О, а 1,"~ > О. Тогда создается новая частица с координатами в центре соответствующей ячейки и Д'+ =- 1,"'+ . Рассмотрим применение метода на конкретном примере. Пусть ветер задается в центрах граней ячеек, как показано на рис. 15. В любой точке координатной плоскости для каждой компоненты ветра можно выделить 4 точки.
Рассмотрим фрагмент расчетной сетки (рис.!8). Возьмем точку с координатами (х,у) и обозначим соответствукпцие точки для компоненты и(хо, до), через (хи д~), (,с, дз), (хм да), а для компоненты о — (х«, д«), (х;.„Уз), (хв, ув), (хт, дг) (рис. 18). Значения величин и и и в них, соответственно, ио, иы иа, из, п«, оз, ов, от. Значения и и о в точке (х, д) вычисляются по интерполяционным формулам: и(»лу) = а+(хс+ ау+ дхд, о(х.д) = в+ )'х+ ду+ йз:д.
Коэффициенты а.о,с,г!,е, )',д,й определяются из системы соотношений и(хо, уо) = — ио, и(хи У1 ) .— — им и( сю Уз) .—. из, и(хз, Уз) .—. им о(х«, У«) —. о«, о(хз, Уз) —" оз. о(хт ув) = «Ъ, и( ст ут) =- от Для получения координат частиц интерполированные значения компонент ветра подставляются в формулу (45). Полученные таким образок« координаты частиц, которым соответствуют определенные распределения концентраций прил«еси, подстав- распределение ((,",'э')М р,;«, после чего осуществляется переход к следующему шагу.
Перед этим необходимо провести обратное преобразование: из нового распределения величины (1;"~ )м м„ получить распределение по частицам. Для тех ячеек, в которых после моделирования адвекпии осталось по одной частице, З 2 Создание нрогри.кынык коз«алексие, иснивиннык Рис. 18 Фрагмент расчетной сетки. Здесь интерполяция ветра в специальном методе частиц соответствует точкам лаются в соответствующее место програмьиы пакета «Т1МЕЯ».
С помощью численных методов для этого распределения на текущем временном шаге моделируются различные не адвективные процессы (турбулентная диффузия, физико-химические процессы и т.д.), находится распределение (),~~э )м,м и осуществляется переход к новому временному шагу. При расчете полагаем в пределах каждого атмосферного слоя 1м '= с„1!,, где Ь вЂ” толщина слоя. с — концентрапия. С целью получения более точного решения для поставленной задачи нахождения поля концентрации загрязняющего вещества в атьиосфере описанный вьппе метод частиц в ячейке был усоверп«енствован путем введения в рассмотрение частиц с ненулевыми размерами. Здесь под «часлицей» понимается структура типа (хюць, )ь), где хв н уь — ее координаты, а )ь — некоторое весовое значение величины у, относящееся к частице К (й — номер частицы).
Причем, частица имеет размеры ячейки расчетной сетки ЬХ х гзУ, где ЬХ и ЬУ шаг сетки в направлении Х и У, соответственно. Крупная частица может располагаться одновременно в нескольких ячейках — одной, двух или четырех (рис. 19). Пусть в каждой ячейке сетки с номером 1у содержатся полностью или частично в"«ы частиц, тогда к, — 1 «н ! « (49) 46 Гл. Г Создание систек мониторинги качества еаздухи Рис. !9 Различные варианты расположения крупной частипы по отношению к разностиой сетке Символ '" над весовыми значениями частиц указывает на то, что в расчете используется только сектор частицы, находящийся в ячейке 11; (г.'сх)г о (дсу)т, оы, = " " . относительная доля общего размера частицы, глмг.зу находящаяся в указанной ячейке (рис. 19 в).
Координаты центра крупной частицы в момент времени р'+' вычисляются по формуле (41). После этого вычисляется новое значение величины ! на разностной сетке по формуле »чО1 . к ич-1 ан) (50) где ( = О,...,зйгк — 1, 1=- О, ..., Уи — 1, индекс (1) по-прежнему означает, что координаты частиц вычислены для временного шага !пт~, но без вклада не адвективных процессов. После моделирования не адвективных процессов обратное преобразование — получение распределения по частицам из нового распределения величины () и ' )и и — производится так же, как н для точечных частип.
Однако здесь необходимо учитывать, что крупная частипа может включать в себя до 4-х у ъастков, принадлежащих разным ячейкам сетки. При этом не адвективные процессы не влияют на координаты центров частиц. Для тех ячеек, в которых после моделирования адвекции находится по несколько частиц, сумма значений «вкладов» их весовых функпий будет иметь значение (;"+', а сами значения — те же пропорции по отношению к значению велйчины Г в ячейке, т.е. ч ~! зч у Ко ун(п у для любого lс, = О,..., Х,'э ' — 1. Э 3.
Тестирование разрибогланноао ко.иллекса прогримм 47 ,Гчэ1 = ~ Гч41(Т) т'=12ч в, с. 01 (51) ф 3. Тестирование разработанного комплекса программ Было проведено тестирование разработанного комплекса программ. На рис.20 и 21 показаны шлейфы от загрязняющих веществ, образующиеся в процессе работы непрерывно действующего точечного источника в застройке из семи домов при различных направлениях ветра. Из рисунков видно, что шлейф имеет одинаковую ширину как при преобладающем направлении ветра вдоль оси Х, так и при преобладающем направлении ветра под углом 45 градусов к ней.
На рис. 22 показан шлейф от загрязняющих веществ, образующийся в процессе работы непрерывно действующего площадного источника в той же застройке. х. и 1ОО0 зоо 600 400 200 о 500 1000 1500 х,м Рис. 20. Шлейф при работе непрерывно действующего точечного источника при преобладающем направлении ветра вдоль координатной оси Л при наличии 7-ми домов различной формы и ориентации Градации серого передают величину концентрации Обозначим за Т параметр, показывающий, какой из секторов частицы рассматривается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
