Калиткин, Карпенко, Михайлов, Тишкин, Черненков - Математические модели природы и общества - 2005 (947500), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Па рис. 8 — 11 представлены результаты построения ветрового поля при наличии на пути воздушного потока зданий для различных азимутов направления ветра и конфигурации застройки. Существенным для ()ВВА1ч1 — модели является выбор сетки. Ее разлгеры должны обеспечивать правильную картину разделения потоков вокруг домов, т.е. обеспечивать достаточную точность решений. Диагностическая модель поля ветра над слабо холмистым ландшафтом (модель ()ФМ) существенно отличается от описания обтекания крутых препятствий. В этой модели применены некоторые энергетические характеристики распределения потоков вокруг и сверх холмов.
Поле ветра рассчитывается по следующему алгоритму: 1) задается начальное приближение; ц(л, д, =) = ио, ц(л, 1д з) = но, 2) рассчитывается вертикальный профиль; 2 Пы1 рьл В Ф тнтпнаа 84 Гл. й Создание систем .иониторинга качества еозсухи В и г,ч 800 800 600 600 400 400 200 200 0 500 ! 000 0 500 !000 х,и «м 800 600 400 200 500 !000 х„м Рис. !О. Ветровое поле в области с семью домами различной конфигурации и ориентации 3) итерационно минимизируется величина с))х А =- с))5 мг6, где мг = (!И ц), й — толщина горизонтального слоя в данной точке; 4) рассчитывается влияние холмов; 5) учитывается поворот ветра у препятствия в зависимости от числа Фруда; 6) производится итерационное сглаживание поля ветра; 7) осуществляется повторение и. 3.
2.4. Решение системы уравнений модели. Система уравнений транспортно-диффузионной модели решается методом физического расщепления на процессы. Разработаны две схемы расщепления. Рис. 8. Ветровое поле при наличии одного дома. !!реобладаюшее направление ветра перпендикулярно короткой стене лома Рис 9 Ветровое поле при наличии одного дома. Преобладающее направление ветра составляет угол 45 градусов со стенами дома 55 а 2 Создание прогри.инны комплексов, основаннььх У,М 500 Поо 300 200 100 0 100 200 300 х,м Рис. 11. Ветровое поле в одном из кварталов Москвы 2.4.1.
Схема расщепления 1 на основе сеточно-характеристического метода. Для схемы расщепления 1 был разработан сстоннохарактеристинеский метод, адаптированный к конкретной проолеме построения мониторинговой системы. В данной схеме выделяются следующие процессы: перенос ветром вдоль оси Х и У, горизонтальная турбулентная диффузия и вертикальная турбулентная диффузия. Запишем закон сохраненив вещества в интегральной форме для каждого из них. 1. Для переноса ветром вдоль оси Х: гадь , пх~ 111, 1щ 1 д1иа,и, дх 1-ьЫ нл.~ В1 и 101 ~ 01ьсзьи, ь 2. Для переноса ветром вдоль оси У: ~,п,-1 % 1,н 1В г11ищ, в д г„-,гь, Дв 36 Гж Р Создание систем мониторинги канестаа еоздухи !жа! '2,! 1 "2.
) ду ! 3. Для горизонтальной турбулентной диффузии: геа! 6оь! 131 6и,(2) 6а!! 33) йи !21 ( (с(,гуо;!6ие! и о! !21) 6 6- +66-" с~~+((-д)6"м!Ро-')д1= ! з-.ь! — (с(1ч(6!К, рве(с!,') — (!ьж + йм,6, т 6!6!)с!а + (1 — д)6,|) с(1. 6" ' ! с(з! — 6" с( ) '2!, '! 2а г-(-ж! Йг (6,6, дгас1с!,) — (! з! -! )г„,!6!)сзо .+ 6!6,с!., -ь 36А, г)1, 4. Для вертикальной турбулентной диффузии: /; са 6"е'сы' — 6"с"' = ( Гд д1 с,,—,с,з= ! -<- га 6о-, '! .(О ) и (з) ( л-! 31 $ Со,—,С2,= ) 2 где и — номер временного слоя, Ь1 — величина шага по времени, причем 1 = — 1" и 1+ Л! = 1а ь', индекс (0) означает, что значение концентрации берется с предыдущего (и-го) временного слоя. Из выражения для переноса ветром вдоль осн Х находится значение концентрации с(О и подставляется в выражение для переноса ветром вдоль оси У и т.д., пока не найдено значение концентра!Гни с(~), которое соответствует значению концентрации на текущем (и+ 1)-м временном слое.
2.5. Построение разиостной сетки. При построении разностной сетки трехмерная область разбивается на ячейки переменной высоты (рис. 12). Во всех разностных схемах к граням и к узлам ячеек относятся разные переменные, как показано на рис. 13, на котором изображена ячейка разностной сетки с пронумерованнь!ми узлами (2, = — О,...,пх, у = О,..., пу, гв = 1, ..., из+ 1). Перенос ветром вдоль оси Х описывается уравнением вида: д( др!л — '-+ —,— = О. д! да а 2 Созоииав арогриттньгх холалвхсов, основанных Рис. 12. Построение разностной сетки при верхнем слое переменной толщины ййе1, ге 1,7ч-1,те! те1 Дбт-ь1 1-'-1,7т 1, т йу йгй т Рис.
13 Задание физических величин в различных тачках ячейки разнастной сетки Таблица 7 Соотнесеняя переменных разностной схемы с различными точками ячейки Значения величины 7 на ревностной сетке относятся к центрам ячеек, а значения компонент ветра к граням, как показано на рис. 15. Метод проиллюстрирован на рис. 14 а-в. На рис. 14 а — в по горизонтали отложены номера узлов ячеек вдоль оси Х, а по вертикали -- номера временных слоев. При заданном 38 Гл.!.
Создание систем мовиторивга кичеетво воздухи 2»»» 1 Ч, Аг и, 1121 и, и в гв 1 С, у» 1 в, 2 - г 1 2 - -'- 1,1 6 и»-1 В2 и Ег 1У; 1+1 *С2 з»1 г Аз иг 1 из в Сз и 1 Г", гв! Рис. 14. Иллюстрация сеточного характеристического метода. Из двух харак- терис гик линию 1 — —. 1» пересекают, а) обе; б] одна; в) ии одна значении 1;" на и-и слое находится значение 1,",+' на г,п + 1)-м слое. Вертикальнгйе сплошные линии соответствуют узлам, в которых заданы скорости, а пунктирные линии- центрам ячеек, в которых задана величина 1.
Из точек А и 0 опускаются характеристики дю кривые, определяемые уравнением — = и(л,1). При построении харак- Й теристик получаются вспомогательные точки: А1В1С1Р1 — рис. 14 а, А2В2С2Е2Р2 рис. 14 б, АзВзСзР1 рис. !4 в Лг Сг ~ 1 11ю+ ~,1дх =- О, в, в, Л г.'г Сг ~ .1дзг+ ~ 11,едуч- ~ 1г1л = О, вп вг вг Лг с, ~ Гд'+ ~ 1д)=О. Интегралы записываются в виде разностных схем, откуда находятся искомые значения для концентрации загрязнения. Например, разност- 39 а 2 Согд1!нив программных колснлвксов, основанных ная схема следующая: 1' — 1 ~',"Ьг+ у;."(ш1Са) — !'сзл!) — г;:+!Ьл — ф !11 Вз) — 0) и!О .— — О, 1=О откуда /",1(лгбй) — 1'15л) — гв!' 11В1)11ог 1=О Аналогично записываются выражения и для других случаев.
Далее вводятся 1н =- 6"с1о! и 1"ч ! =- 6" У'с01. По известному значению сщ1 находится с1'1. Перенос ветром вдоль оси У описывается аналогично переносу вдоль оси Х. Уравнение переноса ветром вдоль оси У: дг" д 1'о д1 др Вводятся г'" = 6"с1'1 и ~"+! = 6нч'с1в1. По известному значению с1'1 находится с!16 Пояснения для обеих методик приведены на рис. 15, У; ., 1'.1-,1+ 1 1,1+1 1,! 1 е 1,У Рис.
15. Задание проекций векторного поля ветра и искомой скалярной вели- чины в ячейке разностиой сетки при решении уравнений адвекции Разностная схема для горизонтальной турбулентной диффузии: Во внутренних точках области 1! —.- 1,..., пл — 2, у — 1, ..., пу — 2): у- У!1ве! 6 -1-! 1 -1-! 1гкя) 6-в-~-!1 -1-! Ч 6 в-~-! 1 в-1-! (А )' 4О Гт Х. Создание систем мониторинги канестеа еоздухи (~уу)а (~у)з РМ, =- 6,"~' + АЛХ, +АЛХ1, + ВМо + ВМ1м + (з~ж + й.,й,,"е'+ + Л~Л," ')сх1, РМ„= (1 — В)Л,",:ь'У„"зл азг+ с~,)Лз длЯ Юа, РЛХ, = 6,",',~' + АМ, + АМ1, л- ВЛХы + ВЛХ1, + (наг л- Л,„„Ь,"+') Хх1, В граничных точках области: для 1 = 1,., пл — 2: АЛХ,а = О, ВЛХо = О, -4М1.а = О, ВМ)к .—.
— -', РЛХ, =;,, РЛՄ—, + ВЛХ)„а, Зв, Ьу' АЛХь,ч,-1 =О, ВМьа 1 = — '', АМ1,„, ~ =О, Вт сху ' ВЛХ)ьии — 1 О РЛХиои — ~ гг~ РЛХьиу — 1 схт ~ + ВМ~ ои Ы для Х = О,..., а.у — 1: АЛХа =- О, ВМ, =- О, АМ)ог =- ~ ', л, ' ВМ1аз = О, РЛХоу = -,гз, РЛХоу = оы + АЛХ1„, '~и, А~11„л ко=- ' ', ВМ„а ьу=-О, .4ЛХ)ое ~ =-О, ВМ1а, — "- О, РЛ!о на -= -;нзь РЛХ„~ =- тн, + АЛХ„е индексы Т, Х,, Л. В означают, что соответствующие значения он, Вы и йн относятся к различным сторонам прямоугольной границы. Решение данной пятидиагональной системы полностью неявным методом дает значение с1з). Вертикальная турбулентная диффузия описывается одномерным параболическим уравнением с условиями второго рода на верхней н нижней границах.
Для выбранной разностной сетки схема, описывающая процесс вертикальной турбулентности: гн гя си, — ст Вт —.4о глг гп — "- где с~ ' — с~ ~ Э' 2 Создеииз прогроммных комплексов, иднозанньст дн лп с„,, — с„, 0,5(Д„"~>', + и""') А, =0, Ля=о. Решение данной системы методом прогонки дает значение с1 '. . Ф' Однако такой метод расщепления приводит к большим вычислительным погрешностям, которые особенно очевидны при расчете на прямоугольной сетке распространения потока загрязняющих веществ под действием ветра, направленного по оси Х, н под углом к оси Х (например, по диагонали).
Для иллюстрации рассмотрим одномерный случай для наблюдаемого на практике перемещения загрязнений в ветровом поле (рис. 16). Пусть значение ветра постоянно вдоль оси Х и не изменяется во времени. Выберелю шаг по времени з1 —. лмгЯ2и), где Лл — шаг по пространству, и значение ветра. На рис. 16 по вертикали отмечены номера временных слоев. Пусть на начальном, нулевом временном слое, концентрапия вещества во всех ячейках, кроме крайней левой, равна О, а в крайней левой ! условная единица. Тогда на следующем, 1-м временном слое половина вещества из крайней левой ячейки перейдет в соседнюю с ней ячейку.
На 2-м временном слое уже все вещество покинет крайнюю левую ячейку и т.д. Процесс приблизительно адекватно отражается на рис. 16. Сеточно-характеристический метод предполагает, что на каждом временном шаге после того, как вещество заполняет часть ячейка разностной сетки, происходит его равномерное распределение по этой ячейке. Так, вначале на 1-м временном шаге в крайней левой и соседней с ней ячейках вещество занимает половину площади каждой ячейки (2-я строка снизу на рис.
17), а затем равномерно перервспределяется по этим ячейкам. Приче~, концентрация в каждой из них составляет 0,5 условных единиц (3-я строка снизу на рнс. 17). За счет равномерного распределения вещества по ячейкам передняя гранина фронта вещество-пустота движется в 2 раза быстрее. чем в реальности. Задняя граница при этом покоятся, так как на каждом шаге оставшееся в крайней левоЙ ячейке вещество распределяется по всей ее площади, отодвигаясь к ее левой границе. Очевидно, на и-и временном шаге вещество будет занимать (и + 1) ячеек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
