Калиткин, Карпенко, Михайлов, Тишкин, Черненков - Математические модели природы и общества - 2005 (947500), страница 39
Текст из файла (страница 39)
» С» С о о » С» Ю Ю О Ю Ю Ю » » Ю Ю С» Ю о О Ю Ю Ю о О О Ю Ю С» о О Ю С» О С» С\ С» О Ю С» С» О С» ь С» С С Ю С» о Ю о Ю С» О С» О о с» О С» о о о о о о о С» о С» Ю о Ю С» С» С Ю о Ю Ю Ю о » С» С» С» С» С Ю о О С» С» \ С» о О С» О С С» С» О» О С» » Ю О С» » Ю Ю Ю Ю С» Ю Ю О О Ю С С» С С» Ю Ю О Ю О го О С» С» СО С» С Ю о С С ь С» О С» о о ь С» ь' ь .» С' Ю о С С о о о С» С» С» О Ю О » О Ю Ю О » 0 О Ю' С» С Ю Ю О.
Ю С» Ю о С Ю о о о О Ю С С С» О» ь »О С» Ю ь Ю о Ю ь Ю С го Ю Ю го Ю Ю Ю о о С Ю о о С» С» С» Ю '» С» Ю Ю С» о С\ с» Ю о С» о о о О С» С» С С» О» » С С» О С» О х О» С» С» с» с» Ю о С» С» 3 С» Ю о Ю о о о о о о С С С» Ю О С» О С» О» О О \» ~ 5. Оивкки долгов Компеютери»ге метой»г клириигое»гх риечетие Ю С» Ю Ю С» Ю о С» Ю Ю Ю о о » С» С» Ю Ю о С» С» С С» С» Ю С» С»' Ю Ю о Ю с о о о о о '» Ю' с~ »~о о — ~ о ' о С» Ю Ю Ю о С» ь Ю С» С» Ю С» Ю Ю о Ю Ю С Ю Ю Ю Ю С» » '» С» ! С» .» С» С» с о о Ю Ю Ю Ю С» С» Ю Ю С» С» с Ю Ю' С» С» Ю Ю С» о Ю С» С» С с С» Ю Ю Ю С» »г С с »» ь Ю Ю о Ю с Ю о Ю Ю о С» Ю о о Ю Ю о О сг С» С» Ю Ю о Ю Ю о С» С» Ю Ю С» с Ю Ю С» С Ю С» С Ю Ю Ю о Ю Ю о Ю Ю С» Ю С СХ » о Ю о»- ~ С» -'о ~ о Ю Ю о о г» С» С» С» С» С» С» Ю С» » Ю' »3 Ю Ю о с Ю гь о.
Ю Ю С» т ь С Ю С» С» с» С» Ю С» Ю ~~о ~-! Ю л ь Ю Ю С» с» с О С» Ю » Ю' С» » Ю О о О » с» Ю Ю Ю ь ги и» О С о о Ю с » Ю Ю О С Ю С» С Ю с» Я Ю' о о о с ь о о С С с С» Ю и Ю' о С» ».. е С» С» С» » о о Ю С» о С» С» С» О о »» о » Ю о о с С» Ю » ь С» С» О С» С» С» :» О С» С» -1~ сг »» С» С» С» С» С» » » Ю » о Ю Ю » Д Ю Ю » С» С» » Ю о о О » .» л о С» » С~ »» Ю' Ю » » Ю Ю с Ю С» с Ю С» С» С» о С о С» С» с Ю Ю С» С» Ю »» С» С» С» Ю Ю Ю Ю С» С» ь С» С» Ю Ю Ю С» С» » С» ь С »»~о "~о Ю ! » о о о С» Ю о о о С» Ю Ю о Ю С» »г л \» С» Ю Ю С» С» С» С» Ю Э 5.
Оденки долгов 20? г >) 1, то сходимость быстрая; если г = 1, то потребуется очень много итераций. Первые же расчеты показали, что важен выбор нулевого приближения. Нельзя брать р, = 0: тогда при бь = 0 на всех итерациях будет (о) р„~ =-О, то есть сходимости нет (хотя при 6„) 0 опа не исключена).
Поэтому было опробовано р,', = 1. При этом итерации всегда хорошо сходились, Из неотрицательности производных др„ч~ 1!д)ььч) (53) есть важное 19ьц ', рй г (о> теоретическое следствие: если все р(, больше окончательного решения, то итерации сходятся монотонно сверху. Все компоненты р от итерации к итерации не должны возрастатги р„< рь . 1 < и < Х !ч+ ~) 1ч) ь!ислепные расчеты полностью подтвердили это. Разумеется, средняя вероятность ведет себя также: р!ч"0 < 1>~"Е Если сходимость линейная, то ее знаменатель есть ы),ы ы) р р (59а) ы — и !ю Расчет показал (см.
выдачу), что отношение г уже после 3. 4 итераций почти переставало изменяться. Это четко подтверждает линейную сходимость, позволяет найти ее знаменатель и дать надежный критерий окончания итераций: (59б) Здесь е — требуемая точность нахождения вероятности. Во всех расчетах принималось е ††. 10 '' †. 0,001;6, что заведомо превосходит требования практики. Дополнительный контроль сходимости велся по значениям в„~ . (о) Поскольку р(, = 1 соответствуют неуцененным долгам, то для части предприятий з„< 0 при не слишком большом !ь Все э„ч~ зависели от 9 го) монотонно, причем положительные з„,~ стремились к неотрицательным пределам я„, а отрицательные я„стремились к нглю. Когда вьпол1х) 1д) нялся критерий сходимости (59), отрицательные я(ч не превосходили (о) аз„, то есть были практически нулями (см, выдачу). Помимо исследования чисто математических аспектов алгоритма, изучалось влияние 7тг и 6 на результаты. Коэффипиент оборотных средств варьировался в пределах 0 < 6 < 1,6; число предприятий бралось от Х = 5 до 640 (сколько позволяла память !ВМ РС-486, загруженного еще и другими задачами).
Время расчета даже для 77 = 640 составляло =90 с. Причем, при небольшом усовершенствовании программы его можно было сократить вдвое. Результаты расчета зависели от тех случайных чисел, которые использовались в формировании исходных данных (55), (57). Поэтому при каждой паре значений эг и 5 расчеты проводились с пятью разными значениями,1= Хэ (1,2,3,4,5). Тем самым, для каждого из этих рас- 2ОВ Гл Ш Компьютерные методы клириигиеыт рискетие четов брались неперекрываюшиеся отрезки последовательности случайных чисел. Затем для важнейших выходных данных проводилось усреднение по этим пяти расчетам и находились средние значения и среднеквадратичные уклонения.
5.10. Анализ результатов. Наиболее интересно поведение следующих величин: числа итераций гй необходимых для достижения точности =- = 10 ", среднего процента платежей долгов р; коэффициента идеального взаимозачета К (последние две величины приводятся в процентах). Зависимости этих величин от Ь (при Х вЂ . 14) приведены на рис. 22- 27 (эти и последующие рисунки похожи на рис. 9-18. но рассчитаны для других значений параметров). Из рис. 22 видно, что число итераций г( велико (25-55) при Ь = О, и быстро уменьшается при увеличении Ь. Это понятно: когда нет оборотных средств, то конечное состояние далеко отстоит от нулевого приближения, и нужно много итераций.
Уже при Ь = О,! достаточно г! = 10, а при Ь = 1,6 всего г! = 2, то есть сходимость становится быстрой. Зависимость во всем рассчитанном диапазоне хорошо аппроксимируется гиперболой (60а) при Ь вЂ” оо она имеет правильную асимптотику г! — 1. Из рис. 23 видно, что процент выплаты невелик (р — —. 40 — 60%) при Ь =- О, и стремится к !00% при возрастании Ь. Расчеты также хорошо аппроксимируются гиперболической зависимостью с правильной асимптотикой (60б) Из рис. 24 видно, что процент идеального взаимозачета при Ь = 0 существенно выше, чем пропент выплаты долгов.
Это интересный результат. показывающий преимушество идеального взаимозачета в условиях большой задолженности. При увеличении оборотных средств качественное поведение К аналогично р: (60в) а количественное различие между ними уменьшается. Зависимости исследуемых величин от Х в диапазоне 5 < Х < 640 (при Ь = 0,2) приведены на рис. 25-27. Для удобства по оси Х выбран логарифмический масштаб. Исключительно интересной оказалась зависимость г((Х) на рис. 25. При Х < 20 число итераций возрастало с увеличением Х.
Но при Х еэ 40 Рост пРекРатилсЯ, и сРеднее число итеРаций составило 4 = !О. Разброс этого числа при варьировании У уменьшается с ростом Х и становится незначительным. Это очень важно для перспектив ме- Э й. Оигнки долгов 209 тода: при такой малой трудоемкости метод становится пригодным для федеральных банковских систем. Зависимость р(Т) при Х ) 100 хорошо аппроксимируется формулой (рис. 26) р()У) = ! — — 1 1003(. 1,27 ! .У,)' (6(а) к()у) = ! — — ~ 100%. 07! ! ,У.У,(' (61б) 5.11. Детальная картина.
Помимо общего состояния системы, интересен детальный анализ по предприятиям. Для него достаточно первой таблицы выдачи. В ней рассмотрена маленькая система Х = =- 14 предприятий, не сильно различающихся по мощности (г(п от 1 до =4). Их оборотные средства малы: сумма всех оборотных средств б„= 5' = 7,97 примерно в 4 раза меньше чем 2 з„~ = 32,15, а у некоторых предприятий отношение ~з„!/б„очень велико (при и = 1 оно =32!).
Неудивительно, что среднее р® оказалось небольшим: 70%. Из предприятий только у четырех получилось р,', = 100",6, то есть их по долги совершенно надежны. У остальных эти величины заметно ниже, а у наиболее неблагополучного предприятия надежность долга составила всего 17%. Это предприятие и =- 1 с большим отрицательным сальдо и малыми оборотными средствами. Любопытно, что оценка состояния этого предприятия простейшими экономическими способами лишь по его балансам — дала бы пе 173ь, а гораздо худшее значение (возможно, даже 10 Дэ~) =3%). Видно, что учет состояния всей системы предприятий позволяет улучшить оценки.
Это важно, поскольку позволяет избежать продажи сравнительно «неплохихь долгов за бесценок. Для предприятий с положительным сальдо долги также не стопроцентно надежны; так, у последнего предприятия это всего рго = 543ь (оно выдало много кредитов, а его оборотные средства малы). Разумеется цифры в этих расчетах учитывают только оборотные средства, то есть ориентированы иа краткосрочные финансовые расчеты. Такое важно при срочных платежах и особенно при биржевых паниках.
Предлагаемый метод особенно полезен в таких ситуациях. Видно, что для больших систем со случайными долгами (без монопольных цен) при Х вЂ” оо средняя цена долга стремится к !00%. Это значит, что большинство предприятий могут полностью расплатиться с долгами и лишь у немногих долги придётся уценивать. Стремление к этому пределу происходит по закону больших чисел йг '-'. Однако для небольших систем Дг ( 50 формула (61а) плохо применима. Самое удивительное. что среднее р больше, чем по этой формуле. а не меньше! Зато зависимость К(гт') при всех Дг, от малых до больших, хорошо описывается формулой такого же вида (рис.
27) 210 Гд!П Компьютерные метоаьь нлирингоеых расчетое Р гоо 4 60 8О 4О бо го 40 о 0,0 0,5 1,0 1,5 Ь 0,0 0,5 1,0 1,5 Ь Рис. 23. Точки — численные расчеты при 02 = 14 с указанием разброса: линия — формула (606) Рис. 22. Точки — численные расчеты при РЬ = 14 с указанием разброса; линия — формула (60а) !б Ь 100 !2 90 80 70 О,О 0,5 0 1,0 1,5 Ь 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 18 Яь Рис. 24 Точки — численные расчеты Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
