Калиткин, Карпенко, Михайлов, Тишкин, Черненков - Математические модели природы и общества - 2005 (947500), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Рассмотрим три есте- ственных определения: (39а) аььь — гтгьх анти л в (39б) х а щ оот — 2 а бу ' (39в) Выбор (39а) является очень надежным, но может приводить к нереаль- но большим значениям С'„. Выбор (39в) не дает достаточного запаса надежности алгоритма. Поэтому мы рекомендуем (396). Однако, если формально ввести Со по формулам (38), (39б), то может получится ~'С" ~ ~ль, и и решения в непрерывных переменных не будет существовать.
Поэтому была предложена процедура введения коэффициента запаса д: н (40а) м Сг', гьг = (! г е) ч, 0 < е « !. ~ Аь (40б) (здесь е = 10 " страхует от ошибок округления). Расчеты проводят с различными значениями 93 начиная от д = ! и постепенно уменьшая. Наиболее приемлемый результат удобно оценивать визуально. то после формирования пакета некоторые величины Вь(Х) окажутся отрицательными, и полученное решсние станет недопустимым.
Поэтому на стадии расчета в непрерывных переменных надо требовать В„(Х) ) С„, где Сь некоторые положительные величины, вообще говоря. не малые. Их выбор целесообразно сделать исходя из некоторой характерной величины единичного платежа в каждом пакете а, Считаем, что при формировании одного пакета происходит отклонение от искомой суммы на та„т,12. Все пакеты, посылаемые и получаемые и-м банком, формируются независимо. Поэтому за резерв естественно взять удвоенный (по правилу 2а) статистический разброс сальдо В„(Х), имеющий вид 187 Б 4 Банковские плитвжи Очевидно, при любом г1 в указанных пределах существует ОНР.
Чем меньше гй тем болыпе средняя доля прохождения платежей. Но при этом уменьшается резерв па формирование пакета и повьнпается вероятность того, что после формирования пакета решение станет недопустимым. Поскольку этот процесс вероятностный, зависимость результатов от г7 будет не вполне регулярной. Имешю поэтому нужна визуальная оценка.
3 а меча н не. Формировать требуется только те пакеты. для которых строго получилось 0 < .т„„, < 1. Это небольшая часть всех возможных пакетов. Только их необходимо включать в сумму (38). Однако, заранее неизвестно, какие пакеты будут формироваться, так что приходится брать полную сумму. 4.9. Формирование пакета. Рассмотрим, как целесообразнее набрат~ из К„,„величин а„,„ь сумму, достаточно близкую к заданной величине А „,.т,„(0 < л„,„< 1). Очевидно, перебор всех возможных комбинаций дает наилучшее приближение.
Но число таких комбинаций 27г""' при часто встречающихся К„= 40 — 50 настолько велико, что ооъем вычислений невыполним. Кроме того, нетрудно привести пример, когда даже наилучшая комбинация дает плохой результат. На рис. 2! изображен случай, когда пакет состоит из одного большого платежного поручения и одного или нескольких очень маленьких, а ю„= 172. Любая комбинация даст здесь отличие суммы от требуемого значения почти на половину величины пакета! я ° Рис.
21. Случай плохой укладки пакета Поэтому целесообразно ограничиться каким-либо несложным и быстрым алгоритмом. Хорошо зарекомендовала себя следующая процедура. 1. Упорядочение. Расположим платежи ц„„,ь в порядке убывания их величин. Если необходимо учесть приоритеты, то сначала ставят платежи с высшим приоритетом в порядке убывания величины, а после них — платежи г низшим приоритетом в аналогичном порядке. Требуемое число операций Ка невелико. 2. Форлировинив.
Опишем получение сумм с недобором в„ и с перебором в„,„(соответствующие пакеты назовем нижним и нсрлвит). Начинаем со значений в„„,о — — 0 и вп о — — А, и «пустых» пакетов. Далее поочередно прибавляем платежи а„ а) ч~|пь ьп~ч  — ) + пп~~й 188 гл Ш Компьюпгерные иетоды клиринговых риекетов б) если лите < А„т„, то зачисляем платеж аьи ь в нижний пакет, верхний пакет не меняем, за новые суммы берем в,„„л — — ви ' тие от,Л вЂ” ! ' в) если яи,ии > А„.т,„, то платеж ао,„ь не зачисляем в нижний пакет, а его сумму сохраняем: ь„"„н, = в„о, „ г) если выпогшсно в) и вдобавок ви и < в„",ми н то новый состав верхнего пакета есть текущий нижний пакет плюс платеж а„,„ю а его новаЯ сУмма Равна в„ь,ь =- вие 83 д) если в) выполнено, но е„„л > в,' ы то состав и сумма верхнего пакета не изменяются; е) выполнив шаг й = К„, производим последнюю проверку; если в„тк + в~тт- > 2А„„илом, то в качестве окончательного берется нижний пакет, в обратном случае — верхний.
Требуемое число операций К„и, ничтожно. 3 а м с ч а н и с. Для сформирован~юге пакета пелевая функция ЦХ) и процент прохождения платежей могут быть как хуже, так и лучше, чем для ОНР. В последнем нет ничего недопустимого: при нахождении ОНР резервы С„считаются неприкосновенными, а при формировании пакета они могут расходоваться. 4АО. Тестирование. Сначала данный алгоритм проверялся на пакетах, искусственно построенных с помощью датчика случайных чисел по некоторому закону распределения. Однако эти тесты оказались чересчур легкими. В таких распределениях есть платежи самых разных размеров, болыпих средних и малых; ими нетрудно хорошо заполнить требуемую сумму.
Сформированные пакеты совпадали с исходными значениями А„лои, на 3-4 знака. Настоящую трудность представляют три реальные подборки из практики. Среди них было немало пакетов, похожих по структуре на рис. 21. Основные параметры этих подборок представлены в табл. 12. Каждая из них содержит 10 балков (на болыпее число не рассчитана предложенная методическая программа) и, соответственно, 90 пакетов платежных поручений. Видны следующие особенности.
Во-первых, платежные балансы отдельных банков практически не скомпенсированы. Например, имеются банки. которые должны выплатить всем другим банкам в совокупности в 4-6 раз болыпую сумму, чем получают от них. Даже в среднем по системе платежи несбалансированы от 38% для примера 3 до 45')ь для примера 2. Очевидно, если у соответствующих банков нет значительных свободных средств Аи, то средний процент непрохождения платежей в системе :1„„,т„„ ь, (4! ) будет большим, несколько десятков процентов. б 4 Банковские плотски 189 аблица 12 т Пример 2 Пример 3 Номер подборки Пример 1 45, 15?,4 17.336,9 Сумма всех заявленных платежей (мли руб ) 237.6! 8,0 95,382,6 43,083,2 Сумма отрицательных балансов (млн руб.) 99,820,0 Среднеарифметический пакет (млн руб.) '2,64072 1,059,8 501,7 !!олное число платежных поручений 3259 1529 3970 62,4 13.9 59,9 Среднеарифметический платеж (млн руб.) Максимальный платеж (млн руб.) 9,000,0 7,000,0 3,766,5 9? Число платежей крупнее среднего пакета 370 454 Во-вторых, имеется много больших платежных поручений, превышающих величину среднеарифметического пакета.
Наибольший же платеж в несколько (до 6) раз превышает величину среднего пакета. Есть пакеты, содержащие =20 поручений, причем =95% денежной суммы пакета составляет один из платежей. Очевидно, если при формировании окончательного пакета значение А„„,,ю„„лрежет пополам» такое крупное платежное поручение, то отличие набранной суммы пакета от требуемой будет большим. Такая ситуация благополучно разрешается только при наличии достаточно больших резервов Со (а их можно ввести лишь при наличии свободных средств А„). В примерах 1 — 3 свободные средства А„ не указывались. Поэтому они были заданы в данных методических расчетах следующим образом: для банков с положительным платежным балансом А„= О, для банков с отрицательным балансом: Ап =- гх (величину дефицита).
Очевидно, при г = 1 все платежи проходят, а при г = 0 решение может отсутствовать, так что интересен случай 0< г < 1, особенно небольшие г. Было проведено более 50 различных методических расчетов. Рассмотрим важнейшие результаты. Целевая функция. Расчет первой стадии (т. е. с непрерывными переменными) был проведен для примера 1 с тремя различными весами целевой функции: (33), (34) и еще одним промежуточным между ними.
Были взяты маленький коэффипиент свободных средств г = 0,1 и умеренный коэффициент резерва д — — 0,25. Эти расчеты привели к трем различным 01!Р, отвечающим разным вершинам многогранника условий. Однако, коэффициент прохождения платежей (41) оказался во всех случаях одинаковым б =- 41,18%.
Правда, на других тестах величины д были не одинаковыми, но достаточно 190 Гл Ш Компыотеряьссг тетодьс клиринговых рисядтов Таблица 13 % непрошедших поручений Сформированные пакеты Оптимальное непрерывное решение 0,50 0,25 ~ !3,5 13,7 0,75 0.50 0,25 25.3 24,1 0,75 0,50 0,25 27.3 25.6 24,4 1,00 0,75 31,4 25,? 1,00 31,4 0,5 7,9 36,1 36,! 32,! 0,3 16,4 12,8 ! 37,8 38,2 3?,1 30,1 39,0 19,1 16,8 44,2 47,3 24.2 26,2 46,5 46,0 45,2 0,1 48,6 48,4 44,9 17,6 19,0 В средней части табл.!3 приведена зависимость для сформированных (согласно п. 4.9) пакетов. Она не вполне монотонна, поскольку процедура формирования оперирует с дискретными величинами. Сами значения 5 иногда болыпе, а иногда меньше, чем соответствующие значения для ОНР.
После формирования возникали ситуации, когда выделенного резерва не хватало, и сальдо одного или несколысих банков оказывались отрицательными. Такое решение неприемлемо. Эти случаи лежат ниже пунктирной линии. Видно, что наиболсс сильно влияет в этом смысле коэффициент свободных средств: при г = 0,5 решение существует при всех рассмотренных гб при г — — О,! его не оказалось ни при каком Ф Однако, влияние 9 также существенно; чем больше сй тем выше вероятность того, что формирование пакета оставит решение приемле- близкими (например, в пределах от 55% до 59% для примера 2 и от 40% до 42% для примера 3).
Поэтому выше была дана рекомендация использовать веса для целевой функции с„„„—:.1. Нен(слевьсе пакетьс. В этих расчетах ОНР содержало только 7-10 отличных от 0 и ! пакетов из 90 возможных. Это не случайно. Можно строго доказать, что в ОНР будет не более Х (число условий на окончательные позиции банков) пакетов с 0< т,„т <1. Формировать надо только пакеты с 0< х„т <1. Видно, что их число невелико.
Заметим также, что если некоторое х„т ~0, то симметричное ж„,„= О. Если бы это было не так, то во встречных пакетах и, — гп и ш — п можно было бы провести клиринговый зачет, то есть рассмотренное решение не было бы оптимальньа|. Число пакетов с .т:„.— — 1 может быть значительным при плохой сбалансированности системы. Влияние резерва.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
