Калиткин, Карпенко, Михайлов, Тишкин, Черненков - Математические модели природы и общества - 2005 (947500), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Причина в том, что в медленных примерах сеть долгов предприятий была гораздо более густой и разветвленной, а здесь долговых связей очень мало. Это приближает знаменатель сходимости к 1. Поэтому сейчас 450 итераций дали погрешность О 28!50 О 29161 0 77918 0,0000 0.0016 0,0000 172 Бл 1П Коипьювтрнив.ивтоди клиринговых расчетов =10 '" !1 рубль на 10 млрд), что можно видеть по ненулевым значениям Ь' в табл. 9. Однако скорость расчета оставалась более высокой менее 1 сек. на РС Реп!пни 117. Результат табл.
9 надо ооъединить с погашением встречных долгов, сумма которых составляла около 21 млрд руб. Окончательные результаты представлены в табл. 2. Там же остаток долгов, не погашенный фракционированием, частично погашен методом переадресации. Видно следу ющее: ° начальная информация очень неполна — она содержала сведения лишь примерно о половине действительных долгов — так что разумные результаты можно получить лишь по дополнительной информации; ° метод фракционирования в данном примере погасил 80% внутренних долгов системы, что демонстрирует его эффективность; ° метод переадресации гасит 42 тв от остатка, что еще более 8'Уь от начальной задолженности.
Таким образом, наиболее эффективна следующая комбинация. Сначала погасить все, что возможно, методом фракционирования, так как он является юридически безукоризненным, и его результаты обязательны для предприятий-участников. К оставшейся части долга применить метод переадресации, необязательный для предприятий, и выдать его как рекомендацию.
2.3.6. Внешняя задолженность. Предприятия с .% 121 по М 7754 сами не давали списков долгов, но сведения оо их отношениях с исходными предприятиями содержатся в табл. 4. Если какое-то из внешних предприятий является только дебитором или только кредитором, то метод фракционирования не уменьшает его долгов. Однако фракционное погашение возможно, если внешнее предприятие есть одновременно в кредиторском н дебиторском списках.
Общее число записей по внешним долгам равно !3584 — (1040+ ч- 580) =- 11964. Беглый просмотр показал, что не менее 22ыь (возможно, до 36 "уь) этих записей таковы, что внешнее предприятие имеет одновременно кредиторскую и дебиторскую задолженности. Значит методом фракционирования можно еще существенно уменьшить остаточные долги !конечно, не внутренние, а внешние).
Однако количественный расчет не проводился. 9 3. Переадресация Найдено решение задачи погашения взаимных долгов системы большого числа предприятий, при котором сумма остаточных долгов минимальна. Оно не единственно, и среди множества этих решений можно выбрать такие, что число остаточных долгов менее числа самих предприятий, причем, выполнены условия, существенно облегчающие последующие банковские переводы денег. Алгоритм является сверхбыстрым. !73 р' 3 Переадресация 3.!. Уменьшение остаточного долга.
В в 1 показано, что для замкнутой системы с хорошо развитыми связями метод фракционирования высокоэффективен и дает малый остаточный долг. Однако даже в этом случае желательно уменьшить насколько можно величину этого остатка. Кроме того, в определенных ситуациях эффективность метода фракционирования заметно понижается. К таким ситуациям относятся: 1) незамкнутая система, в которой значительная часть связей осуществляется с внешними предприятиями: 2) система с эперекосамиь экономики, включающая монополистов, искусственно завышающая цену на свою продукцию; 3) система с малоразветвленными связями, даже при большом числе предприятий.
В этих случаях остаточный долг после фракционирования может быть значительным. так что его уменьшение становится насущным. В этих случаях надо сначала максимально уменьшить долг методом фракционирования насколько возможно. Затем к полученному состоянию системы целесообразно применять метод переадресации подробно приводимый ниже. 3.2. Метод переадресации, Нетрудно показать на примере, что способ замкнутых цепочек имеет принципиальный недостаток. Рассмотрим цепочку, в которой каждое предприятие с 1-го до (Х вЂ” !)-е должно следуюп!ему одинаковую сумму,г (рис. 19 а), но Л'-е не должно 1-му. Эта цепочка разомкнута, и указанный способ неприменим. В то же время очевидно следующее решение этой задачи: 1-е должно Х-му сумму л, то есть долг переадресовывается, а остальные долги гасятся ]рис. 19 б).
о о л оз о 2 м †! о ! У о — — ьо Рнс. 19. Переадресация долга обращением цепочки Это решение приемлемо с экономической точки зрения, даже если 1-е и Х-е предприятия никогда ранее не знали друг о друге. Оно соответствует обычному вексельному обращению: 1-е предприятие, не имея свободных средств, заплатило векселем на предъявителя свой долг второму, второе этим же векселем 3-му и так далее, а гу-е предъявило этот вексель 1-му. Общая математическая формулировка переадресации долгов дана в ]! -2].
Пусть,г,,в есть величина долга пыго предприятия ц-му (1 < н, 174 Вл Рд Кояпьюглерные методь! клиринговых рисчетое т < чу); тем самым мы условились, что з!„т > О, если т-е предприятие должно и;му, и х„т < 0 в обратном случае. Очевидно, Кппь .= —,Г„пп ПРИ П ~ П1 И Зьпп =- О, (14) то есть матри1та долгов Х кососимл!етрична. Введем балансы кредитов и долгов каждого предприятия (сальдо) Зп 2 .1тп (15) т.—.! В силу (14) достаточно задавать только поддиагональную часть мат- рицы Х (! < т < и < чУ), содержа!кую 7чг(Ж вЂ” 1)12 элементов, а (15) переписать в следующем виде: и=! г зп — 2 "! пт, т=! .Ь ьп и. Е т=п-1-1 (16) Залчетим, что и з, 0; и=-1 (17) н С~(Щ = — 2 ((зп,п( -1- гпт), (18) ьп=! 1 дп(') " 2 ~ (( пгп! пт) т — — ! (19) долги здесь определены как положительные величины.
Выражен!и (18), (19) также можно преобразовать к виду, аналогичному (16). Очевидно, сальдо связаны с ними соотношениями Ю= -.(Х)-д Ж (20) последнее означает замкнутость системы (поскольку рассматриваются долги только между предприятиями данной системы). Взаимозачет долгов формально является заменой исходной матрицы Х на новую матрицу Х. В (1-2( сформулировано и обосновано следующее Утверждение.
Любая когоеимметричная матрица го сохраняющая, вектор сальдо з(г ) .=-. з(Х), соответствует экономически допустимому зачету взаимнь1х долгов. Существует бесконечное множество допустимых зачетов. Среди них имеются как погашение долгов в цепочках, так и переадресации. Для оценки качества получаемых решений введем векторы кредитов с(л) и долгов дЩ предприятий: Э' 3 Переадрееачил 175 Критерием качества выберем суиму долгов всех предприятии л м и — ! Р(г) =- 2 г]п(У) =- 2 с„,(7) .= — 2' 'З ]зпп,]; (21) и=! ° =! и=! т=! последние равенства следуют из (14)-(17).
Очевидно, чем меньше Р(Х), тем лучше проведен зачет долгов с экономической точки зрения. Однако, сделать Р(Я) сколь угодно малым нельзя. В салюм деле, поскольку с.„> 0 и с]„> О, то из (7) следуе г, что [в„(У) ( с„(г ) + с[п(У). Суммируя это неравенство от ! до х! и сравнивая с (21), получим м Р(У) > Рп!„=' — 2 ]в„(У)] > О. и=.! (22) Величина вп инвариантна относительно процедуры зачета долгов.
Зна- чит, Рпш, тоже есть инвариант системы. Если хотя бы одно сальдо ненулевое, то Рп,!и > 0 вп(в и '!' ]в ~[) гпп1 (23) пт-ш, =,„,„, =О. Решение (23) соответствует тому, что долг любого предприятия с отрицательным сальдо распределяется между всеми кредиторами пропорционально величинам их сальдо.
Недостатком решения (23) является то, что матрица з„т содержит много ненулевых элементов, то есть между предприятиями оставляется много связей. 3.3. Идеальное решение. В [1 — 3] из допустимых зачетов выбирались те, которые минимизируют эвклидову норму матрицы У (при определении этой нормы вводились веса).
На примерах было видно, что величина Р(Е) при этом близка к Рп;м, особенно для вариантов метода, описанных в [3]. Алгоритм нахождения таких решений оказался быстрым, Однако, можно построить лучшие решения. Определение. Назовем допустимое решение идеальным, если Р(7) Рп1!и ° Идеальное решение имеет одно важное свойство. Равенство [вп(пТ)] — сп(Я) ч- дп(У) возможно только если сп .= 0 и/или !1п =. О.
Из (20) следует, что на идеальном решении такие равенства должны выполняться при всех п. В этом случае сп = пп и дп ==- 0 при вп > О, сп =- 0 и с1п =- — в„при пп ( О, сп =- дп = 0 при зп =- 0; то есть у предприятий с положительным сальдо не остается никаких долгов, при отрицательном сальдо только долги. при нулевом ни долгов, ни кредитов. Это действительно наиболее целесообразно экономически. Идеальное решение не единственно. Такие решения составляют многогранник в некотором подпространстве [Л( пг — 1)/2]-мерного пространства, образованного поддиагональными переменными:„ .
Некоторые из них могут выражаться простыми явными формулами, на- пример !76 Дл Ш Коззпьюпзерньзе.иеизоды клиринговых риеиетое Наибольший практический интерес представляет подмножество решений, построение которого описано ниже. Обозначим через Р число строго положительных сальдо е„, а через С,) — число строго отрицательных; очевидно, 0 < Р + й1 < Ж, а зз — Р— Сз есть число нулевых сальдо. Возьмем все положительные сальдо, произведем произвольную их перестановку и после этого обозначим их через ц, 1 < р < Р.
Аналоги шо возьмем модули отрицательных сальдо, произведем некоторую перестановку и обозначим через,Зи, 1 < 7 < сЕ Дальнейшая процедура легко поясняется геометрически с помощью рис. 20. Из величин о, строится линейка итоговых кредитов, а из ди — итоговых долгов предприятий. Длины этих линеек одинаковы в силу (17). Проведем границы, соответствующие узлам обеих линеек (пунктир).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
