Калиткин, Карпенко, Михайлов, Тишкин, Черненков - Математические модели природы и общества - 2005 (947500), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Они разобьют эти линейки на 77 отрезков. Если среди внутренних узлов нет совпадающих, то Й =. Р -". Я вЂ” 1, в противном случае Л < Р+ се — 1. Длины этих отрезков примем за величины кредитов долгов!=„„,~ между соответствующими предприятиями. Остальные долги „и„в том числе все, относяпзиеся к предприятиям с нулевыми сальдо, положим равными нулю.
а а, аз аз 1! ! Рз Рз Рз Р4 Рис. 20. Вариант идеальной переадресации Такилз образом, построено идеальное решение, содержащее не более Х вЂ” 1 не нулевых поддиагональных элементов „„„. Описанный алгоритм настолько быстр и прост, что не предъявляет серьезных требований к компьютеру. Проиллюстрируем его примером системы с А' =- 10 и матрицей Л с 45 ненулевыми поддиагональными элементами (табл. 10); начальная сумма долгов равна 77(Х) — — 3729. После упорядочения по убыванию ~~зи получается матрица У всего с 7 ненулевыми элементами (таол.
11) и суммой долгов 11(Я) =- 62, многократно меньшей начальной. 3.4. Обсуждение. 3.4.1. Эффективность. Под «предприятием» можно понимать любое юридическое (или физическое) лицо, в том числе банки и госбюджет. Это позволяет рассмотре~ь и зачесть все виды долгов, имеющиеся в стране. Предложенный алгоритм позволяет произвести погашение всех взаимных долгов системы предприятий, которые в принципе могут быть погашены. Это делается практически мгновенным расчетом, минуя 177 а' 3. Переафеоания Таблица 1О Таблица 11 длительную процедуру последовательных банковских платежей и не требуя наличия свободных оборотных средств у предприятий. Непогашаемая доля остаточных долгов д =- Р„„„пР1Х) зависит от исходной системы.
Она в принципе может колебаться от О гесли все предприятия имеют нулевые сальдо) до 1 (если предприятия в долгу у одного монополиста, взвинтившего цену на свою продукцию). Значение б = 1 свидетельствует о катастрофической несбалансированности 178 Лл И Комньютсрниг.иетоды клирингозьит рисчетоз цен.
При нормальных соотношениях цен должно быть д « 1, то есть предложенный зачет ликвидирует кризис неплатежей. Последнее рассуждение явно подразумевает, что система замкнута. Однако, реально это не так: предприятия области имеют связи по всей стране, а предприятия страны — за рубежом. Чем больше взятая система, тем ближе она к замкнутой, тем меньше (в среднем) величина д и более эффективен зачет долгов. Его наиболее выгодно делать для всего мира или, хотя бы, для группы стран с тесно связанной экономикой.
Рассмотренный алгоритм производит переадресацию остаточных долгов на конкретных юридических лиц, а не на клиринговую палату или другой центральный орган. Тем самым, этот метод не требует выдачи кредитов Центрального Банка и не вызывает инфляцию. Все это обусловливает высокую экономическую эффективность метода.
3.4.2. Перестановки. Различные перестановки предприятий кредиторов и предприятий-должников на линейках рис. 20 могут принести дополнительные преимущества. Среди предприятий есть крупные и малые. Если сохранить на рис. 20 исходный порядок предприятий, то вероятны случаи, когда большое предприятие останется должником или кредитором многих мелких предприятий. Если же упорядочить каждую линейку по убыванию з„~„ то такой случай мало вероятен, и в среднем каждое предприятие останется связанным с небольшим числом предприятий.
Целесообразно сгруппировать предприятия так, чтобы кредиторы и должники, лежащие в линейках друг против друга, имели корреспондентские счета в одном и том же банке. Это существенно ускоряет последующие расчеты между ними: перевод денег внутри банка выполняется много быстрее межбанковского платежа. Из этих групп можно составить укрупненные группы по банкам, охваченным той или иной автоматизированной системой межбанковских расчетов.
Это должно облегчить предприятиям выплату значительной части остаточных долгов за счет собственных оборотных средств. 3.4.3. Быстродействие. Предложенный алгоритм очень прост. Основное число операций приходится на вычисление сальдо (=Хд) з и на перестановки в линейках (<Хь). Если вычислять сальдо по формуле (16), вводя матрицу Х по одной строке и столбцу, то достаточно оперативной памяти =2Аг чисел. Таким образом, для всех предприятий России можно провести расчет на персональном компьютере.
Расчет целесообразно производить в целых числах. Надо иметь в виду, что 82-разрядный компьютер при расчетах в целых числах позволяет без специальных ухищрений оперировать с числами не более 2з1 — 2 10э. ,Л. В. Кузьмина составила демонстрационную программу такого расчета РЕСА(х(-2 (РеЫз Сапов!1пц) на языке ГОКТКА(ч'.
3.4.4. Мировая экономика.. На Западе звенья экономики хорошо согласованы. Однако, и там во время биржевых паник возника- 179 З 4 Бинковскив илитетги ют кратковременные, но серьезные кризисы неплатежей, приводящие к значительным потерям. Если располагать введенной в строй программой на мощном компьютере, такой кризис можно ликвидировать в считанные минуты.
В обычной же обстановке такая программа позволит уменьшить размер оборотных средств, что принесет ощутимую прибыль. В 4. Банковские платежи 4.1. Введение. Рассмотрена задача межоанковского клирингового расчета при отрицательных сальдо части банков.
Предложен переход от дискретных переменных к непрерывным. После этого задачу можно решить методом линейного программирования. Найдены такие непрерывные переменные, в которых решение всегда существует, если суммарное сальдо всех банков неотрицательно. Это решение находится двойственным симплекс-методом. Разработан эффективный алгоритм перехода от непрерывных переменных к формированию пакетов из дискретного числа платежных поручений. Расчет на примерах показал, что этот алгоритм позволяет зачесть значительную часть платежей даже при существенных нехватках денежных средств у части банков.
Сначала был разработан быстрый алгоритм, эффективный в ситуации, когда сальдо почти всех банков много меньше оборота средств, т.е. сумма производимых каждым банком платежей почти равна сумме встречных платежей нз других банков. Однако, после этого нашлись три примера из практики с резко несбалансированными платежами (например, один из оанков посылает платежей на вчетверо большую сумму. чем адресовано ему). Эта ситуация потребовала существенной доработки метода. Ниже изложен модернизированный метод. 4.2. Исходная постановка.
Имеется Х банков — участников клиринга. В каждый банк платежные поручения от клиентов (имеющие разный приоритет) могут поступать непрерывно в течение рабочего дня. Онн немедленно обрабатываются н 1если они приняты банком) заносятся в базу данных этого банка.
В определенные часы, несколько раз в течение рабочего дня, состояние баз данных всех банков записывается в базу данных клирингового центра. После положенной перепроверки данных производится клиринговый расчет, и его результаты немедленно сообщаются банкам. Сформулируем разумные требования к алгоритму клирингового расчета.
Будем ориентироваться на некоторые цифры по г. Москве: число банков тг = 20 — 100, полное число платежных поручений в день =300000; банки достаточно сильно различаются по мощности. так что суточное количество платежных поручений из и;го банка в пый может колебаться от =5000 до =30. Предполагается, что в целом со- 130 Гл Ш Коз!пьюп!ерныв методы клиринговь!х расчетов стояние системы нормальное (подробнее об этом будет сказано далее). Но некоторые банки могут испытывать нехватку свободных средств и, тем самым, полного взаимозачета всех платежных поручений не произойдет. Желательно, чтобы расчет проводился раз в час.
Для этого полный комплекс программ межбанковского расчета должен требовать всего 20-30 мин. расчета. Тогда на алгоритм клирингового расчета можно отвести 1 †3 м. расчета, т.е. =10 арифметических операций на недорогом компьютере. Видно, что алгоритм должен быть очень быстрым. Будем требовать, чтобы платежи с высоким приоритетом обязательно выполнялись в первый же расчет. Допустим, что небольшой процент платежных поручений с низким приоритетом может остаться неоплаченным в первый расчет даже для банков с достаточными свободными средствами; но в следую!цем расчете он должен быть зачтен (разумеется, для «благополучных> банков).
Очевидно, при расчете раз в час такая задержка небольшой части платежей не вызовет серьезных последствий. К Апп, =.= 2 ап, л, ь — ! (24) а уменьшенная на некоторую долю лп„, составляет Апп~(! лпт)' Тогда сальдо и-го банка после расчета будет равно: Вп(Х): Ап ~ !Апт(1 лпт) Атп(1 хтп)). (25) Оно складывается из его начальных средств, поступлений от других банков и его платежей. Здесь и далее штрих у суммы означает, что 4.3. Обозначения. Информация об исходном состоянии системы содержит следуюпгие величины: и (1 < и < Х) или !и — индекс, обозначающий номер банка; Ьпт ) 0 — число платежных поручений из и-го банка в и-й; а ть (й < Ьп,п) — величина 1-го платежного поручения из и-го банка в !и-й; А„ — свободные средства и-го оанка до расчета; Сп — резерв, который оставляется на счете и-го банка на первом этапе расчетов; ДНР— допустимое непрерывное решение; ОНР— оптимальное непрерывное решение.
Случай, когда у всех банков достаточно свободных средств для взаимного расчета по всем платежам, маловероятен. Поэтому считаем, что в каждом пакете платежей и-!о банка в ш-й проходит не полное число поручений Тс„,п, а уменьшенное. Тогда исходная сумма платежей из и-го банка в ггмй равна ф 4 Банкоеские ллателеи она берется по всем индексам, кроме т — и. Символом Х обозначается матрица (.г„,„). Очевидно, диагональные элементы,с„п в ней отсутствуют. 4.4. Непрерывные переменные. На первом этапе клирингового расчета решение проводится в непрерывных переменных. Требуется найти матрицу Х такую, что все банки после расчета нс затронут свои резервы: (26) В,(Х) ) С'„при 1 < и < Л а сами элементы матрицы удовлетворяют очевидным ограничениям 0<в,„,<1 при 1<и<Л', 1<гп<Х (пфгп).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
