Калиткин, Карпенко, Михайлов, Тишкин, Черненков - Математические модели природы и общества - 2005 (947500), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Существует бесконечно много допустимых решений. В частности, каждая точка прямоугольного параллелепипеда О < рп < пг1п (1,рп) является допустимым решением, ибо этот параллелепипед лежит в единичном кубе и соответствующих полупространствах. Однако ясно, что эти решения неоптимальны, т.е. можно увеличить возврат долгов. 3. Оптимальное решение. Для его выделения из множества допустимых надо ввести определение оптимальности. Естественно такое определение: Оптимально такое допустимое реигение, где увеличение хотя бьг одного рп наруилает какие-пго из неравенств (48).
Очевидно, оптимальное решение удовлетворяет системе (49). Решением этой системы является та из вершин многогранника О, которая наиболее близка к вершине (1,1,...) единичного куба (см. рис. 6). Таким образом, оптимальное решение существует и единственно. 5.6. Алгоритмы.
1. Задача продажи имущества для удовлетворения кредиторов решается по явным формулам (46), (47). Алгоритм очевиден, он экономичен н легко реализуется для любых масштабов задачи хоть совокупности всех предприятий страны. 2. Оптимальное решение задачи надежности долгов (49) можно свести к задаче линейного программирования. Геометрическая интерпретация показывает, что оптимальная вершина многогранника С удовлетворяет условию 2 оьР„= гпах, пь ) О. (51а) ь Этот экстремум надо найти при ограничениях типа неравенств р <1, рь<р„(р), п=!,2,...; (51о) отсюда следует сделанное утверждение. Для решения задачи (51) пригодны любые алгоритмы линейного программирования.
Однако все они сравнительно трудоемки. Поэтому ими можно воспользоваться при региональном взаимозачете долгов (тысячи предприятий), но не в масштабе страны (миллиона предприятий). 3. Из сказанного видно, что желательно разработать сверхбыстрый алгоритм решения задачи (49). Надежды здесь можно возлагать только на специфику данной задачи неотрицательность всех коэффициентов уравнений (49б) и связанные с этим наклоны гиперплоскостей. Целесообразно опробовать следующий алгоритм. Выберем нулевое приближение р .:..
О, а следующие приближения вычислим по фор- Рл йу Комгьыопгерньье методьг клирингоеых расдетое 2ОО мулам с,', (52) В частности, р„ †.пйп(1,рь). Исследуем сходимость этого процесса. Она определяется производными при р(, > 1, при р(д~ < 1. Врон (53) др„д, 3',„> О - -(... Поскольку все производные неотрицательны, из (52)(53) вытекает сле(д1 - , (д — О (дэО дующее: если р(д = р;,~ для всех и, то рл~ > р(д1, Но для первой (О ~о1 (О (о1 итерации р„> р„, поскольку рь ' > О, а р„.— —.
О. Тем самым для всех итераций р(д~ > р~„~ ). Значения р)д ограничены сверху единицей. Следовательно, итерационный процесс (52) сходится к некоторому пределу р'„'. Но если перейти к пределу в (52), то получим равенства (49). Следовательно, этот предел есть оптимальное решение. Заметим также, что из (52) следует, что (д' < 1, (бп+р»В + Р,",+ 2 1)(д ')4... гь Но вьппе установлено, что рьь < р„, . Тем самым, (д — О (д1 о цй С,', ),' то есть р(д~ удовлетворяют неравенствам (48).
Они лежат в единичном кубе. Следовательно, значения р~д~ на всех итерациях принадлежат многограннику С, то есть являются допустимыми решениями. Скорость сходимости алгоритма (52) трудно оцепить. Далее была составлена программа и проверена на тестовых примерах (пока на методических). Для проверки на реальном примере нужны сведения об основных фондах и оборотных средствах предприятий.
Таким реальным материалом мы пока не располагаем. 5.7. Программа. Для дораоотки алгоритма (52) и проведения методических расчетов была написала программа для персоналы1ого компьютера на языке гОКТКА)Х). Исходная информация о состоянии системы предприятий выбиралась следующим образом: 1) Все продажи основных средств С Вь и взыскания внешней дебиторской задолженности Р~ входят только в сумме с оборотными средствами б„в формуле (52). Поэтому задавались только Ьп, остальные члены опускались. а 5. Оденки долгов 201 ду Л(п) = ~ (54) Это означало, что самое крупное предприятие в т7% раз мощнее самого мелкого, причем крупных предприятий немного, а малых очень много.
Это достаточно правдоподобное распределение. 3) Матрипа долгов (с учетом их знаков) кососимметрична. Достаточно сформировать ее верхнюю половину гп > и. Она формировалась построчно, начиная с верхней строки и = 1 (наименьшее предприятие). Рассчитывалась последовательность псевдослучайных чисел и брался ее отрезок начиная с некоторого номера Х В очередной и-й строке бралась очередная клетка (н, ьп) с гп =- и + 1, и + 2, ....
7тг и пара очередных случайных чисел З, ~ ч н Долг и его знак определялись как а„„г — 7!Ли в!йн (; ч~ — 0,5). (55) Если получился знак плюс, а,„„, зачислялась в дебиторскую задолженность г(я„„если минус — в кредиторскую с„. Для следующей клетки бралась следующая пара случайных чисел и т.д. Таким образом, долги каждого предприятия получаются случайными, но их величины соответствуют мощности предприятия. Заметим. что рассматривается замкнутая система. В ней все долги сбалансированы, так как все они внутренние: (56) 4) Оборотные средства предприятия считались неотрипательными. Их строили с помощью очередных случайных чисел также соответственно мощности предприятия: бп = Ь|7У Лп-б, Ь ы 0, (57) Здесь б — свободный параметр, варьировавшнйся в методических расчетах.
Множитель туЛ вводился потому, что каждое предприятие имеет Х вЂ” 1 долг. Их знаки любые, так что они частично гасятся, и по статистике средняя величина сальдо должна быть Х'гв при больших Х. Существенное отклонение от этого закона возможно лишь в случае монопольного завышения части цен. Для удобства анализа результатов рассчитывались также следующие величины. Начальные сальдо каждого предприятия и всей систе- 2) Предприятия распределялись по «экономической мощностиь с помощью произвольно выбранной весовой функпии Л(п), 1<п ( Л'.
Для определенности Л(п) бралась монотонно возрастающей, что ие ограничивает общности. Конкретно в расчетах задавалась !"л Ш 1Сомпьюпгарг!ыа методы клириагоьмх риспетов ьой мы (когда долги не уценены, т.е. рп — 1): г и ап =(!и -! '~" г(пп, — ~ сп„„Я = ~' ап па ~ бп.
(58а) и=.! п=! 1п Сумма исходных долгов в системе и коэффициент идеального взаимозачета без уценки долгов: С=~с„,~, К=!- —, ~ )а ). (58б) ппп ' ь„<о Средняя вероятность возврата долгов в системе на каждой итерации (когда итерации сошлись, это окончательный результат): р!Ш ! — (р(с) )а п=! (58в) ее можно РассматРивать как ноРмУ т,э вектоРа Р(с( Сальдо каждого предприятия и всей системы па каждой итерации: и з,'," = Ьп+ ~р'„',)г(пы — рп~сп.„„Ф!) = ~ з,",) = Я'. (58г) и=! гп Если итерации сошлись, то все з„с! должны стать неотрицательными !с! (сальдо всей системы выдается для контроля расчета, и на всех итерациях должно равняться начальному). 5.8.
Описание выдачи. Пример выдачи результатов расчета приведен ниже (табл. 14). Он содержит следующие величины. Строки начальных данных: Х вЂ” число предприятий, 6 — множитель для оборотных средств, ерз — точность сходимости итераций (всегда бралось = 10 з), (Э вЂ” принудительное ограничение числа итераций на случай их плохой сходимости,,/ — начало отрезка последовательности случайных чисел.
Итоговая выдача с последней итерации содержит сначала следующую строку: К вЂ” коэффициент идеального взаимозачета (58б), К— сальдо полной системы (58а), С вЂ” исходная сумма долгов системы (58б), с( — число итераций до сходимости (если г! < Я, то итерации сошлись), рг( — окончательная средняя вероятность возврата долгов р(с! (58в). Затем следует таблица итоговых величин для отдельных предприятий с номерами и: условная мощность предприятий ссп (54), их оборотные средства (!гп их начальные сальдо згг, их новые сальдо после уценки долгов зг(п (если среди них остались отрицательные, это указывает на незавершенность итераций), вероятности возврата долгов данными предприятиями р!)и.
Далее следует матрица долгов Спрн в ней дебиторским задолженностям присвоен знак плюс, а кредиторским — минус. Если Х < 14, 9 5. Оиг«1ки долгов 203 Т а б л и ц а 14. Пример выдачи. 26 = 14, Ь = 0.2. грг = 1О ', С2 = 16, д = 100 Ито1 свая выдача с последней итерации К 0,7002 7,9792 0.7780 !6 и йп 1 1,0000 5|1 59п Рцп — 3,135? 0,0971 0,0000 0,1?07 2 1,037? 0,3615 0,542! — 5!44 0,0000 3 1,0801 4 1,1282 0,5380 0,4657 0,6931 0,7329 0 5395 — 0.000! — 0,0001 0,7414 5 1,1832 0 5367 — 0,8648 0,4487 0,0000 5,9005 0,7489 6 1,2472 3,2874 7 1,3229 8 1,4142 1,7142 -0,000! 4,4622 0,1625 О,.'39! 2 0,6218 0,8111 9 1,5275 2,3706 0.9277 0,4560 -4,4135 1О 1,6733 0,2572 1,2339 0,0000 О 5386 0,5904 .
О,?84? — 0,3725 - 0,000! — 0,0001 !! 1,8708 12 2,1602 0,9060 0,718! 13 '2,6458 2,5223 0.680! 5,1406 !4 3,7417 0,5424 — 0.0001 0,1!9! 0,1076 5.9. Методические расчеты. Из самих формул (52) видно, что процесс построен по типу простых итераций, и должен иметь линейную сходимость. При этом погрешность убывает за каждую итерацию примерно в одно и то же число раз г. Поскольку выше доказана сходимость итераций, то г ) 1. Вопрос только в величине гс если то матрица с таким числом значащих цифр удобно выдается на лист бумаги. При большем 1 ее можно исключить из выдачи.
Далее следуют две таблицы, иллюстрирующие процесс сходимости итераций. В них по горизонтали отложен помер очередной итерации «!. а по вертикали — номер предприятия п. В таблице «надежность долгова первая строка дает знаменатель сходимости г1? (59а), вторая— разности д1? значений ?й«) на соседних итерациях. третья — величину р(ч). Далее следуют столбцы р(,'1. В столбцах таблицы «сальдо с упенкой долгов» приведены э(4) (58г), а отдельной строкой — о(«) (они оказываются равными Я, как и должно быть). Эти две таблицы также можно не выдавать.
Кемиьк»тере»се методы клирингоеык ригкетие 204 Ю Ю с» Ю а» Ю а с» о о а с» с Ес 'с Ю о са с» Ю о о с» о с» с» Ю Ю с» с» с» с о с» с» с» Ю' Ю Ю сс а Ю а» с а а с» » с» Ю с» Ю а а Ю с, Ю Ю с» » са а сс с с» а Ю Ю о Ю с а о~ о о о с» Ю сс Ю а ае Ю сс Ю о юс Ю о а о Ю Ю о а с о с Ю о а с»' с» е» о т Ю а» о о о о сс а а Ю с» с» а Ю с» Ю с» с» с» » Ю Ю а Ю о Ю о с» Ю ,а а: с .а а о о с о а с а» о В!2 а о с.с о и» сс Ю '.. о а о о \ о о о о о о се с» ю о а гс о с о а» О Ю л ! а с» с» Ю с» о Ю ь Ю с» о с» Ю о о Ю Ю а а Ю и Ю с :а о а Ю с» Ю Ю Ю Ю с» а а Ю с» Ю о Ю о а » е» Ю Ю а Ю с Ю с» Ю о с» с» с» Ю Ю с» а» Ю с а» Ю Ю о Ю сс с» О а» с» а Ю Ю а. а а о а с о о с а ! о~ о~ > Ю о а» а о о о с)сь Р~ю а» сс» ес — Ю' 2)с о~о а а о о Ю с Ю! Ю о о Ю :с с с» а а» О Ю Ю о Ю Ю а с~ а Ю с'» о о о \ Ю о Ю Ю о а » с» а » с» с» .» с» Ю Ю Ю 205 С» 8 Ю С» С» Ю о о Ю СО » С» С» С ь О О» О С» С» ь ь Ю О ь С» ь С» О» С» Ю о' г- о С С» С» Ю о Ю С» С» Ю Ю С» О С С» Ю С ь » О С» о С» С» С» С» С» С» Ю Ю о о С» Ю о о Ю С» ь С» С»' О Ю С» Ю Ю о С ь г ь Ю С» С» Ю С» о Ю С» о Ю' С» Ю С Ю О С» О Г» Ю о С» Ю Б о Ю О С» С' Ю Ю С О О Ю С» Ю о Ю С» С» о о О Ю С» о Ю .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
