Буслов, Яковлев - Введение в численный анализ (947494), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Ясно, что г < Х (поскольку индекс г нормален), причем (Р, С„г) — также и Х-ая пара, и, следовательно, хл = кз. Заметим, что знаменатель Паде Ял(я) можно записать в виде определителя /о /г /г /г Ол(я) = угл — г л 31 При этом если существует такая область Г С Н и конечная мера д (напомним, что мера есть счетно адаптивная неотрицательная функция множества, конечность меры означает что ее значение иа всем множестве Г, где она опре- делена, конечно: д(Г) < со), что величины уь представляют собой ее моменты, то есть уь = ) х~4д(т), и = О, 1..., то многочлены Ян являются ортогональными с мерой д: Ял(х)Ям(т)йд(в) = О, М ~ М . Е Подробнее об ортогональных полиномах см.
в главе "Численное интегрирование". Сама задача о нахождении меры д по заданной последовательности чисел уь называется проблемой моментов. В зависимости от области интегрирования Г выделяют 3 классических случая: Ц Г = Н вЂ” проблема моментов Гамбургера; 2) Г = ~0, оо) — проблема моментов Стильтьеса; 3) Г = ~0, 1) — проблема моментов Хаусдорфа. Отметим в заключение, что если числа Це)еч являются моментами некоторой меры то все определители Ханкеля Н„болыпе нуля. Если же последовательность (Яе~ такова, что все Н > О, то проблема моментов Гамбургера разрешима. 32 Глава 3 численное дифференцирование Естественным способом приближенного дифференцирования является дифференцирование не самой функции, а интерполяциоиного полинома или силайна построенного по ее табличным значениям, можно также дифференцировать асшроксимации Паде и вообще произвольные аппроксимации функции, производные от которой мы хотим определить.
Вопрос лишь в том, каковы затраты и какова точность такого дифференцирования. 3.1 Дифференцирование интерполяционного полинома Самым простым способом приближенного дифференцирования функции является дифференцирование интерполяци- онного полннома, построенного по некоторой сетке ее значений, который удобно представить в форме Ньютона Р(х) = ~~',Уош ...ьЛа(х) = ~~' Хош...ь П(х — х,) . Его и-ая производная имеет вид рбй(х) =4,1о,, + [~(х-х,)~Хоь..вн+ ~=О ~ к к.~-1 г[ ~~' (х х )(г х~)1уоь..в-~2 г - ) ~>гйо Поскольку погрешность ннтерполяционного полинома есть У(х) — р(х) = ( .„,), П(: — *), 1=0 то погрешность дифференцирования оценивается выражением (н-~-1) у'" (х) — р~ ~(х) сопзс шак(х — х,) (Х-Е 1 — п)$ то есть, каждое дифференцирование на один порядок снижает точность.
Если же в (1) оставить только первый член, го поскольку порядок погрешности определяется первым отброшенным членом ~ (х — х,)~оь..взч, получаем следующее ~=0 приближенное выражение для производных убй(х) и.' [ась.. + 0(~~~ (х — х,))1 .=о Пусть Ь = шах 61, где Ь, = хгэ1 — х, . Из (2) видно, что разделенная разность и-го порядка, домноженная ва п!, аппраксимирует производную и-го порядка с точностью 0(6) .
Действительно, если х б [хо,х ), то максимум модуля суммы 2 ,'(х — х,) достигается в одной из точек х = хо или х = х н не превосходит величины Ь-Ь26+... пЬ = "~ "2" ~ Ь . *=о Поскольку разделенная разность уо1 о не содержит самой переменной х, то возникает вопрос. производную в какой точке она аппраксимирует точнее всего. Эта точка определяется условием равенства нулю первого отброшенного члена, то есть условием 2 (х — х,) = О, откуда х, = 2 , 'х,/(и+1), и представляет собой положение центра масс точек =о =о хо>х1,...,х„.
В этой точкепорядок точности приближенной производной и-го порядкана единицу выше и равен 0(6 ) . 2 Если же в (Ц оставить два первых члена, то порядок точности такой формуль1 приближенного дифференцирования г=о-~-1 будет О(62) . При этом в двух точках, определяемых как корни квадратного уравнения 2 т(х — х,)(х — х ) = О, 1>2>О точность будет на порядок вьппе. Аналогично, 6-членная формула имеет порядок точности 0(6"), точки повьппенной точности есть корни уравнения 6-го порядка. Решать такое уравнение вряд ли целесообразно, однако, как нетрудно заметить, если точка х такова, что узлы хо, х1,...
хоче 1 расположены относительно нее симметрично и Ь нечетно, то эта точка является точкой повышенной точности. Разумеется для произвольной сетки, такое условие, как правило, не реализуется. Однако такая точка заведомо сушествует (при произвольном Ь ), если шаг сетки постоянный и находится она посередине между крайними узлами1 х, = (хо + х эь 1)/2 . 3.2 Конечные разности Естественным способом описания приближенного дифференцирования нарялу с разделенными разностями является использование конечных разностей. Пусть у(х) б С > обозначим через Ах = Ь приращение аргумента.
Определение. Выражение гав г = егу(х) = )(х+ 6) — ((х) называется первой разностью (или конечной рагносгпью первого парадна) шага Ь функции У(х) . Конечные разности высших порядков определим рекурентнымн соотношениеми. Именно, положим Аь,ь, Аь„(гак ь „У) — конечная разность и-го порядка. Это определение не зависит от последовательности применения ~1 2 — — 1 сдвигов Ь,: Аьгь,...ь 1 = Аь, ь, ...ь, .Г, гце (вы го...1 ) — произвольная перестановка индексов 1,2,...и.
Отметим связь конечных разностей с многочленами. Пусть р(х) = акт~+он — гх~ + ... + ао — полинам степени М, тогда а)Аьгьг...ь -р(х) = Х)ал6162... Ьн = еопе1; б)АД', „р(х) = О. Доказательство. Для достаточно убедиться в том, что ~ьгь2...1„— ( — ) ( — + )Ь Ь- - Ьех Действительно и Аенх = (в+61) — х = ~нЬ х~ — хн = Аг61х~ ' + 1=О Применим теперь еуг„к гзьгх его Х = е>Ь (его Х ) — 1(Х 1)616 Х + и так далее.
34 Заметим, что эти свойства аналогичны соответствующим свойствам разделенных разностей: ра12ч = сопМ, ра1. лэ1 = 0 . Указанное сходство разделенных н конечных разностей ие ограничинается этим. Пусть шаг Ь постоялый, обозначим 21 = ЬЬЬ Ь, тогда 1 1 2Х Уа ЙЧаь..ь = 61 где 2з~уа = 2х~у(х) ~ =,. Действительно уа1 = 1~~' ~а~ = — ьа . Далее поступим по индукции. пусть при индексе равном 6 — 1 равенство имеет место, тогда 1 ,11-1 1 †212.. 101 — (2 — пл! ( Х1 л уа) 2.2 уа за1...1 Ха — Ха 66 616" Заметим, что напрашивающееся обобщение для неравномерной сетки (непостоянного шага), а именно равенство величи- НЫ 61Уа1 „Ь ОТНОШЕНИЮ ь1 ьа - ьь —, ОЧЕВЦЛНО.
НЕ ИМЕЕТ МЕСта. ПРЕДОСтаВЛЯЕМ ЧИтатЕЛЮ УбЕДнтЬСЯ В ЭТОМ СаМОСтОЯтЕЛЬНО (без всяких вычислений!). Итак введен оператор 21 действующий на функцию у(х) по правилу 211(х) эн у(х+6) — у(х) . Отметим дальнейшие свойства конечных разностей: 1) линейность: 21(пз'+)уд) = ос11+Ф2х0 ~ 11( 11У) ь ь-~4 2 А1(л 1 2). 3) Связь с производной: д„— — а,ра(1+ 12) .
Последнее равенство формальное и понимать его нужно в следующем смысле сх,г = ехр(6 — 11' — у, 11 с(х где подразумевается, что 1 — аналитическая, т.е., в частности, раскладывается в ряд Тейлора и совпадает с ним в некотором круге на комплексной плоскости 1 а( 11 1(х -~ 6) = ~~~ —, (Ь вЂ” ) 1(х) = ехр(6 — )1(х) . Таким образом оператор дифференцирования можно с любой степенью точности шшроксимировагь конечными разностямн: 1,(1 +,1) 1 г ,~2 л 2 ( 1) -1-1,1 1)х 6 Ь \ 2 3 п. (3) — — — ~21 — — ( 1 = — ~2Х(х+ 6) — — — 1(х) 3У 1 2' 212'1 у(х+ 26) 3 1(х 61 2( 6~, 2 2 Выражение для производных высших порядков получаем из (3), скажем вторая производная имеет следующее представление — У = — )п(1 + 1)1п(1+ 11)У . д 1 дх 62 1 4) Выражение последовательных значений функции через конечные разности: у(х+66) = 2 , 'С(21' ((х). =а Доказательство: Действительно 1(х+ 6) = 1(х) + 2з|(х) = (1+ 11)1'(х), 35 Обрезая это выражение на той нли иной степени 21, можно получить выражение для производной в точке х с любой степенью точности.
Из этой формулы, в частности, приближенно получается -"~ иг = 1щт~1 Л"'~, а оставляя два члена разложения, получаем у(х ~-21«) = (1+.«)1(х-~- й) = (1+ «1) у(х), У(х + й)«) = (1 + 11) йх), и, РаскладываЯ по биномУ (1+ Ь) = 2 С„'Ь', где Сэ — — —,, — —,' ..., полУчаем искомое выРажение. ь еь «.. е,е«м =о 5) Выражение конечных разностей через значения функции: Ь 'у(х) = 2,' С„'( — 1)'У(х+ (к — э)Ь) . «=о Доказательство. Представим Ь = (1 + Ь) — 1, тогда .Ь'|(х) = [(1+ Ь) — 1]'.«"(х) = ~ С',(1+ Ь)" '( — 1)'1(х) = =е С, ( — Ц" у(х + (к — е) л), или расписывая подробно: Ь |(х) = у(х+ Й««) — Сьу(х+ (к — 1)««) + Сь"'1(х + (а — 2)1«)+ + + ( — 1)ау(х) 6) Формула конечных приращений Лагранжа; Л'у(х) = (Лх)'урв(х+ Ей 1х), где 0<с«<1 и уЕС Доказательство.
Доказательство мы будем проводить по индукции. База индукции «'.11 = Ьху«(х+ 6)Ьх) имеет место в силу теоремы Лагранжа о среднем значении производной (напомним, что для дифференцируемой на отрезке [х, х + Ьх[ функции теорема Лагранжа утверждает, что на этом же промежутке найдется точка б, такая что — ~ — „— 1 = 1 (б) «где 6 Е [х, х + «2«х[ ). Далее пусть при индексе равном к формула справедлива; Л'У(х) = (Лх)'У1'~(х+ М11х) Тогда Ь"+'Дх) = 1(1'|) = 1У1"~(, + Юанях)[ 1"х = = Ь"х[~00(х ~- Ьх+ йОЬх) — (1"~(х+ й6Ьх)[ .
Продолжим это равенство используя теорему Лагранжа = (Ьх) + У + ~(х+ ЙЙЬх+О'Ьх) = (Ьх) е у~ + ~(х+(кс«+ б«')Ьх) ЗДесь О' < 1 (Равно как и й). ВвеДем О" = -"пвурэ~ —, тогДа послеДнЯЯ фоРмУла пеРеписываетсЯ в виДе При этом, как нетрудно убедиться сУ' < 1 «таким образом формула конечных приращений доказана. Следствие свойства 6).,500(х) = — 4+ о(1) . о« о« Действительно —,ф = 1~ ~(х + с«й«ах), откуда устремляя «ах — э О, получаем 1'~ ~ (х) = 1пп 36 3.2.1 Оператор Ь и обобщенная степень Определение. Обобщенной степенью числа х называется вырюкение хгч ш х(х — Ь)(х — 2Ь)... (х — (п — 1)Ь), х~~~ ш 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
