Буслов, Яковлев - Введение в численный анализ (947494), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Однако, при достаточной гладкости функции у' можно оценить разность у(х) — рн(х), именно, справедлива Теорема. Пусть У й Слт'[а,Ь] и рн ( интерпо лиионнмй полинам, удовлетворяющие одной и той же сетке значений (х„~,)~ о, тогда длл лс бой тпочки х Е [а,Ь] существует такал точка б(х), что з (х) — рп(х) = ( „), Ллч-1(х), (Л" + 1)' где Мнлс(х) = (х — хо)(х — хс)... (х — хп). Доказательство. Представим погрешность в виде у(х) — ря(х) = Ле эс(х)г(х) .
Такое представление естественно, поскольку и разность У' — рк и Лк >1 в точках х„? = О, 1,.... Лс обращаются в полее [(х) — рл(х)][ =ю = О, г = О, 1, ..., М . При этом г(х) й Супе| . Введем также вспомогательную функцию й(Я) = 1(с) — рк(Π— Мдэз(с)г(х) . Здесь х — параметр, б й [а, Ь] . Очевидно, что о(б) = 0 в точках б = хо, хт..., хк, х . Далее, если у й С~+' то и о й С~+'. Напомним, что для функции, принадлежан1ей С', между двумя корнями имеется по крайней мере один нуль производной. Следовательно, между крайними из Лс -~- 2 нулями функции д(б) лежит хотя бы один нуль (М+ 1)-ой производной.
Выпишем эту производную: йкэс(б) 1н+'(б) (ЛР+ 1)1г(х) Пусть она обращается в нуль в точке б(х): о(б(х)) = 0 и, следовательно, в этой точке б(х) выполнено 1 "'Ы(х)) г(х) = откуда утверждение теоремы следует непосредственно. Замечание. Приведенным рассуждением о корнях вспомогательной функции о можно воспользоваться только, если х ~ х„так как при х = х, функция й(х) имеет лишь Л -Ь 1 корень. Однако при х = х; условия теоремы выполнены автоматически, поскольку у(х,) = рн(х,) н Ллс1(х,) = О. Из условия теоремы следует априорная оценка [У(х) — рк(х)[< шах, [Ллч.с(х)[ <, [Лсгэз(х)[.
сейл) (Л ч- 1). ~ '- (Л-~1)! Пример. Оцевитыюгрешность функции у = ьсх на промежутке [100,144] с узлами 100, 121, 144 с помощью интерполяпионного полинома второй степени (в форме Лагранжа или Ньютона — это все равно, поскольку это одни и тот же полинам, разница может возникнуть только, если вычисление коэффициентов происходит не точно, а с некоторой 18 погрешностью). Решение. Для того, чтобы оценить погрешность вовсе иет необходимости строить сам интерполяцнонный полипом, — — м 3 достаточно воспользоваться полученной оценкой. Итак Х = 2, у = —,'х 1, у = — -'х э, р = 1~х ~, следовательно шах]йш] < $(100) 1 = 110 ~, откуда ]рь(х) — р(х)] < — 10 — шак](х — 100)(х — 121)(х — 144)] < 3.
10 3 -э1 — з 8 3! Таким образом, даже не считая сам интерполяционный полипом рк(х) мы оценили погрешность. 2.1.5 Оценка Ль.э1(х). При произвольном расположении узлов оценить модуль Лкэ~ довольно сложно. Для равномерной сетки ситуация выглядит проще. Проведем грубую оценку. Пусть х Е [хэ ы хь], тогда ]х — ] < И , ]х, — ] < (й — 1)й, ..., ] , , — х] < й ]хе — х] < й, ]хе„.~ — х] < 23,..., ]хи — х] < ()У вЂ” )с + 1)Ь откуда ]Лкт~] < ()т' — )с+1)%!Ь~+', и ]]~-р.]].
<]]Х"']]."'"" "" й"', ()т" + 1)! ьцэ то есть ]у — рк] = 0(6 + ) . В этой ситуации говорят, что интерполяцнонный многочлен рк(х) имеет погрешность кэ-1 0(л~+'). Замечание. Можно подобрать узлы так, чтобы величина шах ]Лгкэ~ (х) ] была меньше, чем у любого другого полинома той же степени с единичным старшим коэффициентом (такие полиномы наименее отклоняющиеся от нуля — многочлены Чебышева). Узлы расположены редко в середине и сгущаются у концов промежутка. 2.1.6 Сходимость интерполяции. Примеры Хотя теорема Вейерштресса и утверждает полноту полиномов, однако она ннчего не говорит относительно того, как строить такие полиномы р„. Возникают вопросы: 1.
Как выбирать ннтерполяцнонную таблицу (х;, Я? 2. Сходится ли в том или ином смысле последавательность аппроксимационнык полиномов к интерполируемой функ- Для увеличения точности можно использовать следующие методы построения полинома: 1. Уменьшение ша~а сетки, прн постоянной степени Л ннтерполяцнонного полинома.
В этой ситуации интерполяционный полипом хорошо описывает поведение функции у Е Сыт~ лишь на небольшом промежутке (длины 2. Разумное размещение узлов. Обычно это означает выбор в ка сестве узлов корней многочленов Чебышева. 3. Увеличение числа узлов н, тем самым, увеличение степени ннтерполяцнонного полннома. Известно, что если р(х) — целая функция (т.е.
разлагается в степенной ряд с бесконечным радиусом сходимости на комплексной плоскости), то при произвольном расположении узлов на любом промежутке ]а,б], рк(х) -э р(х) равномерно (т.е, по норме пространства непрерывных функций ) при Х -+ со . Однако если функция бесконечно дифференцируема лишь в вещественном смысле: / Е С~1 р то это уже не гарантирует сходимости последовательности ннтерполяционных полнномов к функции / при увеличении числа узлов.
Пример. 0 х<0, /(.) = ( [ е . 0<х. Построим последовательность интерполяционных полиномов по точкам отрицательной полуоси. Все они тождественно равны нулю р„(х) ш 0 и сходимости к функции / нет. Правда узлы мы выбрали весьма неэффективно. При равномерном расположении узлов также не всегда удается добиться сходимости. Причина здесь заключается в том,что в оценку интерполяции входит производная от интерполируемой функции. В случае если / ие обладает достаточной гладкостью, то и оценка теряет смысл.
Пример Бернштейна. д(х) = [х[, т Е [-1,1[ . Бернштейн показал, что для равномерной сетки значения рл(х) между узлами интерполяции неограниченно возрастают при )г' — э оо в окрестности точек -1, 1. Заметим, что функция [х[ недиффереицвруема в нуле, но в окрестности нуля интерполяцвонные полиномы высокой степени достаточно хороню передают поведение функции модуль.
В известном смысле общего метода построения последовательности интерполяционных полиномов нет. И основанием, чтобы утверждать столь "пренеприятнейшее известие", является Теорема Фабера (ЫО ОО ТЬеогеш). Преть х', / про овальный интерпомлционныб массив на [а, Ь[: о хо хг г 1 хо хг ... х Тогда существует гпакам функция д Е Сы,ь~ и такам точка х. Е [а, Ь[, что последовательность интерпо мционных номиналов, построенном по сгарокам эпюго массива и совпадающем в них с д не стремгитсм в тпочке х. к д(х,) . Таким образом, равномерной сходимости вообще говоря добиться не удается. Как епреодслетьгтеорему Фабера? Необходимо отказаться от поточечной сходимости и заменить ее на сходимость в среднем.
Именно, верно следуювзее утверждение. Пусть Р (х) — система многочленов ортогональных с весом р б С~юг~ на промежутке [а, Ь[: Рь(х)Р, (х)рдх = дьы, р(х) > 0 . а Пусть х~ ~ суть корни Р„. Все они вещественные и простые и принадлежат промежутку (а,Ь) (см. гл. "Численное интегрирование ). Возьмем корни х, ортогонального полинома Рмго в качестве узлов интерполяции, и по ним г (ж-~-0 построим полинам рн Х-ой степени проходящий через Х В-1 точку: Д(х ) = рл(х,„),т = 0.... > Х . Тогда 1мэю ~лг-0 для любой непрерывной иа [а,Ь[ функции [/(х) — рк(х)[ р(х)дх э 0 . 20 Выбирая ту иля иную весовую функцию, получаем различные ортогональвые полиномы. Наиболее употребительными ортогональнымя полиномамн являются полнномы Якоби, Лежандра,, Чебышева, Лаггера, Эрмвта.
2.1.7 Сплайпы Как мы видели, увеличение степени интерполирующего полинома далеко не всегда приводит к желаемому результату. Зачастую более эффективным способом интерполяции на сетке (х„)е)~ о оказывается использование сплайнов. Дадим соответствующие определения. Пусть хо < хе < хз < хн — некоторые числа. Рассмотрим кусочно полиномиэльную функцию о'" (и < и, и,п натуральные) заданную на промежутке [хо, хн] такую, что на каждом промежутке [х, ы х,] она представляет собой некоторый полинам р,', степени и: о,",(х) = р,',(х), х б [х, их;], 1 = 1,2, Де, и, при этом, рассматриваемая иа всем промежутке [хо, хн] функция о',", имеет п — и непрерывных производных, то есть о'„" б С," " „и, следовательно, для полиномов р' во всех внутренних точках хе,хю хя е промежутка ~*О гнр [хо, хн] выполнено алй алэ Определение.
функция Я'(х) называется с лобном порядка и (степени п) дефекта и, . Точки х, называются делами сплайна. Очевидно, что дефект сплайна и равен его порядку п, емннусачисло его непрерывных производных. Сушествует ли хотя бы один сплайн? Разумеется, да. В частности колином и;ой степени есть одновременно сплайи о„' для всех и от О до и . В качестве примера сплайна также отметим. что Я] представляет собой ломанную, точками излома которой являются узлы сплайна. Всякий сплайн Я„", до тех пор пока мы от него ничего не потребовали кроме как являться кусочно полнномиальной функцией, обладает некоторым числом свободных параметров, которыми мы можем распоряжаться по своему усмот- ренню. Чему равно это число? У нас имеется Ж промежутков Ье = [хе е,хь]> к = 1,2,,)У .
На каждом из этих промежутков сплайн о„должен представлять собой некоторый полинам и-степени р = 2 а, х, который имеет ь Об 1 э=о п+ 1 свободный параметр. Таким образом, общее число свободных параметров равно йе(п+ 1) . Однако одновременно с этим на сам сплайн наложено некоторое количество условий гладкости во внутрених узлах сплайна хп хш, хн — ~ . Сплайн должен быть непрерывен и непрерывными должны быть п — и его производных в Х вЂ” 1 точке (х;) ~, ', то есть из общего числа пара, метров М(п+ 1) мы должны вычесть чишю условий гладкости, равное (Х вЂ” 1)(п — и+ Ц .
В итоге, число Р действительно свободных параметров равно Р = и(Х вЂ” Ц+ и+ 1 . Пусть теперь нам задана некоторая интерполяционная таблица [х'„у,), о (точки х, — это узлы интерполяции и м они вовсе не обязаны совпадать с узлами сплайна х, ) и мы хотим найти сплайн о;, . который бы этой таблице удовлетворял: о'(х';) = йо 1 = О, 1, ..., М . Существует лн решение такой задачи интерполяции и единственно ли оно? Если число свободных параметров сплайна Г = и(Х вЂ” 1) + и -~- 1 совпадает с числом М -~ 1 условий интерполяции (условия равенства конкретным значениям у, в М+ 1 узле ннтерполяпии), то можно надеяться, что ответ положительный хотя это и не всегда так, и ответ, в частности, зависит от взаимного расположения узлов интерполяции и узлов сплайна.
Так, например, если между двумя соседними узлами х, ~ н хе сплайна о„" находится более чем и+ 1 узел интерполяции, то задача некорректна, поскольку от полинома п-ой степени неестественно требовать, чтобы он проходил более чем через и+ 1 заданную точку [х,', у,). Кроме того на практике два условия обычно резервируют под граничные значения 21 сплайна или его производных. Скажем интерполяруемая функция известна нам в некотором количестве точек и при этом удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению и граничным условиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
