Буслов, Яковлев - Введение в численный анализ (947494), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Заметим, что если Ь = О, то х~ ~ = х". Свойство, Ьйх~ ~ = п(п — 1)... (и — (Ь вЂ” 1))Ьйх~" Доказательство. Ы ( + Ь)~ь~ бй = (х+ Ь)х(х — Ь)... (х — (п — 2)Ь) — х(х — Ь)... (х — (и — 1)Ь) = = х(х — Ь)... (х — (и — 2)Ь)(х -~- Ь вЂ” (х — (и. — 1)Ь)] = пЬх~" применяя Ь еще раз, получаем ,Ьзх~я = 11(ах~"~) = а(пЬх~" й) = лЬ(л — 1)Ьх~ = п(п — 1) Ь'х~"-", и так далее. Таким образом действие оператора а на обобщенную степень аналогично дифференцированию обычных степеней: Н х" = п(п — Ц, .
(и — (Й вЂ” 1))х" (дх) 3.2.2 Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов Пусть в точках хо, хй,..., хн: х, = хо +1Ь, заданы значения )е, уй,..., 2йй . Решим задачу интерполяции, то есть построим полипом (4) Р(х): р(х,) = у,, 1 = О. 1, ..., Х, бекр(х) = Х . Интерполяцнонный полипом, удовлетворяющий табличным значениям (х,> уй)~ о, в форме Ньютона имеет вид Р(х) = ~~' ~он...йЛй(х) . ай й — й Для постоянного шага Ь выполнено: Ь!Уой й = — „.й(й, при етом Л~(х) = П (х — х,) = (х — хо)а~, таким образом *=о решение задачи интерполяции принимает виц р(х) = уо + (х — хо) + — , (х — хо) + + — (х — хо) ~1~о ~ц 1 гй уо р! 1 ~1 уо ро Ь 2! Ьз Х! Ьл Заметим, что сами условия (4) можно также переписать в виде: 11 р(х)~,— г, = йй уо Действительно нз свойства 5) й й конечных разностей а Р(хо) = Р(хо -й ЙЬ) — Сйр(хо -й (й — 1)Ь) + - + ( — 1) Р(хе) = =Б СйУй — й+ +Ус=~1 Уо.
Проверим, что построенный полипом р(х) действительно удовлетворяет условиям интерполяции: 1) Р(хо) = Уо, что следует из формы записи полннома; 37 2) р(хо ) = ро + ~~„(хо — хоР + ч- Я~(хо — хо) ~"~ + О Поскольку хо — хо = ЙЬ, то (хь хо)~ ~ — ЬЬ(ЬЬ Ь)... (ЬЬ (пз 1)Ь) — Ь Ь(Ь 1) ° (Ь ( и 1)) и, следовательно, р(хь) = ~А+ „~ ЬЬ+ ~, ~ Ь Ь(Ь вЂ” Ц+... +, ~~Ь~Ь(Ь вЂ” 1)...1 =~о~-Ь|оЬ-Ь, Ь(Ь-1)-~...-Ь вЂ”,„Ь(Ь-1)...1= = ~~, СГЬ Хо = (1 + 1)" Уо = Б по свойству конечных разностей. Замечание. Если Ь -+ О, то полипом р(х) стремится к отрезку ряда Тейлора функции 1, так как в этом случае Щ4- -+ ~О"~(хо), (х — хо)~~~ э (х — хо) и р(х) -э (о + 1'(хо)(х — хо) + , (х — хо) + + , (х — хо) У (хо) 2 У™ (хо) ж о=о Можно интерполяционный полипом записать также в следующей форме: ( ) ЧЫ-1), Ч(Ч-1) - (Ч-Ю+1), л где о = -':-„*-о, действительно (х — хо)~ 1 (х, — хо)(х — хо — Ь)...
(х — ха — (пз — 1)Ь) Ьм ЬЬ...Ь = о(о — 1) ...(о — т + 1) . Глава 4 'Численное интегрирование 4.1 Наводящие соображения При приближенном вычислении интегралов вида ь 1 = / У(х)р(х)Их, где 1 — интегрируемая функция, р — еес или весовая функция со свойствами Ц ре С~„,ю; 2) р интегрируемая на ]а, б]; З) р > б, естественно использовать следующий прием. Проинтерполируеминтегрируемую функцию 1 с помощью чебышевской системы функций (~р,)Д с по ее значениям 1, = 1(х,) в некоторых узлах (х,],' е промежутка (а,б] .
Тогда функпию 1 можно представить в виде У( ) = У, .Зь(х) + л (х), считать, что базис в линейной оболочке ~ тл выбран таким, что матрица Ф единичная, то есть о, = ~,, тогда л ь ь 1 = ~ ~(хс) / р,(х)р(х)с(х + / г,(х)р(х)с(х . .=о (2) где введены обозначения йи = / 'г (х)р(х)ох, Вл(у,р) = / г~(х)р(х)йх, Если в (2) отбросить погрешность Ял(1', р), то оставшееся выражение в л 1 = ~ ~(х)р(х)йх ~ Л,у(х,) =о где гл(х) соответствующая невязка, а коэффициенты о, линейно выражаются через значения Л (см.
раздел "Интерполяция" ): о, = 2 [Фз ],. '1,, где Ф невырожденная матрица с элементами За(х,) . Для удобства будем з=о Таким образом ь Д (х — хо — уЬ) ( 1) о П(Д1 — 1)~Ь~,/ (х — хо — гй) Положим ктькл = о, а = хо, Ь = хм и заметим, что ~, = ф, тогда Окончательно, обычно вводят несколько другие коэффициенты, называемые коэффициентами Котеса: при этом квадратурная формула принимает вид з М 1(Х) х = (Ь вЂ” а) ~~ НГ((х,) + Я(1' ) . мо ,Доказательство. 1) Поскольку квадратурная формула Ньютона-Котеса точна для полнномов степени не превосходящей М, то в частности если взять в качестве функпии г" функцию тождественно равную 1, то / дх = (Ь— а) ~~~ Н,з'(х,) = (Ь вЂ” а) ~ ~Н, = (Ь вЂ” а) откуда свойство Ц следует непосредственно. 2) Коэффициент Н; равен при этом и( -я )и — ме.
э=о Х (М вЂ” 1)!(Н вЂ” И+1). '/ о — Я+1 о Произведем замену переменной о — Н = — р, 42 = 0р, тогда й(.- ) откуда Ня, = Н,, 41 Свойства коэффициентов Котеса Н,: 1)~ Н;=1; 2) Н,=Нм ПИ вЂ” у) й(Х вЂ” 1)! / о — 1 о П(4-У') 1 (-1)х ' ~ з=о до Х г!(Х вЂ” г)! / о — 1 о и(-) ( Ц' /' з о 42 М(Х вЂ” 1)!1! ) о — Н+1 4.2.2 Оценка погрешности квадратурных формул Ньютона-Котеса Для погрешности интерполирования г(х) функции у(х) изперполяционныи поливомом р(х) у иас было получено выражение у.ичь-е( ) г(х) = у(х) — рл(х) =, Мл<-ь(х), (Ль+1)~ где точка у зависит от х: й = й(х) и Лльь(х) = П(х — х,) . Таким образом у уь"+и(„) у „у / (Х+ )ь и ~Ян(у',1)~ <, ' ( Лнеь(х)дх. 4.3 Формулы Гаусса-Кристофеля 4.3.1 Пределы алгебраической степени точности Выясним какой пожег быль алгебраическая степень точности М квадратуриой формулы с Ь узлами хы хг,..., хь ь Ь .ь( )р(х)д =~~~У(*~) .
ь=ь (6) Частичный ответ на зтот вопрос дает Лемма. а) длл любой квадратурной формулы М < 2Š— 1; б) длл любой данной системы узлов (х,)~, суихеетвуют такие Ль, что алгебраическ л спьепень точности М >  — 1. Доказательство. а) Сначала приведем нестрогое рассуждение. Подсчитаем число свободных параметров квадратурной формулы. Оно равно 2Ь (В весов Л, и В узлов х). Полипом же степени М содержит М + 1 парамт р. Приравияем эти величины: М+ 1 = 2В, то есть М не может превосходить 2б — 1.
Строгое же доказательство состоит в том, что мы просто предложим полипом стпени 2Е, для которого (6) не может ь быть тождеством. Действительно пусть У(х) = [П (х — х,))', тогда у(х) > О и поскольку вес р(х) неотрицателен и не з=1 ь ь равен тождественно нулю, то ) у(х)р(х)дх > О, с другой стороны 2 Льу(хь) = О, поскольку ф(хь) = О. а ь=! б) Введем моменты ь сь = / х'р(х)дх . а Если (6) — строгое равенство для полиномов степени до М, то должно быть выполнено: 42 В частности, если ь"(х) — это полипом степени с)ек ф < Ль то Як(у", 1) = О, то есть действительно квадратурная формула ньютона;котеса с (х -ь 1) узлом точна для полииомов степени не превосходящей Я.
Ь Ь хр(х)дх=сг=~~ Льхь,(=0,1,...,М ь=! Заме!им, что это система из М + 1 линейного уравнения иа Ь чисш! Ль н оиа становится однозначно разрешимой прн М = Š— 1, поскольку определитель этой системы — опрелелитель Вацдермонда и, следовательно, отличен от нуля, поэтому веса Ль существуют и единственны. Отметим также. что явное выражение для весов имеет вид Л.=~П'" х'.(х) *, (хь — х! ) !хе (7) что естественно совпадает с (5) при р(х) ш 1. Итак, алгебраическая степень точности не может превышать величину 2Ь вЂ” 1, а может ли она равняться этому числу? — Да, может! Определение. Кеадрагурные формулы наивысшей ш!гебраической степени точности (М=2Ь-1) называются кеадра- турными формулами Гаусса-Кристофе л Займемся построением формул Гаусса-Кристофеля.
Если узлы уже известны, то веса можно Ль определить используя определитель Ваидермонда ( и получить выражение (7) ), но это гарантирует алгебраическую степень точности лишь до значения М = Ь вЂ” 1. Значит вопрос заключается в "разумномерасположении узлов хь. Для решения этой задачи нам потребуются некоторые сведения об ортоговальиых полиномах (корни которых и являются узлами квадратуриых формул Гаусса-Кристофеля). 4.3.2 Ортогональные нолиномы Теорема. Пусть задана еесоеал функ!(ил р со сеанс!авами 1)-8), тогда е Ьз,р существует и единстеенна полная система ортогональных иолиномое Р„(х) ! (Рь!Р, )г,, = / Ро(х)Р.(х)р(х)дх = бош0РьЯ,, такал что дебРь = п .
Напомним,что система векторов ((о!) нормированного пространства Е, иазываеття полной если наименьшее замкнутое (т.е. содержащее все свои предельные точки) надпространство, содержащее ((оь), есть все Е. В конечномерном нормированном пространстве всякое надпространство автоматически замкнуто. бесконечномерном случае это не так. Например, в пространстве непрерывных функций С(„ь( (со своей нормой: ~(7(~ = шах ~ф(х)() полиномы образуют поде(,ь( пространство, но не замкнутое. Однако, в силу теоремы Вейершрасса, система функций (х )ь~ о является полной в Доказательство. Докажем существование и единственность без проверки полноты.
Предъявим эти полиномы с точ- пастью до множителя явно; со с! ... с с! сг ... с +! Р (х) = А„ со — ! с! ... сг! — 1 1 х ... х Здесь, А — нормировочные константы. Для проверки существования, необходимо убедиться, что Р д х, т < и Действительно со сй - со сй се ... с„+й ь ь хыРп(х)р(х)1х = Ап / х~ с ь с ... сэ — ь с й с ...
с вы с сей...со если т < и — 1 (определитель с двумя одинаковыми строками). Таким образом ортогоиальиые полиномы существуют. Поскольку степени х~ линейно независимы, то ортогональные полниомы можно также построить и стандартной процедурой ортогонелизации (Гильберта-Шмидта): 1 х — (х,1)ь,,1 " ~~Нь.„: "- ~~.-(..1)ьа,йь.„ ь — й х~ — ~ (х~,Рй)ь,Рй Р = й=1 ! $х' — ~,' (т', Рй? ь,, Рй Ц ь,, й=ь Проверим теперь единственность. Пусть существуег другой полипом Сй степени Ь, такой что Сй .1 Рь, й 1,..., Ь вЂ” 1. Разложим его по системе Рй: Сй = ~" щР,.
Домножим зто равенство на Рь и проинтегрируем с весом р .=а по отрезку (а Ь) (т е. рассмотрим скалярное произведение), тогда (дй, Рь) = 0 = сь при 1 С Ь и, следовательно дй = ейРй. Вопрос: А где мы используем свойства р? Дело в том, что если р удовлетворяет свойствам 1)-3), то форма ь (Л, р) ь„= / ~(х)я(х) у(х)йе Ю действительно определяет скалярное произведение. 4.3.3 Свойства ортогональных полиномов Путь задана система ортогональных с весом р полиномов Рч(х), Справедлива Теорема. Все корно Ро(х) вещественные, простые и принадлежат отрез у (а,Ь) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
