Буслов, Яковлев - Введение в численный анализ (947494), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Можно в принципе потребовать чтобы этим же условиям удовлетворял и интерполирующий ее сплайн (хотя никакому уравнению он, разумеется, не удовлетворяет). Для некоторых конкретных сплайнов (например, кубический сплайн Яз) есть более естественные 1 соображения, по которым имеет смысл два условия использовать как граничные.
Чуть позже мы этого коснемся. Параболический сплайн Я Для параболического сплайна число свободных параметров Р = и(Х вЂ” 1) + п+ 1 =?У+ 2 и его используют, чтобы удовлетворить интерполяционной таблице (х'„(, ) с Х узлами интерполяции, оставляя два параметра под граничные условия, которые задаются в крайних узлах сплеина хо и хк. Узлы интерполяпии х', располагают между соседними узлами сплайна х, и х,~.п (3) х, Е (х„хмы) . Справедлива теорема (приводимая нами без доказательства) которая утверждает, что при выполнении условия (3) задача интерполяции параболическим сплайном корректна, т,е.;щя любой интерполяционной таблицы (хо уз), о интерполируюший ее сплайи существует и единственен при граничных условиях вида озЯ(а)+ЯзЯ (а) = П, озЯ(Ь) ~-ЯзЯ(Ь) ='уз, о,' -Е,В; Ф.
О, з = 1, 2, а = хз, Ь = хл Для параболического сплайна узлы интерполяции и узлы сплайна не совпадают, и это обстоятельство можно использовать для повышения точности интерполяции функции у(х). Именно, поскольку парабола не имеет точек перегиба, то естественно точки перегиба интерполируемой функции у'(х) выбирать в качестве узлов сплайна, а точки локальных экстремумов у(х) — в качестве узлов интерполяции. Задача интерполяции кубическим сплайном Я'(х) Пусть нам задана интерполяционная таблица (хора)ол и требуется найти кубический сплайн Яз(х), узлы которого совпадают с узлами интерполяции, и который бы этой таблице удовлетворял: Яз(х,) = до з = О, 1, ..., Х.
Для решения этой задачи прежде всего определим число свободных параметров и количество условий, которым необходимо удовлетворить. Для сплайна Я' число свободных параметров Е равно Г = а(зч — 1) + и + 1 = ЦХ вЂ” 1) + 3 + 1 = Х + 3 . При этом необходимо удовлетворить (?У+ Ц-му условию равенства сплайна значениям иитерполяционной таблипы. Два оставшихся свободных параметра используют под граничные значения. Перечислим наиболее употребительные граничные условия для кубического сплвйна. 1. Яз1 (хо) = Яз (хк) = Π— естественный (натуральный) сплайн; 2 Яз (хо)=А Яз (хи)=В; 3. периодический сплайн ЯЬО(а) = ЯОО(Ь), р = О, 1, 2 .
Вопрос. Почему в случае периодического сплайна указано 3 условия, а не 2 ... или их все таки 2? 22 Интегрируя по промежутку (х! з,х,), получаем Я (х) = — (х — х, !) — ' (х! — х) +д, ! М! з М вЂ” ! 2Ь, ' 26, и интегрируя еще раз, представим сплайн в виде Я(х) = †(х — х! !) + ' (х, — х) ц- †(х — х! !) — †'(х! — х) т с, ЛА з М ! з !Ь д! 66, ' 66, ' 2 Константы !Х, и с, пока неизвестны. Чтобы ю! найти воспользуемся собственно уравнениями интерполяции Я(х, з) = у, ! и 5(х,) = у,, которые в нашем случае принимают вид М!з ди — Ь,— — Ь+с =у 6 ' 2 ЛХ, з д, — Ьз+ — 6+с =у Складывая н вычитая эти уравнения получаем уз+уз, М,ц-М; ! з уз-у;, Таким образом с! и д! можно определить через величины М, ! если бы последние были известны.
Чтобы их определить, используем непрерывность Я'(х) во внутренних узлах х!, ..., хн ! . Эти условия записываются в виде М,Ь! М,Ь,.„ Подставим сюда выражение для величин у! — у, ! ЛХ,— М, Ь, 6 у,ь,-у, ЛХ,ь, — М! Ь, е! М! = — — *Ь,„ 2 то есть ,У!ч! — У! У. — У.-!) з-! +, и- гк! = 6!+6! ! ' ' 6!+6,,! 6!+6,„' Ьгы Ь, ! = 1, 2,..., Ь! — 1 . Это система из 6! — 1 уравнения с (ЛХ + 1)-ой неизвестной величиной Мо, Мз,..., ЛХ и . Ее ( .и =о. Матрица, соответствующая системе полученных уравнений, трехдиагонельна. и при этом является матрицей с диаго- нзльным преобладанием.
Напомним, что квадратная матрица Р (вообще говоря комплексная) называется называется матрицей с диагональным преобладанием если для элементов дз! любой строки выполнено !дз! > ~~, !дзз! зн! Приведем без доказательства следующее утверждение. Теорема (Гершгорин). Собственные зна"!енил квадратной матрицы Р = (дй)~! ! леокат в объединении кругов !г- н! <~',!дзз! ! ф! Прямым следствием теоремы Гершгорина является невырожденность матриц с доминирующей главной диагональю, поскольку для таких матриц указанное объединение кругов не содержит точку г = 0 и, следовательно, матрица не необходимо дополнить двумя уравнениями исходя из граничных условий . Возьмем, скажем, однородные граничные условия имеет нулевого собственного значения, а значит н невырождеиа. Таким образом система уравнений для определения величин М, однозначно разрешима, тем самым сугцествование и единственность кубического сплайна можно считазь доказанными.
Саму же возникшую трехдиагональную систему удобно решать методом прогонки, который рассматривается в соответствющей главе. Там же показано (независимо от теоремы Гершгорина), что для матриц с диагональным преобладанием метод прогонки заведомо разрешим. Базис в пространстве сплайнов с однородными граничными условиями Для всякой интерполяционной таблицы хо,хш ...,хл Уо У1 . Ул существует единственный кубический сплайн Яз(х) = Я(х), который ей удовлетворяет 1 Я(х)=у;, йы0,1,...,Х, и удовлетворяет однородным граничным условиям (так называемый натуральный или естественный сплайи) Я" (хо) = Я" (хн) = 0 Варьируя величины у, (считая, что узлы х, фиксированы) мы получим пространство М(хо, хш ..., хи) интерполяпионных естественных сплайнов размерности дпп = )т'+ 1 с узлами (х,)о .
В самом деле, введем в качестве и базиса в М следующие сплайны: (Яь(х)Д о: Яэ(х,) = бш г = 1,..., Х . Каждый такой сплайн Яь(х) существует и единственен. Рассмотрим комбинацию Я(х,(п,),. ) — = ~~~ эЯе(х) . Предположим, что Я(х,(п)) ш О, тогда Я(хп (о)) = Я,(х,)сп = 0 и, следовательно, все о, = О, т.е. сплайны Я,(х) линейно независимые, и они покрывают все М.
Следовательно любой кубический сплайи Я Е М(хо...,, хл) единственным образом представим в виде Я(х (Ч)) = ~~' рьЯь(х) . э=о Как быть в случае сплайнов с ненулевыми граничными условиями, скажем с условиями Я" (хо) = А, Я" (хл) = Ву Множество таких силайлов уже не образует пространство, поскольку не является линейным (сумма таких сплайнов не удовлетворяет граничным условиям). Чтобы описать эту ситуацию построим сплайн специального вида я1о'н1(х) такой,что 1) ЯЮ'~1(х;) = О, г = 0,1,2,...,Л; 2) ЯЮ'~1(х) удовлетворяет заданным неоднородным граничным условиям. Такой сплайн существует и единственен по доказанному нами утверждении о существовании и единственности кубического сплайна.
Произвольный сплайн с узлами (х,)о~ и с неоднородными граничными условиями представим единственным образом в виде Я(х) = Я ' ~(х)+~~~ уьЯь(х), 25 где Яь ранее построенные базисные сплайны пространства естественных сплайвов. Таким образом кубические сплайиы описаны полностью. 2.2 Аппроксимации Паде 2.2.1 "Наивный" подход Можно, однако, рассматривать приближения не связанные жестко со значениями функции в наборе точек.
В частности й отрезок ряда Тейлора-Маклорена 2 , 'х — ' — —,:к) (х — хо) может достаточно хорошо приближать функцию в окрестности э=о точки разложения хо (с точностью о((х — хо)Я) ) и, при этом, не быть связанным с интерполяциоиной таблицей (он определяется лишь значениями производных в одной елинственной точке хо ).
Отрезок ряда Тейлора-Маклорена представляет собой один вз способов аппрокспмации. Более общимв аппроксимациями являются аппроксимации Ладе. Пусть функция / (вообще говоря комплекснозначная) задана своим рядом Тейлора. Для удобства будем считать, что точкой разложения является нуль /(к) = ~ „ с ° ' .=о (4) На этот ряд можно смотреть и как на формальный (т.е. возможно и не сходящийся нигде ии к какой функции). Дадим сначала предварительное определение, а точное — несколько позже. "Наивное" определение.
Назовем [ЦИ]у-аппроксимацией Паде отношение двух поттомов ь Ер =' [1 /М]у о до д,х' .=о (Ь) разложение в ряд Тейлора которого, совпадает с первыми коэффипиентами ряда / настолько, насколько это возможно. Всего мы имеем Е + ЛХ + 1 свободных параметров (т.к. оо = 1), следовательно, можно надеяться на то, что их выбором удастся добиться выполнения следующего равенства 2,'Р,х' с х' = ' о + 0(х~+~~~) =о (6) Пример. Пусть /(х) =1 — -х+-х — -х -~ 2 3 4 Легко видеть,что [1/0]у = 1 — — - = /(х) -~- 0(х ), [О/1]у =, = /( ) -~ 0(х~) 2 1 [1/1]у = =(1+ах)(1 — Ьх+Ь х — ) =1+(а — д)х+(Ь вЂ” аЬ)х + 1+ Ьх шгауда а — Ь = — 1/2, Ь(Ь вЂ” а) = 1/3, то есть а = 1/6, Ь = 2/3, и 26 Приближение функции с помощью интерполяциовиого полииома или с помощью сплзйна основано на использовании значений интерполируемой функпии в вектором коэшчестве точек, и как шшайи так и янтерполяциоииый полипом должны в этих точках иметь значения, совпадаюпсие с соответствуюпсими значениями интерполяруемой функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
