Буслов, Яковлев - Введение в численный анализ (947494), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Возврагдаясь к исходной функпии Г", получаем формулу Саььпсока — ! ь у(х)дх - [у(а) + 4ф( ) + у(ь)[ . Заметим, что эта формула точна и для полииомов третьей степени, хотя построение гарантировало точность лишь до значения Ь вЂ” 1 = 2. Полипом Рг имеет вид! Рг = —,'(Зд — Ц одинаковы; Л! = Лг . Л! -!- Лг = 2 =ь Л; квадратурная формула имеет вид уг = — '. Веса из симметричности должны быть У(д)ььд д( — — ') т д( — ').
Таким образом искомая ,з ,з Для более точного вычисления интегралов можно строить интерполяционные полииомы все более высокой степени, сущако более разумным подходом является разбиение промежутка интегрирования иа части и применение на них какого либо из изложенных выше простых способов интегрирования. 4.5 Составные квадратурные формулы Разобьем промежуток интегрирования [а,Ь] на 1У частей хо = а, хс, ..., хн = Ь и иа каждом промежутке [х;, х, 1] применим ту или иную квадратурную формулу и просуммируем по всем промежуткам. Пусть Ь, = х, — х, Получаем следующие составные квадратурные формулы М = 5- Ь;У(е'"; -'); и т= у'Ь,""'","**-"; ;=1 ~= 2. ЫЛ- з-41(** ',"**)->У( )].
=1 Любопытно отметить, что Я = ~2М+ -'Т. Удобно составную формулу Симпсона представлять в виде (прн четном числе промежутков) ЬУ) = — (Хе+4(1+2.6+ +4~к-1+ум) . Ь 3 Такая запись называется обобщенной формулой Симпсона. 4.5.1 Сходимость квадратурных формул Устремим в составных квадратурных формулах ранг дробления Ь = пшх Ь; к нулю.
Естественным образом возникают вопросы 1) Стремится ли сумма к интегралуу 2) Если ела", то с какой скоростью? Ответ иа первый вопрос положителен. Поскольку и формула средних М и формула трапеций Т вЂ” суть интегральные суммы, а лля интегрируемой функции интеграл по определению есть предел интегральных сумм. Поскольку формула Симпсона Я является линейной комбинацией (с суммой коэффициентов равной 1) формул средних и трапеций, то при ранге дробления стремяшимся к нулю, она также стремится к интегралу.
Нетрудно доказать сходимость и других квадратурных формул. Теперь обратимся к вопросу о скорости схолнмости. Поскольку формулы трапеций Т и средних М точны Лля полиномов степени не превосходящей 1, то естественно ожидать, что их погрешность есть 0(Ье)> а лля формулы Симпсона, имеющей алгебраическую степень точности равную трем, погрешность — 0(Ь~). е Эю — 1 Рассмотрим ситуацию детально. Пусть х, = ' з* ' . Разложим у(х) в рял Тейлора в окрестности точки х ((х) = ((хе) + (х — х,)у'(хе) + — (х — х,)'ун(х,)+ 1 2 е 4 е (х х ) .т( ) (х х ) ~00( ) (х х ) (д~( ) 0(Ье) 3.
'24 ' 120 Проинтегрируем это разложение по промежутку [х, ы х;]. Заметим, что при этом все члены Тейлоровского разложения с нечетными степенями (х — х;) пропадут из-за симметрии расположения точки х,. Таким образом А",!;"' А'" Ьз Ье Ь7 У(х)йх — Ь,~(х,) + 1' (х,) + у (х,) + ( (х,) + .. **-1 50 Из тейлоровского разложения также нетрудно видеть, что = Х( ) + * уа( ) + * У'0( ) + 0(Ь') 2 ** + 2!2з *' + 4!24 откуда И-ь) = ~"""*' ' — "' уа(') - "' уйй(') -0(Ь') 2 2~2г ' 4~2ь Подставляя это выражение в (8), получаем Ь"( )ь( =Ь ' ' — — 'У ( )+ ' ~Ь ~( )[ — — 1[+0(Ь ).
2 12 4!2ь о (9) Далее, поскольку Я = эМ+ — 'Т, то ~2~( ) + ( (~ ) 1(~ )) ж — 1 (10) Итого, для равноотстоящих узлов из (8) погрешность составной формулы средних бм равна ь ь Ьз Ьм = ~ ~(х)с1х — М = / ~(х)Ях — ~~ь Ь;~(х;) = — ~~ — ',Ул(х,) -> 0(Ь ), 24 .=1 .=1 к а то есть л н [ < 1 ~ ~' ь[[ а[[ Ь [[Х [[с ~~- (Ь вЂ” а) 24 ' 24 ' 24 Из (9), аналогично [ т[ < ",,'[[Хл[[.Ь'.
Из (10) Пубйп Ь' [оз[ (Ь вЂ” а) . 6!4 Здесь имеется в виду составная формула Симпсона Я . Для обобщенной формулы Симпсона надо Ь заменить на 2йл Уйй[[с 2'Ь' М [ой[ (Ь вЂ” а) = — Ь (Ь вЂ” а) . 6! 2з 180 4.6 Другие формулы 4.6.1 Снлайн-квадратура Пусть х б ь1, = [х, их,), Ь, = х, — х; ь, ю = 1 — Ы = " „* '. Применим сплайн Яз для приближенного интегрирования. Заметим, что на промежутке ь1, его можно представить в виде: Для приближенного интегрирования можно также использовать сплайны.
Именно, интегрируемая функция заыеняется сплайном, который и интегрируется. з лз(х) = '"Л+ эзар — 3 + — [(ьз — ьз)зьзь + (ьз — Р)М, ь] б Здесь Мь = Я (хь). Пусть Я(ьз) = Яз(х), тогда в, 1 Ф(х)2х = Ьь / В( д)ь(ьо, (дх =)ьА ) . ь з При этом ) ьзь)ьз = —,', ) (ьз~ — ьз)ь)ьо = — -' .
Таким образом о о Ь Х*+ Л-ь лз М, + М,-ь 2 ' 24 Действительно, вторая производная от сплзйна, аппроксимирует вторую производную от функции и Ьз(М, М ) Ьз 24 12 что представляет собой поправочный член формулы трапеций (см. формулу (9)). Таким образом происходит компен- сация ошибки формулы трапеций. Окончательно Замечание, Сплзйн-квадратура не есть квадратурная формула в чистом виде, поскольку она использует не только эншзевия функции, но и вторые производные от сплайна. 4.6.2 Формулы Филона ь Пусть 1 = ) 1(х)е™с)х, Ц >> 1/(Ь вЂ” а), а 1(х) медленно меняющаяся относительно периода Т = 2к/ьз колебаний, а функция.
В этом случае подинтегральная функция у(х)е* имеет много осциляций на промежутке (а,Ь) и использо- ванне обычных квадратурных формул весьма затруднено, поскольку приходится делить промежуток интегрирования на большое количество частей. Однако нет необходимости заменять всю подинтегральную функцию интерполяпион- ным полиномом. Достаточно эту процедуру проделать лишь с функцией г(х). Итак, заменим 5 интерполяционным полиномом р. Тогда У(~) = р(.) = Еб,(х)Х( э) , С,(.) = и ('" '."), э=о ьХьь=о ь л ь л Х = ~р(х)е* *ь)х = ~ у(хз) ( е™ Сз(х)йх = ~ А,(ш)у(хз) .
з=о э=о ь Интегралы Аз(ш) = ) е~*бз(х)ь)х берутся в элементарных функциях. Получаемые при этом формулы приближенного интегрирования называются форльдлими Филона: 1 Задача: Для интегралов — 1 О, Те=1. ь л ~~~(Ь У,+Л з ЬзЖ+М, ь) 2 ' 24 =1 ь и 1 = ~1(х)е™~ь)х зз ~ Аз(ьз)у(х,) . з=о 1 зшьзхг(х)с(х, 2 сов ьзху(х)с(х получить формулу Филона с тремя узлами: хо = 1, хь = — ! Глава 5 Системы уравнений 5.1 Решение нелинейных уравнений Задачу нахождения решений уравнений можно формулировать различными способами.
Например как задачу на нахождение корней: 1(х) = О, влн как задачу на нахождение неподвижной точки: Г(х) = х . При этом в зависимости ог формузшровки задачи удобно применять те илн иные способы решения. Рассмотрим сначала одномерную ситуацию. 5.1.1 Одномерный случай Метод деления пополам Простейшим методом нахождения корней уравнения у(х) = О является метод деления пополам или Ахошомил.
Предположим мы нашли две точки хс и хм такие что у(хо) и у(х1) имеют разные знаки, тогда между этими точками, если у е С, находится хотя бы один корень функции у . Поделим отрезок [хо, х1] пополам и введем точку хс = катях . Либо У(хз)((хо) < О, либо У(хз)((1) < О . Оставим ту половину отрезка для которой значения на концах имеют разные знаки. Теперь этот отрезок делим пополам и оставляем ту его часть, на границах которого функция имеет разные знаки, и так далее, до достижения требуемой точности. К достоинствам метода деления пополам следует отнести его высоку.ю надежность и простоту, при этом от функции требуется только непрерывность.
Порядок сходимости метода линейный, на каждом шаге точность возрастает вдвое. Недостатком метода является тот факт, что прежде чем начать его применение, необходимо предварительно найти две точки, значения функции в которых, имеют разные знаки. Очевидно, что метод неприменим для корней четной кратноссп. Он также ие может быть обобщен на случай комплексных корней н на системы уравнений.
Метод простых итераций Пусть Е: [а, Ь) -> [а, Ь[ и Š— сжатие: [Е(х) — Е(у) [ < с[х — р[, о < 1 (в частности, тот факт, что à — сжатие, как легко видеть, означает, что Р б Сь, и). по теореме Ванаха существует и единственна неподвижная точка х", и она может быть найдена как предел простой итерационной процедуры 11пз х хэ.ы Р(хь) где начальное приближение хс — произвольная точка промежутка [а, Ь[.
Если функция Г дифференцируема, то удобным критерием сжатия является число: д = эяр [Р'(х)[ = [[Г'[[с < 1. Действительно, по теореме Лагранжа хе~а,н [Е(х) — Г(р) [ = [Е'(б) [[х — р[ < [[Е'[[с [х — у[ = д[к — л[ . 55 итерационная процедура будет иметь вид: х ег = —," . Как нетрудно убедиться, метод итераций в данном случае е расходится, при любой начальной точке хо, не совпадающей с собственно неподвижной точкой х* =,/а. Однако можно в качестве Г предложить и более хитрую функцию, с той же неподвижной точкой. Пусть Г(х) = -'[х + — ',]. Соотвегттву»гщая итерациониоя процедура здесь имеет вид, х»эг = -'[х„+ — „' ], и эти итерации сходятся к неподвижной точке для любого начального приближения хо Е (О, со).
< Г(х) = Г( )= -'[х+ ] й х гг=— х эг = —,[х + в" ы], р. 1 Действительно в первом случае Г(х ) = — -г-, те чтобы Г(х ) < 1 необходимо чтобы х,, > а, но тогда ]Г(х ег ) ] = г ]-гя — ] = -Ех = -~ > 1. Таким образом отображение Г(х) = '-„' сжатием не является. эг Для Г(х) = »[х + — "], где неподвижная точка та же самая, ситуация другая. Здесь, хотя формально производная может быть довольно большой (при малых х), однако уже на следующем шаге оиа будет меньпге 1.
Убедимся в этом: Г'(х.„) =- 1— 1('+-.".)'- г: 1'+ [.-".]',1 2 (1 + гг)г 2 (1 + »г )г 2 г(1++) т.е. такой итерационный процесс всегда сводится. 5.1.2 Метод Ньютона Метпод Ньюшона или касашельных заключается в том, что если хг некоторое приближение к корню х ура»неки» г(х) = О, у Е С, то следующее приближение определяется как корень касательной к функции у(х), проведенной в г точке х,. Таким образом в уравнении гшсательной у'(х,) = -":-~~-"-'-~ необходимо положить у = О и х = х,~.г, то есть У'(хз) У'(х,) ' Поскольку метод Ньютона представляет собой метод простых итераций при Г(х) = х — 4~~-, то нетрудно убедиться, 1'(*) ' что при у' Е Сг существет окрестность корня в которой ]Г'] < 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
