Буслов, Яковлев - Введение в численный анализ (947494), страница 19
Текст из файла (страница 19)
=о Таким образом, необходимо решить уравнение: (.4 — Л„1)~«М,'~ = 04'~ — Ю)Ф~ (25) Обозначим А — Лзд = В . Это вырожденный оператор (поскольку имеет нулевое собственное значение: ВФ~ = О ). Пусть также (д„— с)) Ф« = д . Тогда задача сводится к уравнению РО Вз О' =д. В соответствии с альтернативами Фредгольма«зта задача имеет единственное решение, если функция д ортогональна ядру сопряженного оператора, то есть решениям задачи В д = О . Не вдаваясь в доказательства поясним этот результат следующим образом.
Представим д в виде суммы двух функций, одна из которых принадлежит ядру сопряженного оператора, а другая ортогональному дополнению: д = е'+е, е' ~ е~, В с' = О . Тогда ЦдЦе = (В«Р~~Ю,д) = (З«~ ~, В" (о + е')> = (ВЗ«~~ ~,се) = ( + е,о ) = (е,ез), то есть норма не зависит от проекции д на ядро сопряженного оператора, низ «е говоря этой проекции просто нет.
В нашей ситушскн В = А — Ль« — самосопряженный оператор. Таким образом условие разрешимости (25) принимает вид (Л„ц — Я)Фь ~. Фз или ((Л« — Я>ФыФз) = О, откуда д~~ ~ = («сФь, Фз) . Таким образом поправки к собственным значениям определены. Поправки к собственным функциям определяем из того же уравнения (25) (А — Ле)йэ~„' = (д~~ « — Я)Ф То есть формально Ф«ОО Фь В ( ~)( ««Сз)Фз ~ ~~ (Ф (Рь Ю)Ф ) Ф« =1 Но Вх(А) при Л = Ль не является ограниченным оператором. С другой стороны ((д « — Я)Фы Фь) = О, поэтому (1) суммирование можно вести по г ~ Й .
Продолжая равенство получаем С- (Ф*,04Π— Я)Ф'),, С- (Ф',()Ф") Ф; где Л„О и «««з некоторые неизвестные числа и функции, соответственно. Ограничимся первым порядком теории возмущений. Подставляя в (22) выражения (23), (24) и учитывая само уравнение АФ~ = ЛьФ~, с точностью до членов Здесь мы воспользовались тем, что собственные функции ортогоиальны, Итак, в первом порядке теории возмущений дь = Ль + (ОФь, Фж) Литература [1) Н.Н. Калиткии О Численные методы,е,' Москва, Наука, 1978. [2] Н.С.Бахвалов, Н.П.дКидков, Г.М.Кобельков О Численные методы О М., Наука, 1987. [3) Дж. Форсайт, М.Малькольм, К.Мвулер Д Машинные метода математических вычислений О Москва, Мир, 1980. [4[ С.Б. Стечкин, Ю.Н.
Субботин О Сплайны в зычно.штельной математике О Москва, Наука, 1976. [5) А.Н.Колмогоров, С.Н.Фомин О Элементы теории функций и функционального анализа О М., Наука, 1972. [б) Д.К. Фаддеев// Лекции по алгебре// М., Наука, 1984. [7] Г.Е.Шилов О Математический аивлнз (функции одного переменного.
Часть 3) О М., Наука, 1970. [8] ЛД.Ландау, Е.М.Лифшиц О Квантовая механика (нерелятивистская теория) О М., Наука, 1989. [9] А.Н. Тихонов, А.А.С морской О Уравнения математической физики О М., Наука, 1972. [10] Г.Кори, Т.Кори О Справочник по математике,',' М., Наука. 1984. [11] Д.Мак-Кракен, УДорн О Численные методы и программирование на ФОРТРАНе О М., Мир, 1977.
[12] В.ВВершииин, Ю.С.Завьллвв, ННПавлов О Экстремальные свойства сплайнов и задача сглаживания О Новосибирск, Наука, 1988. )13] А.Н.Гребеиниквв О Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений О Издательство МГУ, [14] З.Дулаи, Дж.Миллер, УШилдерс О Равномерные численные методы решения зада з с пограничным слоем О М., Мир, 1983, [15) В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов,~,~ Матрицы и вычисления О М., Наука, 1984. [10) С.Писсаиецки О Технология разреженных матриц О М., Мир, 1988. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
