Буслов, Яковлев - Введение в численный анализ (947494), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Именно, для уравнений вида и = у(х,и) (14) Подставим в (14) вместо второй производной разностную: функции в точке х, на вторую от у(х, и), которую в свою очередь заменим ревностной Д(хсвн ивы) + у(хс с, и,,) — 2у(хс, и,) у(х, и);— ->О Ь Тот факт, что точность такой формулы действительно имеет второй порядок, необходимо еще проверять. Здесь мы не будем останавливаться на этом (подробнее см. [2]). Имеем и' — ((хс,и,) = ивы+и, с — 2и, ь" <У(х,тс,и0ы)+г(х, ми, с) — 2у(хс,и,') Ьг то есть численная схема приобретает вид умы+ у -с — 2у 1 Ьг 12 = — [У(х,эму тс)+ у(хс ну, с) + 101(хс,у,)) В частности для уравнения (11) и0ы(1 — * ) — и,(2+Ь СЬ-)+и, с(1 — ' ) = аз с 5" г 5 д, сЬ 12 * '6 ' 12 =- — (Ь с+У,, +10У)+О(Ь ) .
12 Отбрасывая остаточный унген в добавляя граничные условия в точках хе и ха получаем сеточный метод с погрешностью 0(Ь~) (напомннм, что в обычном методе сеток было: +Ьг )+ Ьг+О(Ь4) ) 8.4 Задача Штурма-Лиувилля Задачу на собственные значения рассмотрим на примере следующего дифференциального уравнения 2-го порядка: < — ив + д(х)и = Ли, и(а) = О, и(Ь) = О.
(16) Вопрос. Почему граничные условия однородные (нулевые)2 В задаче появилась новая степень свободы — Л. Важные свойства задачи (16) таковы, что решение дифференциального уравнения сушествуег и удовлетворяет граничным условиям лишь прн некоторых значениях Л, называемых собственными значениями. Соответствующие этим Л решения их(х) называются собственными функциями. Спектр собственных значений может быть дискретным (в рассматриваемом случае спектр дискретен, если и а и Ь конечны), непрерывным, также Л может одновременно принадлежать дискретному и непрерывному спектру. В задаче (16) требуется определить как возможные значения Л так и собственные функции ис(х) Сушествуег 2 основных метода решения задачи (16), О=ни(х) У( ) = "'+" '"* +"' " (( ) "'* О(Ь') (15) Ьг 12 Непосредственно нз уравнения (14) следует, что ийб = Гв(х, и).
Заменим в (15) четвертую производную от неизвестной 8.4.1 Метод стрельбы В силу однородности зада ш (16) если и(х) является решением, то ио(х) = сопеС и(х) - тоже решение, поэтому можно задать произвольно значение и'(х) в точке а (обычно выбирают и'(а) = 1), а затем перейти к стрельбе, то есть рассмотреть задачу Коши. — и' +д(х)и = Ли и(а) = 0 и'(а) = 1 и находить ее решение и(х.
Л) и подобрать Л так, чтобы и(Ь,Л) =О. (17) При этом мы одновременно находим и собственное значение Л и соответствуюшую собственную функцию и(х, Л). Репоается уравнение (17) любым из методов нахождения корня алгебраического уравнения. Например, варьируя пристрелочный параметр можно добиться вилки и(Ь, Л;)и(Ь, Лсы) < 0 и затем использовать метод деления пополам, Метод стрельбы удобно применять в ситуации, когда априори из физической постановки задачи известны естественные пристрелочные параметры. 8.4.2 Метод сеток Разобьем промежуток на Х частей введя сетку а = хо < хо « .
хм = Ь, и также как в случае краевых задач, заменим в (16) производные разностными, При этом задача принимает вид у. 1 — (2 + 6~у )у. + у т1 = Лйоу до=О, ул =О. Таким образом исходная задача свелась к задаче на собственные значения для трехдиагонзльной матрицы А размера (Х вЂ” 1) х (Х вЂ” 1): Ау = Лу, ам =2+Ь а, А: 1=1,2,...,Х вЂ” 1. а, ы=а;,э1= — 1 Собственные числа матрицы А являются приближениями к первым собственным значениям исходной задачи.
8.5 Разностный оператор второй производной 8,5.1 Оператор второй производной Произведем сначала, спектральный анализ собственно оператора второй производной на отрезке (а,Ь) с нулевыми граничными условиями, т.е. определим его собственные функции и собственные числа. —.„" Ф=ЛФ, Ф(а) = Ф(Ь) = О. (16) Очевидно, что функции Фх(х) = ех'"хо, или их комбинации е1п ~/Лх, соз ъуЛх удовлетворяют уравнению.
Пусть а = 0 для упрошения записи. Поскольку Ф(О) = О, то нас устраивает только функции вида зш ~/Лх . Из второго граничного условия Ф(Ь) = 0 саелуец что ~/ЛЬ = кп, таким образом спектр задачи дискретный и бесконечный. Собственные функции Ф и собственные числа Л„имеют вид кп пзк 3 2 Ф (х) = шп — х, Ль = Ь ' Ьэ (10) 8.5.2 Разностный оператор Рассмотрим теперь соответствующую разностную задачу. Разобьем промежуток на ()9+ 1) часть с равномерным шагом Ь: а = хо < х1 «... хлз.~ = Ь .
Задача на спектр разностного оператора принимает вид < - '" =М, =~~....,м, Го=Гид =О, (20) или, обозначив йЛй = д, — Г, 1+2Г,— Гцы =дГ,, 1=1,...,Ж, Ро = Глэз = О. Эта задача представляет собой задачу на спектр трекдиагональной матрицы Л"-го порядка 2 — 1 О ... 0 — 1 2 — 1 0 АГ = др 0 — 1 2 — 1 Го=Гл.н =0 с Ж-компонентными собственными векторами Г = (Гп Гэ..., Ги) Т Для решения этой задачи вспомним сначала (см. Главу "Численное дифференцирование), что е 'з.
Г(х) = Г(хе 0), то есть ет" зтГ, = Рх1, таким образом систему можно переписать в виде < [е ~ зт + 2 — е" и )Г, = д, Г„ Г, =Г .„=О. Применяя операторы сдвига ко всем компонентам вектора Г, получаем следующую переформулировку Е [е "й + 2 — е" а. [Г = дГ, Го = Глы = О. Некоторое неудобство такой формы записи состоит в том, что — не является самосопряженным оператором, но з Эв таковым является оператор —,.
з, (правда рассматриваемый на всеи оси): 1 з — — 1,9) = — / у (х)9(х)с(х = / у(х) — — 9(х) Их = (,у, — — 9) (а ) =-;~ =~ ),-; —.,) =( —;а собственными и для функции от оператора Д(А), а собственные значения оператора. 1(А) это числа у(р) ), где р — собственные числа А: А1э = ~~ Л,(у, Г01)Г® Ц(А)ГОО = у(Л,) Г ю . у(А)~р = 2 у(Л,)(~р,Г01)Г® Собственные функции оператора Р это экспоненты е"': —,' — „"„е"' = ре"", спектр сплошной и заполняет всю вещественную осек р Е Гс' . Но собственные функции произвольного самосопряженного оператора А являются Подействуем иа собственную функцию Р = е'г* оператора дифференцирования 1г фунющей 1(Р) = [ — е™о — е *~~ +2] ог этого операгора: [ — е' — е ' ~ + 2]Р = [ — е'г — е '" + 2]Р = 2[1 — соя рЬ]Р .
В силу симметрии 1(11) очевидно что 1(р) = 1( — р), ллоэгому собственная функция е '"* отвечаег тому же собственныму числу 2[1 — соз(рЬ)], что и епи (равно как и любая их линейная комбинация). В нашей задаче необходимо удовлетворить граничным условиям Р(0) = Р(а) = 0 . Из первого граничного условия Ро = 0 следует, что компоненты р„= „,, = — ", и = 1, 2,..., Х . То есть в задаче (20) собственные векторы имеют вид Р: Р, =з!и — хг, хг =Ьу Ь Заметим, что значение истинной собственной функцтпл ф оператора, двойного дифференцирования в любой точке х, совпадает с у-компонентой и-го собственного вектора разностного оператора: ф" (хг) = Р," .
Посмотрим теперь насколько отличаются собственные значения Л„оператора двойного дифференцирования и собст- венные числа Л„= Яьг разностного оператора (19): д 2 2 яп Л„= — = — [1 — сокр„Ь] = —,[1 — соз — Ь] = Ьг Ьг Ьг Ь г г г г = —, [1 — +, Ьг + 0(Ь')] =, + 0(Ь') = Л + 0(Ь') 8.5.3 Резольвента Определение.
Пусть А линейный оператор, функция от оператора Вх(А) = (А — Л) ' называется реэольееншоб оператора А . Резольвента Вх(А) определена,как легковидеть,не при всех Л, а лишь вне спектра. Пусть А самосопряженный оператор с дискретным спектром, Ль его собственные чисгла, у" соогглетствующие собственные функции. Выпиплем спектральное разложение А: А=~~л ЛьРг =~~~ Л ( зг )лг, ]]гг ]] =1.
Поскольку функция от оператора записывается как У(Л) = ~~' У(Ль)( у"М" то резольвента в спектральном представлении оператора А имеет вид Вх(А) = ~~ Ль — Л (21) Подставляя в (21) вместо у" нормированные на единицу собственные функции оператора либо второй производной гьг либо собственные векторы разностного оператора, а вместо Лл соответствующие собственные значения — з — оператора двойного дифференцирования или собственные числа -„з(1 — соз 'ль Ь) разностного, мы получим, соответственно, резольвенту оператора второй производной или разностной второй производной. собственного вектора отвечающего собственному числу р имеют вид Р," = зшрх,, где х, = Ьу .
Второе граничное условие Рлэл = О позволяет определить сами собственные числа: зшрЬ(%+1) = О, откуда рЬ(Х+ Ц = хп, или ь Пусть ро = [ зш ( — ')дх тогда нормированные собственные функции оператора двойного дифференцирования г г о имеют вид Р'"Ь = — ' эга — х . В случае разностного оператора положив М г х-~ . ггГп р =~ эш — х Ь г=! получаем нормированные собственные векторы Р" с компонентами 1 , яп 1 , кп Х'," = — гйп — х, = — гйп — Ь!' Получим матричные элементы резольвенты разностного оператора. В базисе из собственных векторов разностного оператора, резольвента, очевидно, представляется диагональной матрнцей.
Пусть е', ег,..., е некоторый ортонормированный базис в Рс~ и ч произвольный вектор. Разложим ч и собственные векторы Р по этому базису М л и и ч = ~ ~(ч,е!)е! = ~~» о,еь, Ро = ~~ (Ро,е!)е! = ~~» г',рег . Действие резольвенты на ч имеет ввд Вх(А)ч = ~~ Й-ая компонента вектора Вх(А)ч есть л и ~в!Ь7 л и [Вь(А)в[ь = 2 !=' Р!' = ~ ~~ ' ! г! ь=! *=! !=! то есть матричные элементы оператора Вь(А) имеют вид: й (1) ~~-» Р7~'ь ь=! Верхний индекс у Р нумерует собственные функции, нижний индекс — их компоненты. 8.5.4 Теория возмущений Спектр оператора двойного дифференцирования и спектр соответствующего разностного оператора нам известен. Рассмотрим соответствующие возмущенные задачи: Здесь е — малый параметр, д — потенциал. Изложим суть метода теории возмущений [8[ для случая оператора с дискретным спектром.
Пусть А и Я вЂ” два сомосопряженных оператора, причем собственные функции и собственные значения А известны: АФ = ЛьФ Требуется провести приближенно спектральный анализ возмущенного оператора А-Эсад, то есть найти решения задачи [А + еЯ] у»~ = до у»~ (22) Будем предполагать, что спектр А невырожден. Разложим собственные значения и собственные функции возмущен- ного оператора по степеням малого параметра .: Š— аз з Ф + ед(х)Ф = ЛФ, Ф(О) = Ф(Ь) = О, и ~ ч!~7 (ч,в")в! х !=! л,— л ~-~ л;-л дз = Лз + ед~~ ~+ с"д~~ « -ь... (23) З =Фь+кЗ, +- Зь +". ь ОО .з ОО первого порядка по е получаем (А + Я вЂ” Лз — зць >(Ф + гу«„О) = О или ««-«г«г, г$«« — «,««," + (О-„,"«ь$ -«.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
