Буслов, Яковлев - Введение в численный анализ (947494), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Дело здесь в том. что в этом случае мы не теряем точность в процессе ортогонзлизапни. Заметим, что из точки г необходимо спуститься лишь вдоль нового направления г — г, поскольку по другим сопряженным направлениям спуск уже произведен. з Из полученной при этом точки г производится спуск по оставшимся М вЂ” т — 1 векторам стандартного базиса и тд. Таким образом если бы ие ошибки округления, то для квадратичной функции, произведя Х вЂ” 1 циклов мы бы в точности попали в минимум.
Однако именно из-за ошибок округления этого не произойдет и процедуру необходимо повторить некоторое количество раз. Замечание. Хотя понятие сопряженных направлений было введено только для квадратичной функции, сам описанный процесс можно применять к произвольной функции Ф(г), поскольку сама процедура основана лишь на поиске минимума вдоль того или иного направления. 81 Глава 8 Дифференциальные уравнения 8.1 Общие сведения Уравнение Е(х, и, и~,..., иС"~) = 0 называется обыкновенным дифференциальным уравнением и-ео порядка, ешш Е определена и непрерывна в некоторой Об:ИСтн С б В."т~ (и > 1) И, ВО ВеяКОМ СЛуЧаЕ, ЗаВИСИт От иС"1.
ЕГО РЕШЕНИЕМ яВЛяЕтея ЛЮбая фуНКцИя и(Х), КОтОрая этому уравнению удовлетворяет при всех х в определенном конечном или бесконечном интервале. Дифференциальное уравнение, ркзрешенное относительно старшей производной имеет вид иб» = 1(х,и,...,иСн ~) Решением этого уравнения на интервале 1 = [а, б[ называется функция и(х), такая что 1) и(х) б С" [а,б[, 2) (х,и(т),...,иу»(х)) б 11(1) сух б 1, 3) иС ~(х) = 1(х, и(х),...,и ~(х)) Чх б 1 . 8.1.1 Задача Коши Задачей Коши (на .юльной задачей) для уравнения (1) называется задача нахождения такого решения уравнения (1), которое удовлетворяет начальным условиям и(хо) = ио, и (хо) = ио ,и (хо) = ио Ся-» С вЂ” с) где и„' — некоторые заданные числа.
Справедлива с» Теорема Пеано. Если ф - непрерывна в 11 тоеда для любой точки хо,ио,...,ио принадлеоюащей области с — » .0 суиеествует решение уравнения (1), определенное в некогпорой окрестности точки хо б 1 и удовлетворяющее условияю 3). Замечание. Теорема Пеано не гарантирует единственности. Теорема Коши-Пикара. Если ф непрерывна в В и удовлетворяет условию Липсаица по переменным и, и',..., иС" то есть ~у(х;цс,рз ...,д~ ) — з (х; мын2, ..,, и~)~ < Е ~ ~~~в — иь) ь=1 то длл любой точки (хе, ио,..., и~, "11) Е Р существует единственное решение (1), удовлетворяющее у), определенное в некоторой окрестности тачки хо Е Г.
Любое уравнение типа (1) можно свести к равносильной ему сис геме 4и, — =у,(х;ио,иш..,и 1), 1=0,1,,....и — 1 дх дифференциальных уравнений первого порядка путем замены высших производных неизвестными функциями (и;(х) = иб~(х)). Теорему Коши-Пикара несложно доказать воспользовавшись теоремой о неподвижной точке сжимающего отображения <б).
Действительно, уравнение первого порядка < и =г(х,и,) и(хо) = ио эквивалентно интегральному уравнению и(х) = ив+ / З"(йи(1))а1 . По условию у непрерывна и, следовательно, ~у'(х, и) ~ < М в некоторой области И С Р, содержащей точку (хо, ио). Выберем 6 > О так, чтобы: Ц (х,и) е Р', если ~х — хо~ < 6 и <а — ио', < 6М; 2) 6Х < 1, где Ь вЂ” константа, фигурирующая в условии Лнпшица.
Пусть С вЂ” пространство всех непрерывных функций и, определенных при ~х — хо~ < 6 и таких, что )и(х) — ие~ < 6М с естественной для непрерывных функций метрикой р(им из) = шах ~и1(х) — из(х)(. Как замкнутое подпространство полного пространства С~„, в „,ой, пространство С' является пачным. Убедимся, что отображение у = Аи, определяемое формулой у(х) = ив + / У(1,и(1))аг, во является сжатием в С'. Действительно, пусть и е С' н ~х — хо~ < 6, тогда /у(х) — ио~ = / У(йи(1)аг < 6М е и, следовательно А переводит С' в себя. Далее, ~у1(х) — уз~ < / )Щ и1(З) — з(й из(1))дс < ьдуи~ — изОс', *о и поскольку 6Е < 1, то А — сжатие и, следовательно, в С' существует единственное решение уравнения и = Аи.
Анало- гично доказывается однозначная разрешимость задачи Коши для системы уравнений первого порядка, а, следовательно, и для задачи Коши произвольного порядка. 8.1.2 Краевая задача Сформулируем краевую задачу только для уравнений второго порядка, являющуюся одной из самых существенных.
Такая задача имеет вид: и = Д(х, и, и~), х Е [а, Ь], п1и(а) + Да'(а) = 11 оои(Ь) +,уои~(Ь) = а где в краевых условиях считается, что [ов[ + [8,.[ ~ О, 1 = 1,2. В отличие от задачи Коши здесь значительно сложнее исследуется вопрос о существовании решения. Очень важный и наиболее часто встречающийся случай: линейное дифференциальное уравнение второго порядка и + р(х)и + д(х)и = Г(х), краевую задачу для которого мы и будем рассматривать в дальнейшем. 8.1.3 Задача Штурма-Лиувилля Задача Штурма-Лиувилля или задача на собственные функции н собственные значения является одновременно и краевои задачей (с однородными краевыми условиями) н обычно записывается в так называемом самосопряженнои виде.
— — '[к(х) — ~ + [д(х) — Лг(х)]и(х) = О, д Г Ни1 4х " дх" а~и(а) + Ди (а) = О, ази(Ь) + ~Зги (Ь) = О . Здесь требуется найти те Л при которых задача разрешима (собственные значения) и соответствующие им решения их(х) [ собственные функции, определяемые с точностью до постоянного множителя. 8.1г4 'Что понимается под численным решением Точные (аналитические) методы решения — такие методы, когда решение хщфференгщаошвого уравнения можно получить в виде элементарных функций или квадратур от нвх, что, естественно, возможно не всегда. Численные методы [ методы нахождения решений не на всем промежутке изменения независимой переменной, а лишь в дискретном наборе точек хо,хм...,хл Е [а, Ь], Здесь, правда, следует отметить, что можно искать решение в виде разложения в ряд по некоторой полной системе функций (скажем, в ряд Фурье) и обрезать его на некотором члене.
Однако, вопрос о том, какую систему функций использовать и какое количество членов разложения использовать, является одновременно н численным и аналитическим. Численные методы применимы к очень широкому классу дифференциальных уравнений. В соответствии с двумя типами задач для дифференциальных уравнений, численные методы тоже делятся на два класса: Численные методы решения задачи Коши и численные методы решения краевой задачи и задачи Штурма-Лиувилля. 8.2 Задача Коши Рассмотрим зада эу Коши для уравнения первого порядка на отрезке [а, Ь] и' = 1"(х, и), и(а) = ио (2) Разобьем промежуток [а, Ь] на Х частей а = хо < хм «..., хм. Обозначим и(х,) = щ, где и(х) точное решение задачи Коши и через ГЬ значения приближенного решения в точках х, . Существует два типа, численных схем: 1.
явные: ГЬ = г'(р, му, оэы...,р, ~) (а); 2. неявные: у, = г'(у, ыу*-ь.н, У ) (б) 85 Здесь Р некоторая функция, связывающая приближения. В явных схемах приближенное значение у, в точке х; определяется через некоторое число Ь уже определенных приближенных значений. В неявных схемах у; определяется не рекурентным образом как в явных схемах, а ддя его определения возникает уравнение, поскольку равенство (б) представляет из себя именно уравнение на у,. Явные схемы проще, однако зачастую неявные схемы предпочтительнее. 8.2.1 Получение явных схем Обширный класс явных слева для решения зада ~и Коши получается с помощью разложения в ряд Тейлора. Выпишеьс его для функции и(х) и(х + Ь) = и(х) + Ьи (х) + — и '(х) +...
+ — ищ~ (х) + .. 2 п) если и(х) — Решение задачи (Ц и(х) = У(хоп), и следовательно и" (х) = — „" )(хи)~, = Д(хи и)+У(х,, и)У" (х,, и) . Поступая далее ~аким же образом можно выразить все производные иуй через производные известной функции у(х, и): Ьо изд = и, + Ь|(хо и ) + — ~~„'(хо и) + ~(хи и)~„'(хо и)] +... 2 (3) 8.2.2 Схема Эйлера [метод ломаных) Оставляя в (3) только члены первого порядка по Ь, получаем приближенное равенство: щ~.1 и, + ЬДхо и,) . Заменяя в нем точные значения и, = и(х;) на приближения у;, получаем приближенную схему: б 1 уо = уо 1=0,1,, У. Уов =У -ОМ(хбУ') Указанная процедура и является методом Эйлера и имеет первый порядок сходимости по Ь, если у(х, и) ограничена и ограничены ее первые производные по обоим аргументам. Убедимся в этом. Пусть с = шах(~ Д, ~Д ~, ~Д ~) .
Обозначим разность между истинным решением и, в точке х, и найденным по методу Эйлера приближением у, через тогда оз и = о, + Ь [у(хы и~ ) — з (хы уз )] + — и (хз) + 0(Ь ) 1 з уоц*, Фрю где у, некоторая точка между и, и у~ . Заметим, что поскольку уо = ио, то оа = 0 . Тогда о1 = —,'Ьзио + 0(Ьо), и далее оо = о1(1+ ЬХ,(хи и~)) + — Ь и, + (Ь ) = 2 = — Ь [и~'+ио ~1+Ь~ь(хпи~)]) +О(Ь ) . с,т1 = — Ь ~ ио Ц [1+ ЬУ'„'(х„и,)]+ 0(Ь ) = о=о *=и-1 86 Обрывая (3) на том илн ином члене, получаем различные явные схемы для вычисления приближенного решения с определенной степенью точности по Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
