Буслов, Яковлев - Введение в численный анализ (947494), страница 6
Текст из файла (страница 6)
1+ -'з (1/1гг' = г = /(з) г-0(г ) +йз Домножим равенство (6) на полипом Я. ц,з* ~с,з* = ~ р;з'+О(з '~ э ) . (7) Заметим, что коэффициенты при степенях в~+', гь+г,, з~+~ равны нулю. Сосчитаем коэффициенты при этих степенях, положив с = О при у < О. сьггцо+сьцг+ +сь-мггцм-г+сь-мггцм =О, „ьэг сьэгцо + сь» цг + + сь — иэзцм-г + сь — мь цм = О, „ьэг (8) сьэмцо +сь.гм-гцг + +сьз.гцм-г + сьцм = О Поскольку цо мы положили равным 1, то имеем М уравнений на М неизвестных коэффициентов ц„которые удобно записать в матричной форме: сь-мег сь-маг сь — мьз сь — м-гг сь-г сьег сьег сььм-г сьэм-г сььг сь цм сьелг Если определитель матрицы, фигурирующей в этой линейной системе, не обращается в нуль, то из нее можно определить коэффициенты ц, .
Найдя их и приравнивал в (7) коэффициенты при 1,",вг,,зь, находим и коэффициенты полинома Р; ро =со, рг = сг +цгсо, рг = сг т'- цз сг + цгсо, ь~с,м) р = -~ ~ цс з=г Последние две системы уравнений называются уравнениями Паде. Замечание 1. Если указанная система разрешима, то тейлоровское разложение / совпадает с (ь/М) у с точностью до О(за+и+'). Замечание 3.
Отрезок ряда Тейлора хороню аппроксимирует функцию лишь в окрестности точки разложения, тогда как аппроксимация Паде зачастую хорошо приближает функцию в значительно более широкой области, Пример. Пусть 27 Замечание 2. Коэффициенты с, могут быть такими, что степенной ряд (4) везде расходится (радиус сходимости равен нулю) и является формальным. Однако при этом, скажем, диагональные (ь = М) аппроксимации Паде могут сходится при М -г сю к некоторой функции Р . На этом основывается идея о том, что можно с помощью аппроксимаций Паде построить аналог аналитического продолжения.
То есть, функция / может быгь задана в некоторой области, а ее апприксимации Паде при этом сходятся в более широкой области. ), +1 1+2я Отрезок ряда Тейлора функции у' нз трех членов представляет собой параболу и на вещественной оси прн з = т -э оо стремится к бесконечности, тогда, как сама функция у(з) остается при этом ограниченной. [1/1]-аппроксимация Паде имеет погрешность нигде не превышакнпую 8 процентов (в том числе и на бесконечности). 2.2.2 Детерминантное Представление нолиномов Паде заметим, что система (8) для определения величин 9, позволяет предъявить некоторый многочлен з™~г(з), коэффициенты которого этой системе удовлетворяют: сь — иэз сь — зьы сь — итз сь — мэз сьэз сьэз умгь|г~ ) сьэм сьэм — з ' ' ' сьэз сь „м-1 Определим теперь соответствующий многочлен Рпьгм1 из соотношения д~ьгм|г(з) ~~> с.
' — Р~ь~м1г~з) О1зьэзгэ1) =о (9) Имеем сь-мэз сь м.н сьэз сы-з сьэз сь-мэз сь — лх аз ф у 1г(з) ~ ~с,зз = сьэз сь сзз' +* ' 2 'сгг =с =о сьэм — г сз' 2 сз сны Домножим первую строку на з~+' и вычтем ее из последней строки. Вторую строку домножим на яьтз и также вычтем из последней строки и т.д. М-ую строку домножим на зь+м и вычтем из последней строки. В результате в каждой сумме в последней строке будут отсутствовать члены со степенями з равными Ы- 1,Ы- 2,,1 + М. Если теперь выделить из последнего определителя все члены до степени з включительно, то он представляется в виде сь-мез сь — мез сь мзз сь мзз сьэз сьэз сьэз сьэм ь з О(гмэьэз) Р~ьгзеь~з) + О~ мэьэг) Итак доказано представление (9). Иначе говоря доказана Теорема. Для любого ряда 2 ', с;з' существуют пзакиг ивлиномы Р и ьг степеней нв выше Ь и М соответственно, 1=0 что О(г) ~~ с,з — РЯ = 0(г + ) .
.=о (10) 28 сьэм-з ь-1 2,' сгзз+ =о сьэз ь — мэз мэ — з .=о сь ь-м сз +з =о сь СЬ вЂ” 1 ' ' ' СЬ вЂ” Мз-2 СЬ вЂ” МЭ1 СЬ.!.1 СЬ ' ' ' СЬ вЂ” 21.!.2 СЬ вЂ” 21Е2 Я~ 7 1(О) = СЬ.!.М вЂ” 1 С1,.!.М вЂ” 2 ' ' ' СЬЕ1 сь называется определителем Ханкеля. Отметим, что из наа1их рассуждений следует справедливость следующей теоремы. Теорема. Если 1Пь1~1(0) ~ О, то существуют единственные (с точностью до мносдсителл/ много лены Р(2) и 0(2) спаепеней не выше Е и М сооп1ведпственно, 1пакие что С Р вЂ” Р(г) 0(гм ) !=о Пример (недостатки наивного подхода). Построим [1/1[-аппроксимацию для /(г) = 1+ г". Требуется добиться ра- венства Ро+Р! 1 ( 2) Яо+ Я! откуда ро -~ р!г = оо -~ о12 -~- оог -~ 0(22) и чо =Ро, Р1 = 01 то есть [1/1[ = 1 и поставленная задача решений не имеет. Обратимся теперь к детерминантным формулам.
1 0 Я Сг С1 1 С2 С1 1 0 со+ сгг со 1 рИ!) Убедимся, что равенство (7), тем не менее, имеет место: 2(1 + 2 ) — х = гг = 0(22) . Дадим теперь строгое определение аппроксимаций Паде. Определение. Пусть Р и С) полиномы степеней не выше Ь и М соответственно, Я(0) р 0 и — — /(г) = 0(2™1), 6 тогда отношение Р/Я называется [Е/М]-аппроксимацией Паде. Отметим некоторые легко проверяемые свойства аппроксимаций Паде. Теорема.
Лусть у = / ' и /(0) Р О, пюгда [М/.Цд — — [Л/М[1, при условии, что хотя бы одна иэ этих аппроксидааций сущесдпвует. Заметим, что при доказательстве возможности предсгнвлення (7) мы нигде не пользовались тем вырождена или не вырождена мад рипа составленная из коэффициентов сь Определение. Определитель Доказательство. Пусть, скажем, существует аппроксимация [Ь/М]5, тогда [Ь/М]5(-) = -~" Я и Рь(0) ~ О, поскольку [Ь/М]5(0) = /(0) ~ 0 и, следовательно что и требовалось доказать. Теорема (инвариантность диагональных аппроксимаций при дробно-линейных преобразованиях сохраняющих на- чало координат). Пусть ю = тм.
Положим д(ю) = /(г), тогда [М/М]з(ю) = [М/М]5(г) при условии, что хотя бм одна из зтит аппроксимаций существует. Доказательство. Пусть существует аппроксимация [М/М]г(ю) = = д(ю) + 0(г~~+~) . Ьв ю" Введем полиномы Ам и Вм по г степени не выше М: м м А(г) = (1+ Ьг) ~~ аь ( ), В(г) = (1+Ьг)' ~ Ьь ( ) тогда 4м(г) /( ) 0( гмь5) Вм(х) поскольку 0 переходит в О. Теорема(инвариантность диагональных аппроксимаций относительно дробно-линейных функций).
Пусть д(г) ",+д55~~,"~~ и с+ 4(0) ~ О, тогда а+ Ь[М/М]5 с+д[М/М]5 ' если [М/М]5 существует. Доказательство. а+Ь[М/М]5(г) Рм(г) с ~- д[М/М]5(г) Юм(г) ' где Рм и сдм полиномы степени не выше М, причем сдм(0) ~ О. Следовательно, Р (г) (Ь ад) [[М/М] 5 (г) /(г) ) 0 Ям(г) [с+ д[М/М]5(г))(с+ д/(г)) 2.2.3 Аппроксимации Паде в бесконечно удаленной точке Пусть в=о — формальный ряд по обратным степеням ". Поставим следующую задачу.
Пусть й5 — натуральное. Требуется найти многочлен сгн ~ О, е)еф)55 < Х, такой что Сгн( )/(г) — Рч(г) = нь, +,. где Рн (г) — полиномиальная часть ряда Сдн(г)/(г). Решение этой задачи существует и бекРл < Х. Если пара (Рн, сел) не единственна (не только с точностью до множителя), то тем не менее отношение Рн/0н определяет одну и ту же рациональную функцию для любой пары Паде.
Действительно, пусть 30 л Ол(г)/(г) — Рл(г) =,, + .-, Юл(г)/(г) — Рл(л) = ... + тогда домвожив первое равенство на С/л(г), а второе на С/л(г) и вычтя второе из первого, получим Вл(г)Рлл(з) — б/л(г)Рл(к) = — + откуда Ол(г)Рл(х) — б/",„-(х)Р,'д(х) = О. Отношение ял (з) = Ял/Рл называется гУ-ой диагональной аппроксимацией Паде ряда /.
Ясно, что тл (/(1/л), з) = л (У(я), 1/г). Если для любой гУ-ой пары Паде с1екОл = гУ, то индекс Н называют нормальным (для ряда /). Множество нормальных индексов обозначим Л(/). Установим детерминантный критерий нормальности. Пусть Но = 1 и /о /г .. /л г /~ /г ". /л Нл = .Ь вЂ” 1,Ь - /ел — г — определители Ханкеггя, построенные по ряду /(т). Утверждение.
гУ б Л еэ Нл ~ О. Доказательство. Ицлекс гУ = О всегда нормален (Нл = 1). При гУ > О запишем в явном виде систему линейных уравнений для определенна коэффициентов оь многочлена Ял . Пусть с/л(г) = 2,' оэг, тогда условия равенства э э=о нулю коэффициентов при степенях (1/г)", и = 1,2,..., гУ принимают вид /е2о -Э /гОг -Э...
+ /лОл = О . /пуе+/гОг+ +/л-нОл =О, (12) /и — цуо + /л2г + . + /гл — г Ол = О . Если Н ~ Л, то существует ненулевое решение выписанной системы с ол = О и, следовательно, Н; = О, Пусть теперь Х б Л . "Хогда по определению нормального ицдекса система (12) с ол = О имеет лишь тривиальное решение, поэтому Нл ф О.
Отметим некоторые легко проверяемые свойства нормальных индексов. Если гУ б Л, то Н-ая пара Паде единственна (с точностью до умножения на отличное от нуля число), многочлены Рл и С/и при этом взаимно просты и с)еккл = Х. Следующее утверждение полностью описывает структуру последовательности диагональных аппроксимаций Паде — эта последовательность оказывается состоит только из аппроксимаций, отвечающих нормальным индексам. Утверждение. Пусть Ж б Л, у — целое, Х > Н и (Н,,7] О Л = 6 > тогда кг = кл. Доказательство. Запишем кг в виде несократимой дроби: кг = Р/О.. Пусть беккг = г . Поскольку о й Л > то г <.7. Покажем, что индекс г нормален. Пара (Р,О) ~ г-ая пара Паде и я, = кг (по построению), деля, = г, г б Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
