Буслов, Яковлев - Введение в численный анализ (947494), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Именно, справедлива Теорема (принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метри- ческвм пространстве имеет одну и только одну неподвижную точку. Доказательство. Пусть хе — произвольная точка метрического пространства. Определим последовательность х„= Ах ь Покажем, что она фундаментальная. Будем считать для определенности, что т > п, тогда р(х,х ) = р(А хо,А ха) < а"р(хо,х „) < < а" (р(ха,х«) + р(хм хе) +...
+ р(х их )) < п — в = а"р(хо,х~)(1+а-1-а +... +а ') = а р(хо,х~) < 1 < а"р(хо,х~) — э О 1 — а ~-«« Таким образом последовательность х„фундаментальная и, следовательно, в силу полноты пространства имеет предел. Обозначим его через х. Убедимся, что х является неподвижной точкой. Действительно, из непрерывности отображения Ах = А 1пп х = 1пп Ах = 1пп х э« = х Осталось удостовериться, что неподвижная точка является единственной. Пусть Ау = у, Ах =х, тогда из (2) р(х,у) = р(Ах,Ау) < ар(х,у), откуда р(х, у) = О, что в силу определения метрического пространства означает, что х = у.
В дальнейшем мы будем неоднократно пользоваться принпипом сжимающих отображений. Определим также понятие порядка схвдимвсти. Пусть последовательность х„сходится: 11ш х = х и 1пр(х яых) с(= 1пп -ьч !пр(х„, х) (3) Если существует конечный предел (3), то он и называется порядком сходимости. Выражение (3) можно записать и в другой форме. Именно: р(х вмх) 1пп рв(х., х) (4) где С некоторая отличная от 0 и не равная бесконечности константа. Из этого выражения видно, что чем выше порядок сходимости а, тем быстрее последовательность х сходится к пределу. Метрическое пространство является слишком общим понятием.
Как правило, об'ектьц с которыми приходится иметь дело, обладают свойствами не только метрического пространства, но и рядом дополнительных свойств. Напомним предварительно некоторые определения из абстрактной алгебры [10[. Определение. Класс С об'ектов (элементов) а, Ь, с, ... называется группой, если определена бинарная операция, которая каждой паре элементов а, Ь ставит в соответствие некоторый об'ект (результат операции) а Ь так, что: 1) а Ь является элементом класса (замкнутость относительно операции ); 2) а (Ь. с) = (а Ь) с (ассоциативность); 3) С содержит (левую) единицу е такую, что для любого а из С, в а = а; операции, обычно называемые сложением и умножением, такие, что: 1) Я есть абелева группа по сложению; 2) аЬ б В (замкнутость по отношению к умножению); 3) а(Ьс) = (аЬ)с (ассоциативность умножения); 4) а(Ь+ с) = аЬ + ас, (а + Ь)с = ос+ Ьс (дистрибутивиые законы).
Заметим, что а 0 = О а = О. Два элемента а ~ 0 и Ь ~ О, для которых аЬ = О, называются соответствеинолевмм и правим делитвлллзи иулл. Например. непрерывные функпии на конечном интервале образуют коммутативное кольцо, содержащее делители нуля. В кольце без делителей нуля из аЬ = 0 следует, что либо а = 0 либо Ь = 0 и действуют законы сокращения. Если кольцо В содержит и левую и правую единицы, то они единственны и совпадают, а В, называется кольцом с единицей Аналогично, если элемент обладает и левым и правым обратным, то онн также единственны и совпадают.
Определение. Уело  — кольцо с единицей, в котором для каждого ненулевого элемента существует мультиплика- тивиый обратный (т.е. В 1 (0) — группа по умножению). Коммутативное тело называется полем. 4) для любого элемента а й С в С существует (левый) обратный элемент а ' такой, что а ' а = е. Операцию, определяющую группу, называют (абстрактным) умквжвкивм н часто опускают при записи: аЬ = а Ь.
Группа кольиртативка или абслвва, если любые ее элементы перестановочны. Определяющую операцию в коммутативной группе часто называют (абстрактиым) слвжекиель обозначая ее +, а единичный элемент называют куль и обозначают О. Обратный элемент к а записывают как -а; при этом пишут а + ( — Ь) = а — Ь. Нетрудно убедиться, что каждая группа имеет единственную левую и правую единицы. и эти единицы равны, равно как каждый элемент имеет единственный левый и правый обратные и эти элементы равны.
Отсюда следуют законы сокращения (аЬ = ас ~ Ь = с; са = сЬ ~ Ь = с) и существование единственного решения х уравнения ах = Ь (или ха = Ь), т.е. однозначно определено "деление". Определение. Класс В об'ектов (элементов) а, Ь, с, ... называется кольцо,и, если определены 1-же две бинарные нормой, если Ц у'(х) =0<-.эх=О; 2) у(пх) = /и!~(х); 3) У(х+ р) < У(х) + 1(д). Линейное пространство, на котором задана некоторая норма, называется нормированным иросшравстеовь Норму элемента х принято обозначать 2х~). Всякая норма порождает в В и метрику р(х,р) = Р— и~1: то есть превращает нормированное пространство в метрическое.
Обратное неверно. Нормированное пространство, полное по метрике порожденной нормой, называется баиахоеь и пространством. Примеры нормированных пространств 1. Примером нормированного пространства может служить пространство функций ь" В, 1 < р < со: ь Х б 2~~ ~ еэ )Л~ = ( / (У(1))~с(1) < (б) 2. Пространство непрерывных функций С~, В с нормой 1~Л = !У(1)~ а<С<Ь (6) Пространство непрерывных функций полно по метрике, порожденной этой нормой. Еще более содержательным об'ектом являются евклидовы пространства — пространства со скалярным произведением.
В действительном линейном пространстве Ь скалярное произведение определяется как бинарная функция на ь (в дальнейшем обозначаемая (, )) со значениями в Н, удовлетворяющая следующим условиям: 10 Определение. Непустое множество 2 называется линейным и.ш векторным простпранстеом над полем Р, если оно удовлетворяет следующим условиям; 1.
Ь вЂ” группа по (векторному) сложению; 2. Для любого элемента а поля Р и любого х б 1 определен элемент ох б Ь,причем а) о(Зх) = (пб)х (ассопиативный закон для умножения на скаляр); б) 1 х = х; в) (а + )1)х = ах + Вх, а(х + р) = пх + ау (дистрибутивные законы). Если в качестве поля Р выступает иоле действительных чисел В. вли поле комплексных чисел С, то различают, соответственно, действительные (вещественные) и комплексные линейные пространства. Всякую функцию у заданную на линейном пространстве Ь со значениями в поле Р (у: Ь -э Р) мы будем называть функциоиаловь Функционал у называется линейным, если для любых х,р б Ь и и> б Р выполнено: 1) 1(х+ у) = 1(х) + у(у) (алднтивность); 2) у(ох) = оу(х) (однородность).
Функционал у называется непрерывным в точке х, если лля любой последовательности хь из х„-э х следует, что у(х ) -+,5(х). Нетрудно убедиться, что если линейный функционал непрерывен в одной точке х, то он непрерывен и во всем В. Действительно, пусть р -э у, тогда х + д — р -э х и из непрерывности функпионала в точке х следует, что У(х+ р„— р) э у(х), откуда по линейности функционала заключаем, что У(р„) э у(р). Обычно непрерывность линейного функционала проверяют в нуле ( то есть, если для любой последовательности х„-э 0 ~ у(х„) э О, то линейный функционал непрерывен).
Определение. Функционал у, заданный на линейном пространстве б со значениями в К, = [О,оо), называется 1) (х, у) = (у> х), 2) (ох-р,9у,х) = о(х~х)+Гу(у х)' 3) (х, х) > О, причем (х, х) = О вг х = О. Действительное линейное пространство с фиксированным в нем скалярным произведением называется действительным евклидовом пространством.
Скалярное произведение в комплексном линейном пространстве Ь вЂ” это бинарная функция (, ), определенная для любой пары элементов х, у Е Е, со значениями в С, удовлетворяющая следующим условиям: 1) (х,у) =(у, '); 2) (ах + бу, х) = о(х, е) + Д(у, х); 3) (х, х) > О, причем (х, х) = О ~-.ь х = О. Условия 2) и 3) совпадают для комплексных и действительных евклидовых пространств совпадают, различие лишь в условии 1). Наконец, евклидова пространство называется гилъбертовым, если оно сепарабельно (т.е, в нем сущестеуе"г счетный базис (напомним, множество называется счетным, если между иим н множеством натуральны чисел можно установить взаимно однозначное соответствие)) и полно по метрике, порожденной скалярным произведением.
Пространство йз является гильбертовым Я. 11 Глава 2 Аппроксимации функций Термин аппроксимация означает приближение. Функция у является аппроксимапией функции д, есчи она в том или ином смысле близка к д (скажем, по той нли иной норме). В ситуации, когда функция у ищется так, чтобы она совпадала д в конечном наборе точек, то ее, равно как и сам процесс пояска, называют интерполяцией. При этом, если интерес представляют приближенные значения функции д (т.е. значения функции )), находящиеся вне отрезка с заданным набором точек (это касается лишь вещественных функций, разумеется), то наряду с термином интерполяция употребляется также термин эхсгпраполлцил.
2.1 Интерполяция 2.1.1 Задача интерполяции Пусть задана таблица чисел (х„Я, ! = О, 1, ..., !сг; хо < хс « ... хл . Определение. Всякая функция у(х) такая, что у(х,) = у,; ! = О, 1, ..., Лс называется интерполируюсцей (интерпо лцией) для таблицы (х,, ); ) ~ о .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
