Буслов, Яковлев - Введение в численный анализ (947494), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Доказательство. Пусть Р (х) имеет Ь вещественных корней х, на отрезке (а,Ь) нечетной кратности. Положим 1, Ь= О Чй(х) = П(х — х,), Ь>0 1=! где корни х, Е (а,Ь) взятые без учета кратности, т.е. входят в произведение только один раз. Тогда произведение Р„(х)дй(х) не меняет знак на промежутке (а, Ь), и, следовательно, ь Р (х)Ой(х)р(х)г(х ~ О . Однако при к < п интеграл должен равняться О в силу ортогоиальпости Р„полииомам меньшей степени. Таким образом )с = п. Теорема. Если алгебраическая степень точносгии квадратурной фор.мулы с Е узлами хь равна 21 — 1, то узлы хь — суть корни ортогонального полинома Рь(х) . Доказательство.
Пусть Ль(х) = П(х — х,), где х, — узлы квалратуриой формулы и пусть ее алгебраическая =1 степень точности равна 21 — 1. Рассмотрим функцию 1(х) = Аь(х)Р (х), где т < Š— 1, являющуюся полииомом степени ие превосходящей 21 — 1. Для такой функции квадратуриая формула точна по условию, и, следовательно, ь ь 1(х)р(х)йх = ~ ~)(хь)Ль = О, ь=! а ь то есть ) ЛГь(х)Рь(х)йх = О и значит Ль л Р .. Таким образом ЛЬ, является ортогональным полииомом и в силу а единственности с точностью до множителя совпадает с Рь Пусть теперь корни х, ортогонального полииома Рь(х) являются узлами квадратуриой формулы. Покажем, что алгебраическая степень точности квадратурной формулы может равняться 21 — 1 .
Проюшроксимируем функцию 1(х) полвиомом у(х) степени Š— 1 по ее значениям в точках х,: 1. у(х) = ~ ~1(х,)С,(х), Га(х) = П !=1 гал ь ь Пусть 1 = ] 1(х)р(х)йх,,1 = / у(х)р(х)йх . Тогда 1 =,1, если г" — полипом стененн до Š— 1 включительно, поскольку в этом случае 1 = у, Но есгш у' ] по!швом степеии до 21 — 1, то разность поликанов 1 и у гакже полипом степени ие превосходящей 21 — 1, причем () — у) ],=, = О, и, следовательно, справедливо представление У вЂ” у = Рьдь — 1, где дг, 1 — некоторый полипом степени до Š— 1 .
Тогда ь ь 1 — й = ~ р(х)Ц(х) — у(х)]йх = ~ р(х)Рь(х)уь-!(х)йх = О, то есть алгебраическая степень точности квадратуриой формулы равна 21 — 1, если ее узлы — корни ортогонального полииома. Веса при этом равны ь ь Ль = / Сь(х)р(х)йх = / П ' р(х)йх . (хь — х,) рь Отметим, что корни соседних ортогоиальиых полииомов Рь и Рг, ! различны (иа самом деле между двумя после- довательиыми корнями х, и х, 11 полииома Рь лежит ровно один корень хг полииома Рь-1 ). Действительно, пусть 11(х) = „,, тогда йеб(ь = 21 — 1 и формула Гаусса-Кристофеля с узлами х,, являющимисл корнями 1'1.
ОЮ Вь — 1 ! а Ь полииома Рь, для такой функции точна. Оиа, как легко увидеть принимает вид ЛьР1,(хь)Рь-1(хь) = ) ' ' р(х)йх . ) Рь(х)Рь (х) (х — хь) Пусть аг — старшие коэффициенты ортогоиальиых полииомов Р„, тогда Рь(х) = аь П(х — хг), Рь 1(х) = аь, П(х — х,), и справедливо представление Рь(х) аь РЬ 1(Х) + ЯЬ вЂ” 2(Х) х — х! аь — ! 45 где л7ь — з(х) — некоторый полипом степени не выше Ь вЂ” 2 .
Таким образом с учетом ортогональности ь з 1 / аь з аь'ОРь Ль = , Рь л(х)р(х)ьлх = Р,'(хь)Рь-л(хь) / аь — л аь лР, '(хл)Рь л(хь) но так как Ль ~ оо (для весов уже получено явное выражение (7), да и кроме того. знал узлы, веса можно однозначно определить через определитель Вандермонда), то Рь л(хь) Р О, и значит ни один из корней поливома Рь не может являться корнем полинома Рь — л . Попутно мы нашли и другое выражение для весов Ль . Свойства весов 1) Лл > О Доказательство. Пусть уь(х) = ~ь„-ь(-*;~ . Это полипом степени 2Š— 2, равный 0 во всех узлах, кроме х = хь для него формула Гаусса-Кристофеля точна, поэтому следовательно Ль > О.
ь 2) связь весов Ль с моментами сл = ) х р(х)л(х хльЛл = сс, 1 = О, 1, ..., 2Х вЂ” 1 . ь=л Свойство становится очевидным, еслш сосчитать интегршл с весом от степени хл по формуле Гаусса-Кристофеля. Ь ь 3) 2, Ль = ) р(х)л(х . ь=л а Это частный случай свойства 2) при 1 = 0 . 4.3.4 Примеры ортогональных нолиномов 1) Полиномы Лежанлра Рч(х) являются ортогональными на промежутке (-1,1) с весом р(х) = 1. С точностью до нормировки для ник справедливо выражение Р„(х) = (1 — х )" 2" и') л(х" В ьастности Ро = 1, Рл — х, Рл = л (Зх" — Ц 2) Полиномы Чебышева первого рода лчл'2) ( — 1) (и лп — 1))( ) л лт 2 ~-л га)(п — 2та)! а=с ортогональны на том же промежутке [ — 1, 1], с весом р = илл л 3) Полиномы Эрмита Н„ортогонзльны на промежутке ( — со, оо), с весом р(х) = е ~ . С точностью до нормировки они имеют вид Н„(х) = ( — 1)" е* е 4) Полиномы Лагерра 7 ортогональны на промежутке (О, оо), с весом р(х) = е .
Их можно представить в виде Е„(х) = —,е* (х"е *) 46 4.3.5 Погрешность квадратурных формул Пусть функция 1(х) щюинтерполирована по ее значениям 1(х,) в б точках х,, 1 = 1,2,...,Х, полиномом дь у(х) = дс-1(х) + г(х), дь-1(х) = ~', Яхз) П ,=1 ,ф, * Погрешность интегрирования Х при замене 1(х) интерполяционным полнномом дь-1 (она же — погрешность соответствующей кввдратурной формулы) имеет вид Ь ь ь Ь В = / у)л(х — / дь — 1рйх = / г(х)рйх = / Л'(х)р(х)4х, 1 У~с1 ®х)) и если г" — полипом степени не вьпяе б — 1, то (~~~ = О и, следовательно, квадратурная формула точна. Для случая равиоотстояп|их узлов х, — х, 1 = Ь имеем: я, значит ~В! < Ь'~!У"'1~п / д(*И*, и при р = 1 (В! < 6~)ф~~()(Ь вЂ” а) .
Это довольно грубая оценка,, однако она показывает порядок точности по 6 . В случае, если узлы не произвольные, а корни ортогонального полинома Рь, то квадратурная формула точна для полиномов степени не превосходящей 21 — 1, хотя полученная оценка этого и не "чувствует". Чтобы улучшить оценку в этом случае поступим следующим образом. Пусть г" е С~~. Разложим ее в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки х.: .('"'( .И* — .)' .(""(х*н* — * )сь 1(х) = ~ , + , + д(х), гп > ь сн тогда В = / (( — дь-1(х))р(х)йх = / [(~ — дь 1(х))р(х)йх+ / Ях)р(х)дх .
=о Пусть вес р = 1, оценим последний интеграл отбросив от функция,5г(х) остаток д(х) и выбрав в качестве точки разложения х. точку — язх —, тогда 1 " ' (х )(х — х-) < ит кс Ь зьт1 (2б)! 2сь(2б -~ 1)! то есть погрешность В ведет себя как 47 Я ]] ~ ~]]~ (Ь ) '+/ 2эь(21 + 1 Р 4.4 Примеры квадратурных формул В этом пункте мы будем считать, что вес р = 1, и, что Š— число узлов на [а, Ь] 4.4.1 Яисло узлов 1 = 1 а) Формула левых прямоугольников: х/ = а, ] г(х)//х (Ь вЂ” а))'(а) . и б) Формула правых прямоугольт/ков: х/ — — Ь, ] У(х)/(х (Ь вЂ” а)~(Ь) . к в) Формула средних (прямоугольников) ь у(х)//х = я / — ~ / / — / ° /— ь Поскот/ьку Р/(у) = у / то единственный корень этого пшшнома точка р = О. Вес Л (по свойству весов 2 Л; = ] р(х)//х) 1 равен Л = ] //х = 2, таким образом — / ь 1 )(х)/1х = / /1(р)Иу 2/1(0) = (Ь вЂ” а))( ) .
а — 1 4.4.2 Яисло узлов 1 = 2 а) Формула трапепий. Здесь узлами являются точки х/ = а, хг = Ь. 1(х) заменяется интер//оляционным полиномом первой степени р/(х), построенным по этим узлам: у(х) -г д/(х) = у(а)+ у(Ь) ь ь ь 1(х)/(х у(а) / /(х+ ((Ь) / с(х = у(а) / з'(Ь) )г У(а) (а — Ь) у(Ь) (Ь вЂ” о) Ь вЂ” а ( (а — Ь) 2 (Ь вЂ” а) 2 1(а) з- 1(Ь) 2 Эта формула разумеется точна для полиномов степени не превосходящей Š— 1 = 1 (н не больше). б) Форь/ула Гаусса-Кристофеля для Х = 2 Для ее получения поступим так же как в случае формулы средних: 48 — формула наивысшей алгебраической степени точности (она должна быть точной дпя полиномов не превосходящих степени 2б — 1 = 1).
Построим ее в соответствии с изложенными выше соображениями для формул Гаусса-Кристофеля. Для этого сначала с помошью масштабного преобразования и сдвига переведем отрезок [а, Ь] в отрезок [ — 1, 1], на котором ортогональными являются полиномы Лежандра Рь . Тогда ь ! Ь вЂ” а ь-ьа ь-а Нх)с1х = ~ Ч(д)дд , Ч(д) = У( + у) . о . Его корни у! = — — ,. ! ! = 1, следовательно, — ! Алгебраическая степень точности М равна 21 — 1 = 3. 4.4.3 'Число узлов 2" = 3 Формула Симпсона Здесь узлами являются точки х! = а, хг = "— +,ь, хз = Ь. Для удобства вычислений перейдем к отрезку [-1,1[ масштабным преобразованием д(у) = г"(~~ + ь 'у): Ь вЂ” а ! 1(х)ь1х = ) д(у)ьду , у! = — 1, у = О, уз = 1 2 / Заменим д(у) интерполяционным полиномом рг(у): д(д) — ь р (у) = д( — ць" (д) + д(0)ь" (д) + д(цьз(д), где (у — 0)(у — ц у(у — ц (у — ( — ц)(д — ц (у + ц(у — ц (-1 — 0)(-1 — Ц 2 ' (Π— (-Ц)(0 — Ц вЂ” 1 ьг(д)— (у — (-Ц)(у — О) (у+ Цу (1 — (-Ц)(1 — 0) 2 ! Тогда интеграл [ рг(у)с1у равен — ! д( Ц/ У(д )3~ ~(О)/ (У )(" )3~+~(Ц/ "(У Сосчитаем веса ! Лг = / (1 — у )4у =- 4 3 — ! ! Л,=Л, =~( — — ь)3д=-, Гу' у 2 2 ' 3 ' — ! ! таким образом [ Ч(д)ь1у г! " + ьд(0) -!- З(з2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
