Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Практическое значение квадратурных формул, построенных с помощью 1-распределенных последовательностей, невелико, поскольку остаточный член Всс(1) убывает медленно, даже если 1 аналитическая функция. 3 ада ч и. 2. Пусть десятичная дробь 0 = О, 123456 789101112... образована так, что все натуральные числа выписаны одно за другим. Докажите, что 0 — иррациональное число. 3. Пусть десятичная дробь 0 = О, 235?1113... образована так, что все простые числа выписаны друг за лругопс Докажите, что д —. иррациональное число. 4.
Докажите, что ес.чи последовательность (б, ),, 1-распределена, то этим же свойством обладает последовательность (гй), где гО = (Я,сго) (.1 о=и' = 1, 2,,.). З2. Кеадратурные формулы интериоляиао((ного типа 373 3 2. Квадратурные формулы интерполяционного типа 1. Одномерный случай. Рассмотрим вопросы построения квадратурных формул в одномерном случае. Пусть область Р одномерный отрезок 1 = )а, ((]. Построим квадратурную формулу вида (1) так, чтобы она была точна на много менах из пространства,У„. Для этого при фиксированных узлах х1, ..., х„нужно соответствующим образом определить весовые коэффициенты. Легко догадаться, что для этого нужно поступить следующим образом: построить по функции 1 и узлам .е1, ..., х„ интерполяцнонный много шен Лагранжа р.(х У) — ~ йхь)1 ьЯ н затем положить сь = / 1„ь(х)д~(~), й = 1, 2, ..., и.
а Квадратурнвя формула ь 11х)дасх) = ~сь1(хь) Ь=1 12) ь 1оь(х)д(гСх) =. ~~~ с,бьу —. сь, Если фоРмУла 12) интеРполациопного типа, то оРо С Ыг б„. Отсюда,. согласно предложению о ядре (предложение 2 з 3 гл. 3) н теореме 1, (3) будет точна на много шенах степени не больше и — 1. поскочьку, если 1" Е Ье„, то р„Сх( 1') = Дх), Квадратурная формула С2) с коэффициентами, определяемыми по формуле (1), называется квадратурной формулой интерполяционного типа.
Назовем алгебраическим порядком точности квадратурной формулы целое число т такое., что формула точна на многочленах степени не больше т и уже не точна на многочленах степени т + 1. Ясно, что если квадратурная формула 12) имеет алгебраическин порячок точности не ниже и — 1, то она интерполяцнопного типа. В самом деле, применяя ее к функции 1сх) = !„ьсх) и учитывая ее точность, получим Глава б, т7иеленттое инспегрироеюте а В силУ соотношениЯ (1) пессимистическаЯ оценка длЯ 2 сз ~ имеет вид ь ь э=1 т ьг а «~г„,ь>ало а а„)'а,ь,>.
г=т , ь=т Эта оценка слишком груба„но при неудачном выборе узлов квадратурной п формулы сумма 2 ~с, ~ может неограниченно расти. =3 Приведем пример квадратурных формул интерполяцнонного типа. Пусть йт(х) = (6 — а) геях. Возьмем на отрезке (а, Ь, 'равноотстоящие узлы хь = о, + а(Ь вЂ” а)«н, Ь = О, П ..., и, и построим квадратурную формулу интерполяцпонного типа; ь «(з,'~йх = (6 — а) ~ ~став«(а т Ь ), (4) ь=о ь где с„ь = т ) П -*-:--*ю-с(х.
делая замену переменных и переходя к ота т=о, т.;ь' резку 'О, 1 ., получим (6) ! «" 5--1«-, Сеу —... ~ Ц „4.. (5) титу Квадратурная формула (4) с весовыми коэффициентами, определяемыми по формуле (ат), называется формулой Ньтотпона — Котеса. Приведем перечень формул Ньютона — Котеса при малых и.
Формула тираттеций: ь ! 1 1 «(х)с1х = (Ь вЂ” а) [ — «(а) + — «(Ь)~ . а Формула Симтгеона: ь / «(х)Их — (Ь вЂ” а) [ —,«(о) + — «( ) + —,«(Ь)1. (7) а Правило 3/8: / «(х)с1х — (6-. о)[ — «(а) 4 — «( ) — — «(, ) + — «(6)1. (8) а Приведем значения весовых коэффициентов саь формулы Ньютона— Котеса для и = 4: сео = сы = 7ттОО, сан = слз = 16«45, слз = 2/15; для н = 5: сзо = сзз = 19/288, сзт = стм = 25«96, сьв = сзз — — 25«144. з 2.
Кеадратурнъ~е формуль> иитериоляциониого типа 375 Глядя на зти коэффициенты может создаться впечатление о полном благополучии. Пока все коэффициенты оказываются положительными п их сумма равна 1. Но уже при и — — В встречаются три коэффициента отрицательных, при и = 9 все коэффициенты положительные [счастливое искл>очеяие), а при > 10 среди коэффициентов формулы Ньютона - Котеса будут отрицательные.
Причем имеет место, как показал Д. Пойа, соотношение !пп ~ [сев[ — — ж. (9) я=о Из этого соотношения в силу теоремы Банаха — Штейнгауза [творе>ма 13 3 1 гл. 2) для равномерных соток вытекает Теорема 1. Суи1ествуют непрерывные функции,. для которых процедура численного ин>иегрирования, основанная на формулах Ньютона- затеса, неограниченно раеходигася. В самом деле, если для любой непрерывной функции 7" мы бы имели зпр,'ба[у) ~ < оо, то тогда были бы ограничены в совокупности нормы [[б„. Но в силу теоремы 1 3 1 это противоре пп соотношению [9).
с> Результат данной теоремы, несомненно, связан с тем, что интерполяционный многочлен Лагранжа с равнооотстоящими узлами имеет константу Лебега, растущую экспоненцнально с числом узлов (см. предложение о 'з 3 гл. 3). Вылив мы отмечали, что такими интерполяциоиными мпогочленами нельзя пользоваться при приближении функций, если число узлов сколь-нибудь значительно (> 5 -:. 6), Теперь мы установили, что и формулами Ньютона — Котеса, построенными на основе этого свое.оба интерпа>яции, также не следует пользоваться, если и велико, практически если и > 10.
Новые результаты о свойствах величин б„[[ и Е„(у) анонсированы в [137 †1] 2. Формулы 'Чебышева. П.Л.Чебышев предпринял попытку построить квадратурные формулы несколько иного типа. Он предложил задавать не узлы квадратурной формулы, .а весовые коэффициенты, положив их равными друг другу. Не ограничивая общносги будем считать, что квадратурная формула строится на отрезке [ — 1, Ц. Тогда 1 2 у (х)дх = — Х~ Г(хь). [10) -л ь=> Потребовав, чтобы формула была точна на пространстве,У„.м получим следующие равенства: 1)>э> 2 1+1 и — х, 1=1,2,...,и.
>=> Пусть л"„[х) = х" — а>ха -Ь ... + а„- многочлен, корнями которого являются величины хы ..., х„. Хорошо известно, что суммы степеней корней многочлена рационально выражаются через элементарные 376 Глоео б. Чиеленггое ипнпегрироейиие симметрические функции, т. е. через величины ( — 1)гй (1 = 1, 2, ..., п). Напомним эти формулы. Прежде всего заметим, что 9"„(х) —.38„(х) — 1п,У„(х) =. 2 11,У„(х) 1=1 У„х = Хи -> (И1+ ХЬ)Х" + (йп —, И1ХЬ вЂ” ' Хг)лп +... х — х1 и — и и — 1 -~- (йп — 1 -~- Ип — 3ХЬ -, '-' И1ХЬ -~- ХЬ ). п Позтому, полагая 81 = 2, 'х11 и считая йа = 1, можем предпоследнее а=1 тождество записать в виде ~ (п — И)оьх" " = пх" +(пйгж81)х" '+(пйз+И181+83)х" +..
г=а ... + (ййи 1 — йп 381 +... + й18и 2 -'~ еп 1), из которого следуют равенства 81 = — И1, И!81 + 82 =- — 203, й381 + й182, 83 = — Зйз, (12) Ии. 281 -~- йп .382 ' ... ви. 1 = — (п -- 1)йп а сложив равенства М„(хь) = ~", и.х" 1 (Й = 1, 2,..., и), получим и-е недостающее уравнение (13) Ии 181 Ь йп 383 —, ....". И18и 1 + еп — 'Пй Соотношанпя (11) и треугольная система (12), (13) позволяют определить козффициенты иг (1' = 1, 2,..., и) многочлена 8Рп(х). Заметим, что коэффициенты й, с нечетными номерами получаются равными пупки И1 = йз = ... = Изет 1 = О, где 8 = ((п -- 1),12,. Таким образом, величины хь симметричны относительно точки х = О, и при нечетном и один из корней многочлена,еп„(х) равен нулю.
Выпишем многочлены Зг„(х) при малых и: Г12. Кеадрагпуриые формуль иитерполлииоипого топи 377 П.Л.Чебышев вычислил узлы своей квадратной формулы при и = 1, 2, ..., 7, 9. Оказалось., что при и = 8 корни многочлена,Ув(х) комплексные. Существует очень интересная история, живо рассказанная А.Н. Крыловым о его беседах с ПАВ Чебьппевым по поводу рассматриваемой квадратурной формулы. Передавая эту историю академику С. Н. Бершптейну, А. Н. Крылов одновременно поставил вопрос: существуют ли квадратурные формулы Чебьппева при и > 10? В ответ С. Н. Бернштейн доказал теорему. Теорема 2 (Бернштейна). При и > 10 среди нулей многочлена Зо„(х) имеютпсл комплексньы.
Таким образом, нужно считать, что при и > 10, п = 8 квадратурные формулы Чебышева не существуют, если выдвинуть в качестве обязательного требование, чтобы узлы квадратурной формулы лежали на основном отрезке. Это требование естественное. если мы не ограничиваем себя классом таких функций, как, например, аналитические функции, для которых продолжение с основного интервала на более широкую область единственно. Впрочем, при решении дифференциальных уравнений мы столкнемся еще с одним классом функций, для которых продолжение единственно. 3.
Формулы Гаусса. К.Гаусс, по-видимому, первым поставил следующую задачу: каков будет максигоальный алгебраический порядок точности квадратурной формулы, ести одновременно подлежат определению и узлы квадратурной формулы, и весовые коэффициенты? В случае меры е т(х) = дх и основного отрезка 1о = ~ — 1, 1, 'он дал решение этой задачи, Прежде всего выясним вопрос о максимальном алгебраическом порядке точности квадратурной формулы с н узлами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
