Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Именно желание получить приближенную формулу для вычисления интеграла, максил(азьно точную при наименьшем числе узлов, и вызвало к жизни теорию квадратурных формул. Функционал ьэ(=) Л.ь~ь(г( — З .,уэь( г( ь=г 1. Введение. В З2 гл. 5 мы докаэа.ш, что алгоритмы вычисления интегралов, основанные на использовании таблиц интериоляционного типа, не оптимальны. Тем не менее практика численного анализа такова, что наиболее развиты и наибш(ее широко употребляются именно алгоритмы вычисления интегралов, основанные на использовании таблиц интерполяционного типа. Эти алгоритмы базируются на приближенных формулах, известных под названием квадратурных (кубатурных в ешучае кратных интегралов). Пусть Р с К( некоторая область, С(Р) — пространство непрерывных функций и ( е С'Р~ некоторая функция.
Для вычисления интеграла ) г(х)4т(х) пользуются приближенной формулой, называемой г( кеадратурной (кубатург(ой)( 368 Глава б. Численное интегрирование называется функционалом погрешности квадратурной формулы. Исключительно важно, каков запас функций в 1сег б„. В частности, имеет существенное значение, какие многочлены из множества хц принадлежат ядру йег б„. Если приближенное равенство (1) обращается в точное равенство на многочленах из З~ы то мы будем говорить, что квадратурная формула точна на Зь„. Впрочем, вопрос о точности приближенного равенства (1) можно рассматривать я относительно иных семейств многочленов, определенных в замечании из и, 8 3 1 гл, 3. Допустим, что дх(х) = ш(х)йт, и(х) > О, и(х)ах > О. (3) Если интеграл (3) несобственный, то будем считать, что оп су.ществует в смысле Римана.
Теорема 1. Ни длл какой системьг углов и весовых коэффициентов функционал б„(() не стремится сильно к нулю на С(Ц. Более того, всегда о ((б„, = / ш дх+ ~ ~сь!. )з ь=г Доклзатвльство. Ясно, что существует функция г е С(о] такая,. что =- 1, г~1'шдх > / и~дх — е, ('(х ) =- — в8псы 1 =. 1, 2, ..., и, где е > Π— произвольно малое число. Действительно, достаточно счнтаттч что у:- 1 всюду впе сколь угодно малых окрестностей точек хь, а в них непрерывная функция ~ (' < 1 и 1'(х~) =. — гипсы Тогда для такой функции б„(г") > / шдх+~ ~~сЦ вЂ”., П я=1 и поскольку 'бь(г")( < ()бо , ')~', = ' б„",, то п 'д„, > / ш дх+ ~ ~,'сяо — е, о ь=г откуда в силу произвольности е слелует,что о 'зб„', > ~ и дх Б ~ ~сь!.
П ь:=1 Неравенство противоположного знака очевидно. Э 1. Общие ааираам теории каа3ра~иуриих формул 369 В связи с этой теоремой можно высказать пессимистическукэ точку зрения, что в известном смысле проблема численного интегрирования на С(ьэ) неразрешима. Однако для практических приложений наиболее важен друэ ой факт, состоящий в том, что сущегтвуюэ системы узлов и весовых коэффициентов такие, что б„(1) э О слабо на С(Р) при и, — э оо. Это тем бочее важно, что в приложениях мы имеем дело не со всем пространством С~Р1 а с некоторым компактом Х Г С~Ц, и часто для элементов 1 е Х уэке можно Указать поРЯдок стРемлениЯ к нУлю би(1). Как Рвз эти вопРосы и будут для нас главными.
2. Распределенные последовательности. Рассмотрим случай, когда область В единичный интервал 1е = (х й Н~: 0 < х < 1). Докажем, что в С(1о~ проблема интегрирования разрешима в слабом смысле, т.е. что сУЩествУ.ют такие Узлы и весовые коэффиЦиенты, что ди(1) — э 0 слабо при и оо. Рассмотрим последовательность вещественных чисел (5) Если эти числа больше 1., то будем их рассматривать по модулю 1 и записывать в виде с (шоо 1), ~и (нюсе 1) = ~„— („), В дальнейшем можно просто считать, что () < а„< 1 (и = 1, 2,...). Обозначим через 1(и, и) полуоткрытый интервал 1(и, и) —.— (х й Рь': и < х < и, ) —-- — —.
1, 2, ..., а). Через м(и, и: 51) обозначим число тех целых и из отрезка (1, Ь'!, для которых (С„, ..., аи. ~ э) ~ 1(п, и), т.е. для которых и1 (и си < Ы~ аа ( ьи — 1 ( и2) . ~ гн ь ьи-Н. 1 < иь Последовательность (5) называется 1-распределенной, если существует предел (6) для любого интервала 1(и, и) с 1е. Последовательность (5) называется оо -распределенной, если опа 1-распределена для любого 1 > 1. Пусть функция ф: 1е — ~ К интегрируема по Риману на 1е. Класс таких функций обозначим через йт(1е). Функция 1 < Я(1е) называется квадрируемой с помощью носледовательноспги (5). если имеет место соотношение 1пп эа '~ я„..., ьа,эл 1) = / ф(х)йх.
э=э 1 0 370 Глава б. Численное ингпегрирооание Теорема 2. Если т" й Я(1о) и последовательность (5) 1-распределена, то функция у' квадрируема с помощью этой последовательности. Согласно этой теореме интеграл Римана по единичному интервалу 7о от непрерывной функпии можно с любой точностью приблизить средними арифметическими, если значения подыптегральпой функции вычисляются в точках интервала !о, образующих 1-распредсленную последовательность. Доказательство теоремы основывается па следующей лемме.
Лемма 1. Пусть даны последовательность (5) и лгноэхество Ф С Я(7е) пткиео что любая функция со й Ф квадрируема последовательностью (5). Допустим, сто даиа функция 1" с Я(1о), для которой длл любого е > 0 сушестпвунгт функции д, ил й Ф такие, что со < 7' < ф и (7) (ф — эг)с1х < е. 1о Тогда функция 7' квадрируема с помои1ью этой последовательности. ДОКАЗАГГЛЬОТВО. Полоэкни л(л) = !пп ( 1пп )гч 1 ~ 7'(б1, ..., с 1 1).
И оо М со 1:..1 Если 1о< р<ф,то 1~' '~~' эо(41 бгы-1) < '~' '~~' ХЖ С1~ 1-1) < 1=1 1=1 ф(ьг . иго 1 — 1). о.=1 Отсюда, переходя к пределу и используя квадрируемость функций Зо, ф, получим "(х)дх < Л < Л < 1 '(х)д . ! 1о 1о Из неравенства (7) в силу произвольности; следует квадрируемость функции 1. П Доклзлтвльство творвмы, По определению 1-распределенной последовательности характеристическая функция произвольного полуоткрытого интервала квадрируема. Значит, квадрируемы и функции вида 1(х) = ~ ~агу (х), 1=1 З 1.
Общие вопросы теории квадратурных формул 371 где а - произвольные величины, 1)(х) - характеристические функции полуоткрытых интервалов, полученных разбиением единичного куба плоскостями, параллельными координатным осям. Такие функции назовем ступенчатыми.
Пусть 1' произвольная функция, интегрируемая по Римацу. Для функций этого класса известно, что для любого > О гиожно найти ступенчатые функции 1(х) и 1(х) такие, что 1(х) < 1(х) < 1(х) и разности между интегралами от 1 и 1 меньше в. По лемме 1 функция 1 квадрируема. П Следующая теорома, принадлежащая Г. Вейлю, дает удобный критерий 1-распределенности последовательности. Теорема 3. Последовательносчпь (о) 1,-распределена на 1в тогда и только тогда, когда 11ш Х г У ехР(2кз(ьЗС1 ...
+ Ичсэ. ~ г)) = О Ю (8) длл любого множества целых чисел ~гм ..., гб не равныт одновременно нулю. Доклзатвльство. Докажем только достаточность этого условия, поскольку необходимость сзедуег из теоремы 2 и очевидного равенства 1 ехр(2к1(идх~ +... м и~х~))дх = О, справедливого для произвольных Ь, целых чисел иг, ..., рп не равных одновременно нулю.
Итак, докажем достаточность условия (8). Ясно, что из этого условия следует, что произвольный тригонометрический полинам р(х), имеющий период 1 по каждой переменной х, квадрируем. В самом деле, если в (8) положить ьз = =... = И = О, то правуго часть нужно заменить на 1, а это равносильно квадрируемогти свободного члена полинома. а значит, и самого поли- нома. По теореме Вейерштрасса (теорема 6 3 1 гл. 3) для любой непрерывной 1-периодической функции 1(х) можно найти два полинома р(х) и р(х), удовлетворяющих неравенствам р(х) < 1(х) < р(х) и таких, что ) (р(х) — р(х)]Ых <, каково бы ни было > О. По лемме 1 отсюго да следует квадрирусмость функция 1(х).
Пусть произвольная функция 1(х) О С11в). Для любого е > О можно построить две 1-периодические функции р, й так, чтобы выполнялись условия леммы 1 для них и функции 1. Для этого достаточно уо и ф сконструировать так, чтобы носители функций чо — 1, ф — 1' лежали в малой окрестности границы интервала 1о.
В силу ограниченности функции 1 интегралы от функций эо и ф будут мало отличаться друг от друга. Поэтому. любая непрерывная функция 1 будет квадрируема. Пусть теперь 1о(х) -- характеристическая функция интервала 1(и, и). Понятно, что можно построить две непрерывные функции р, ггв так, чтобы выполнялись условия леммы 1 для тройки функций 1о, ус, иь Отсюда и следует квадрируемость функции 1в О1. П 372 Глооо б. Численное. сснгпогргсрооогсссе 3аыкчаник. т1итатель, наверное, обратил внимание, что несущественно, будет ли 1с(х) характеристической функцией замкнутого интервала или полузамкнутого интервала. Для 1-распределенной последовательности соотношение (6) остается в силе и для замкнутого интервала стг. 1Грпведем примеры 1-распроделеяных последовательностегй и тем самым подведем реальную базу под наши построения. Пусть Вг, ..., Вс положительные иррациональные чисгла, линейно независимые над полем целых чисел.
Последовательность Д,),' г с общим членом ,с,геь = (гг(+ И)Вь( гпод 1), и, = О., 1,..., 1. = 1, 2, ..., 1, (9) 1-распределена на 1с. Отметим, что 1-распределенные последовательности на ,'О, 1) называются равномерно распределенными последовательносгпями. Последовательность (9) при 1 = 1 будет равномерно распределенной на ~О, 1). В самом деле.
Х ~ехр(2п1п4,) .=- Х ~ехр(2пгы)Вг) — —. 1 — ехр(2пгХыВд) ехр(2п1пдг). 1 — вхр(2пгыВг) Но ыдг -- иррациональное число, и, стало быть, 1 — ехр(2гггыВг) ф О для любого целого и. Поэтому ус оовие (8) выполняется Сзг. 3 а д а ч в 1. Пользуясь теоремой 3, докажите, что последовательность (9) 1-распределена. Теорема 4 (Дж.сРренклин) 118ос). Последовательность (С ),' где ~, = Во( шос1 1), будет оо-распределена длл почти всех дейсспщительных сисел 0 > 1. Тем не менее мы не знаем нн одного конкретного числа О, для которого это справедливо; так, даже не известно будет ли равномерно распределена последовательность с общим членом е' (шос1 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
